Nom du pays de votre choix

確率と統計2007（最終回）
平成20年1月17日(木)
東京工科大学
亀田弘之
種々の公式(1)
＜規則１＞大きさ n の標本から求めた標本平均 m の分布は，以下の
性質をもつ．
① 標本平均 m の期待値（平均）E(m)は，母平均に等しい．
② 標本平均 m の分散V(m)は，母分散の 1/n 倍に等しい．
②’ 標本平均mの標準偏差D(m)は，母標準偏差の1/(√n)倍に等しい．
E(m)  , V (m) 

2
n
, D(m) 

n
種々の公式(2)
<規則２>正規分布する母集団から無作為に抽出した，大きさ n の
標本から得られる標本分散 s2 の期待値（平均） E(s2) と分散
V(s2) とは，以下の式で与えられる．
2 4
E(s )   , V (s ) 

n 1
2
2
2
この式は，母集団の分布が正規分布
以外の任意のものでも常に成り立つ．
種々の公式(3)
<規則３>確率変数 X1 と X2 は互いに独立に分布し，かつ，
E( X1 )  1, V ( X1 )  12 ,
E( X 2 )  2 , V ( X 2 )   22
とすると，和 Y = X1 + X2 および差Z= X1 － X2 の期待値（平均）と
分散は以下の式で与えられる．
E(Y )  1  2, V (Y )  12   22 ,
E(Z )  1  2, V (Z )  12   22
ポイント：この規則は，母集団の分布にかかわらず成
り立つ．また，和の分散と差の分散とが等しく，かつ，
いずれも元の分散の和になっている．
種々の公式(4)
<規則４>確率変数Xの期待値(平均)が E(X)=μ, 分散が V(X)=σ2と
する．このとき，以下の式が成り立つ．ただし，a は定数とする．
E(aX )  aE( X )  a,
V (aX )  a V ( X )  a 
2
2
2
種々の公式(5)
• ＜対数の法則＞平均μ，分散σ2の任意の母集団から，大きさnの
標本を無作為に抽出して得られる確率変数を，X1,X2,・・・,Xn とす
るとき，これらの平均mと母平均μとの差がεを超える確率は，nを
十分大きく取るとゼロに近づく．
P(| m   |  )  0　(n  )
種々の公式(6)
<チェビシェフの不等式>母平均μ，母分散σ2 をもつ確率変数Ｘとそ
の母平均との差について，以下の不等式が成り立つ．

P(| X   |  )  2

2
種々の公式(7)
<中心極限の定理>確率変数Ｘが，母平均μ，母分散σ2 を
もつ（任意の）分布に従うとき，これから無作為に抽出し
た大きさ n の標本平均 m の分布は，n が大きくなるに
つれて母平均μ，母分散σ2 /n の正規分布に従う．
正規分布の重要性
コメント:もとの母集団がどのようなものであって
も，標本の大きさnが大きければ，標本平均m
の分布はいつも正規分布で近似できる，ことは
正規分布の重要性を示唆している．
重要な確率分布
• 正規分布は統計学において極めて重要な意味があるこ
とをみてきた．以下では，正規分布以外の主要な確率分
布を紹介する．
重要な確率分布
• 正規分布
• ２項分布
• ポアソン分布
２項分布
• １回の試行で事象Ａの起きる確立がpとする．このとき，n回の試行
において事象Ａが起きる回数Ｘの分布を，２項分布という．Ｘ=kとな
る確率は，一般には以下の式で与えられる．
P( X  k )n Ck p k q nk (k  0,1,2,, n)
ただし， q  1  p.
ポアソン分布
• 事象Ａの生起確率pとする．いまpが極めて小さいとき，事象Ａが生
起する回数Ｘの分布を，ポアソン分布という．Ｘ＝ｋとなる確率は以
下の式で与えられる．
P( X  k )  e


