3.4 離散確率分布

【確率・統計】(2008 年度真貝) 3.
3.4
離散確率分布
分布名
記号
離散
一様分布
離散
二項分布
B(n, p)
離散
ポアソン分布
P o(λ)
離散
幾何分布
G(p)
3.4.1
確率関数 P (X = k)
1
n
k
n−k
n Ck p (1 − p)
k
λ
e−λ
k!
p(1 − p)k−1
定義域
備考
平均
分散
0<p<1
np
k = 0, 1, 2, · · · ;
λ>0
np(1 − p)
k = 1, 2, · · · ;
0<p<1
λ
1
p
λ
1−p
p2
n 標本点に等確率
k = 0, 1, 2, · · · , n;
離散一様分布
• n 標本点の，どの確率も等しい場合．
P (X = xi ) =
3.4.2
14
確率分布
1
, (i = 1, 2, · · · , n)
n
(3.18)
二項分布
• 1 回の試行で事象 A の起こる確率が P (A) = p の場合，独立に n 回試行を繰り返して，
A の発生する回数 X の分布は，B(n, p) となる．q = 1 − p として，
P (X = k) = B(n, p) =
k n−k
, (k = 0, 1, 2, · · · , n),
n Ck p q
n
k n−k
=1
n Ck p q
(3.19)
uniform distribution
サイコロの出る目を X
とすれば，P (X) = 1/6
binomial distribution
ベルヌーイ試行を n 回
独立に行うとき，という
こと．(3.5) と同じ.
(3.20)
k=0
• X1 , X2 が独立で，それぞれ二項分布 B(n1 , p), B(n2 , p) に従うとき，X1 + X2 は二項
分布 B(n1 + n2 , p) に従う．
3.4.3
ポアソン分布
Poisson distribution
• n → ∞ のときの B(n, λ/n) （λ > 0 は定数）の極限分布
Poisson (1781-1840)
• n → ∞, p → 0 の極限だから，
「稀な現象を記述する」確率分布
P (X = k) = P o(λ) =
e−λ
∞
k=0
3.4.4
λk
, (k = 0, 1, 2, · · · , n),
k!
λk
e−λ
=1
k!
(3.21)
(3.22)
幾何分布
• ベルヌーイ試行列において，はじめて事象 A が起こるまでの試行回数 X = k の確率分
布．A 以外がそれまでに k − 1 回発生しているから，q = 1 − p として，
P (X = k) = G(p) = p q k−1 , (k = 1, 2, · · ·)
(3.23)
n
p q k−1 = 1
k=0
再生性の定理
(3.24)
geometric distribution
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15
確率分布
Figures (離散確率分布)
3.5
二項分布 B(30, 1/6)
Poisson 分布 P o(3), P o(10)
Probability Dist. Func.
Probability Dist. Func.
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0
0.05
5
15
10
20
25
30
Cumulative Dist. Func.
5
0
15
10
20
Probability Dist. Func.
1
0.12
0.8
0.1
0.6
0.08
0.06
0.4
0.04
0.2
0.02
5
15
10
20
25
30
二項分布 B(100, 1/6)
0
5
15
10
20
25
30
幾何分布 G(1/6)
Probability Dist. Func.
Probability Dist. Func.
0.14
0.1
0.12
0.08
0.1
0.06
0.08
0.04
0.06
0.04
0.02
0
0.02
20
40
60
80
100
Cumulative Dist. Func.
0
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
40
20
30
40
30
40
50
Cumulative Dist. Func.
1
20
10
60
80
100
10
20
50
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3.6
Tables (Poisson 分布)
確率分布
16
【確率・統計】(2008 年度真貝) 3.
17
確率分布
✓
✏
授業の題材（離散確率分布）
✒
授業で扱いたい問題です．各自，教科書の章末問題等も積極的に解き進めてください．
3.6 事象 A の起こる確率 P (A) が
る確率を求めよ．
✑
1
のベルヌーイ試行を 10 回行うとき，A が 2 回発生す
3
ベルヌーイ試行，
二項分布
3.7 n 個のサイコロを振ったとき，1 の目が出る個数 X の確率分布を求めよ．
3.8 二項分布 B(n, p) = n Ck pk (1 − p)n−k の平均値と分散を求めよ．
教科書 p50, 53
3.9 日本人の血液型は 10 人に 3 人の割合で O 型である．5 人の日本人を任意に選んだとき，
そのうちの O 型の人数を X とする．X の平均値と標準偏差を求めよ．
3.10 あるマークシート形式の問題には 5 つの答の選択肢があり，正答は 1 つである．問題が
難しかったので，10 人の受験生全員が無作為に答えた．このとき，正解者が少なくと
も 2 人いる確率を求めよ．
3.11 ある酔っぱらいが，1 歩進むごとに，右か左へそれぞれ 1/2 の確率でよろけながら進ん
でいる．10 歩進んだとき，右または左へ何歩分よろけているか．
3.12 ポアソン分布 P o(λ) = e−λ
λk
の平均値と分散を求めよ．
k!
3.13 ある製品の生産ラインの不良品率は 0.02 である．このラインで生産された製品からラ
ンダムに 100 個を取り出すとき，不良品が 4 個以上ある確率はいくらか．
random walk
教科書 p50, 54
教科書 p20, 22
(1) 二項分布に従うとして求めよ．
(2) ポアソン分布に従うとして求めよ．
3.14 レーズンパンを 100 斤作る．
ポアソン分布
(1) 全部で 1000 粒のレーズンを使用するとき，パン 1 斤に 10∼15 粒含む確率を求
めよ．
(2) 100 斤中にレーズンが 1 粒も入っていないパンを 2 斤以下にしたいとき，全部で
何粒準備すればよいか．
（log 10 = 2.3026, log 2 = 0.6932）
3.15 １の目が出るまで１つのサイコロを投げ続ける．
幾何分布
(1) 18 回以上投げる確率を求めよ．
(2) 初めて 1 の目が出るのは，平均して何回目か．
3.16 ある銀行の 1 つの窓口の順番待ちの人数 X が，サービスを受けている人を含めて確率
分布
P (X = k) =
1
6
5
6
k
, k = 0, 1, 2, · · ·
に従うものとする．
(1) 窓口でサービスを受けている人を含めて，平均何人並んでいるか．
(2) 窓口でサービスを受けるのを待っている人は，平均何人か．
(3) 待たないで済む確率はいくらか．
(4) 10 人以上の列ができる確率はいくらか．
幾何分布
【確率・統計】(2008 年度真貝) 3.
3.7
18
確率分布
分布間の関係図
独立試行
ベルヌーイ試行
一様分布
２項分布
幾何分布
B(n,p)
G(p)
正規分布
N(μ,σ^2)
ポアソン分布
Po(λ)
標準正規分布
N(0,1)
t 分布
F 分布
変換により移行
極限操作で移行
χ^2 分布

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