テンソル積展開宮崎大輔参考文献 • 村上純, 山本直樹, 田所嘉昭, "べき乗法を用いた３階テンソル積展開の高速計算法," 電子情報通信学会論文誌A, Vol. J82A, No. 8, pp. 1351-1359, 1999年8月 • 志水安起良, 村上純, 田所嘉昭, "３次元外積展開による動画像データ圧縮," 情報処理学会CVIM研究会, Vol. 79-8, pp. 51-57, 1992年9月 • 斎藤隆弘, 小松隆, 原島博, 宮川洋, "多次元外積展開による静止画像の符号化," 電子情報通信学会論文誌B, Vol. J-68-B, No. 4, pp. 547-548, 1985年4月イントロ • テンソル積展開（別名：外積展開） • テンソル(tensor)のことをmultilinearと言ったりもする • テンソルって何？ • ベクトルは１階テンソル，行列は２階テンソル • C言語でいうと，「int var[10]」は１階テンソル，「int var[10][10]」は２階テンソル，「int var[10][10][10]」は３階テンソル • この論文の目的は？→動画像圧縮 • 動画像を３次元配列と考え，テンソル積展開 • PCAみたく，上位の何個かの主成分のみを格納することにより，データが圧縮される • 結論から言うと：DCTと比べて圧縮率が悪い３階テンソル • ベクトルa,b,c(サイズL,M,N)のテンソル積 a  b  c は３階テンソル（３次元配列） X   X ijk  ijk   ai b j ck  ijk テンソル積展開 R A    i  ui  v i  w i  • • • • i 1 展開ベクトルui,vi,wi(ノルム1) 展開係数αi（降順に並んでいる）各項は直交してる（内積が0）内積の計算は論文参照項数pで打ち切る非線形最適化法 • un,vn,wnに初期値を設定 • 展開したい３次元配列Aと，今までに得られているuvwから作られる３次元配列との差＝３次元配列B n 1 B  A    i  ui  v i  w i  • E  B  un  v n  w n • • • • v,wを固定してuを計算 u,wを固定してvを計算 u,vを固定してwを計算収束するまで繰り返し • 展開係数αを計算 i 1  n  A  un  v n  w n  べき乗法 • un,vn,wnの初期値を設定 • ３次元配列Aと，今までの展開項から得られる３次元配列との差 n 1 ＝３次元配列B B  A    i  ui  v i  w i  un  B  w n  v n T vn   B  w n   un w n  B  v n  un • 収束するまで繰り返し • 展開係数αを計算 i 1  n  A  un  v n  w n  ３階直交テンソル積展開 • 先ほどの計算だとすべての項が直交するとは限らない • 各展開ベクトルが正規直交基底となるような条件を付加して直交３階テンソル積展開の計算が可能 • 詳細は論文参照実験結果１ SN比: Signal to Noise ratio, 信号と雑音の比, 大きいほど良好実験結果２計算時間次回 • 予定：３～５月？ • 発表者 • 宮崎大輔：Belief Propagation? • ？？ • ？？ © Daisuke Miyazaki 2005 All rights reserved. http://www.cvl.iis.u-tokyo.ac.jp/