k
k!
(k  0,1,2,)
重要な性質(覚えてしまうと便利)
平均
分散
正規分布
μ
σ2
２項分布
np
npq
λ
λ
ポアソン分布
その他の確率分布
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
負の２項分布
幾何分布
超幾何分布
他項分布
t分布
指数分布
ガンマ分布
ワいブル分布
カイ２乗分布
一様分布
コーシー分布
• ベータ分布
• Ｆ分布
• アーラン分布などなど
確率の計算法
• 各分布に対して確率を計算する必要がしばしば発生す
る．その際，前述の定義式に従って計算してもよいが,実
質的に計算不可能な場合も発生する．
２項分布の確率計算法
• 生起確率がpで，かつ，繰り返し回数がnの２項分布に対して，nが
十分大きいときには，２項分布は，平均がnp,分散がnpqの正規分
布で近似できる．
• さらに，平均m=np,分散σ2 =npqの正規分布は,
変数変換
Z
X m

X  np

npq
• により，平均ゼロ，分散１の標準正規分布となり，標準正規分布に
関する確率計算値は，数表（正規分布表）から読み取ることができ
る．（計算をしなくてすむ！）
統計的検定
大標本の場合
母平均に関する検定(標本の大きさnが大きいとき)
1. 帰無仮説H0の設定． H0:μ=μ0
2. 実験・調査をして，標本平均m,標本分散s2を求める．
3.
Z0 
m  0

n
(ただし，   sとおく )
母集団が正規分布に近
いときは，n≧30,そうでな
いときはn≧50とする．
4. |Z0|≧1.96ならば危険率5%で， |Z0|≧ 2.576ならば危険率1%で，
仮説H0を棄却する．そうでないときは仮説を否定しない．
（注）ここの数値は正規分布表から得ている．
母平均の差の検定（大標本の場合）
1. 帰無仮説H0の設定． H0:μA=μB
2. 実験・調査をして大きさnAの標本Ａと大きさnBの標本Ｂをもとめ，そ
れらから標本平均mA, mB,標本分散sA2, sB2を求める．
3.
Z0 
(mA  mB )  ( A  B )
 A2  B2

nA nB
母集団が正規分布に近
いときは，n≧30,そうでな
いときはn≧50とする．
(ただし，  A2  sA2 , B2  sB2とおく )
4. |Z0|≧1.96ならば危険率5%で， |Z0|≧ 2.576ならば危険率1%で，
仮説H0を棄却する．そうでないときは仮説を否定しない．
（注）ここの数値は正規分布表から得ている．
小標本の場合
母平均に関する検定(標本の大きさnが小さいとき)
1. 帰無仮説H0の設定． H0:μ=μ0
2. 実験・調査をして，標本平均m,標本分散s2を求める．
3.
t0 
m  0

n
(ただし，   sとおく )
母集団が正規分布に近
いときは，n≧30,そうでな
いときはn≧50とする．
4. |ｔ0|≧t(n-1,0.05)ならば危険率5%で， |t0|≧ t(n-1,0.01)ならば
危険率1%で，仮説H0を棄却する．そうでないときは仮説を否定し
ない．
（注）ここの数値はt分布表から得ている．
母平均の差の検定（小標本の場合）
1. 帰無仮説H0の設定． H0:μA=μB
2. 実験・調査をして大きさnAの標本Ａと大きさnBの標本Ｂをもとめ，そ
れらから標本平均mA, mB,標本分散sA2, sB2を求める．
3.
(mA  mB )  ( A  B )
t0 
1 1
S A  SB

nA nB nA  nB  2
(ただし，  A2   B2   2とおく )
4. |ｔ0|≧t(2(n-1),0.05)ならば危険率5%で， |t0|≧ t(2(n-1),0.01)な
らば危険率1%で，仮説H0を棄却する．そうでないときは仮説を否
定しない．
（注）ここの数値もt分布表から得ている．
今後の勉強
• t分布，ｔ検定
• Ｆ分布，Ｆ検定
• 区間推定をまず勉強してください．
•
•
•
•
•
その後，興味あるテーマを順次勉強してください．
サンプル数（標本の大きさ）の決め方
無作為抽出法
分散分析
分散の検定，分散の差の検定
感性検査（嗜好の検査）などなど
統計の勉強は手を動かすことが大切！

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