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固体力学特論
春AB学期
火曜日
3,4限
第6回
復習：発散定理

発散定理

発散の体積積分を表面積分に変換する

ガウスの定理と呼ばれる
dA
   GdV  n  GdA
V
A
    
   , ,   ベクトル量
 x y z 
  G  G e x  G e y  G e z  G ,i
x
y
z

V
G
G i ,i dV   n i G i dA
A
G
dV
角運動保存則

ベクトル積を用いて角運動量を表す
d
Vr  fdV  Ar  TdA  dt V rvdV

F×r
f
角運動量
角運動量の時間変化は，力のモーメントに等しい
 あるいは，εijkを用いて

d
V ijk x jf k dV  A ijk x jt k dA  dt V ijk x jvk dV

これを角運動保存則という
r
ベクトル積のおさらい

ベクトル積
  
C  AB

C  (A y Bz  A z B y , A z B x  A x Bz , A x B y  A y B x )
Ci  ijk A jBk

例となるベクトルA,B,Cを考える
z


A  (A,0,0), B  (B cos , B sin ,0)

C  (0,0, ABsin )
C
A

ベクトル積はAとBが作るモーメントをあらわす
x
y
θ
B
角運動保存則

トラクションベクトルの定義から


T  Ti ei

  ji n jei

角運動保存則の式に代入し，発散定理から


 ijk x jf k  x j kl ,l dV    ijk 
d
x jv k dV
V
V
dt
 dx j
dv k






x
f

x


x

dV



v

x
V ijk j k j,l kl j kl,l
V ijk  dt k j dt

dV

 dx j
dv k 
v k   x j dV
   ijk x jf k   jl  kl  x j kl,l dV    ijk 
V
V
dt 
 dt
角運動保存則

運動方程式より以下の関係が成り立つ

さらに，εijkの特徴から以下の関係が成り立つので
 
 dv k 
V ijk x j f k  kl,l dV  V ijk x j dt dV
ijk v j v k  0, (v  v  0)
 dx j
dv k 
V ijk x jf k   jlkl  x jkl,l dV  V ijk dt vk   x j dt dV

角運動が保存されるためには以下の関係が必要になる

V
ijk  kjdV  0
もしくは，ijk  kj  0
角運動保存則

このことから，i=1のとき，
23  32  0

また，i=2のとき，
31  13  0

また，i=3のとき，
12  21  0

角運動保存則から，応力テンソルの対称性があらわせる
線形等方弾性体


線形で等方な弾性体を考える

応力とひずみが線形関係

材料は方向性を持たない

応力が0になるとひずみも0になる
応力とひずみの関係は以下のとおりとなる
ij  2ij   ij kk

λとμをLameの定数とよぶ．ひずみをσであらわすと
1

 ij 
 ij 
 ij kk
2
2 2  3 
線形等方弾性体

4階のテンソルであるCijklを使って，線形等方弾性体は以
下のように書ける
ij Cijkl  kl
Cijkl   ij kl  ik  jl  il jk 
熱応力

熱によって生じる応力を熱応力という

熱膨張係数α：温度1Kによる長さ・体積が膨張する割合

Tは評価する温度，T0は基準となる温度（たとえば室温）
ii  T  T0 


ひずみの式に足し合わせる
1

 ij 
 ij 
 ij kk  ij T  T0 
2
2 2  3 
ij  2ij   ij kk より
ij  2ij   ij kk  kk 3  2T  T0 
仮想仕事の原理

エネルギー保存則を参考にして，仮想的な変位δu
がなす仕事を考える
W   Ti u i dA   f i u i dV
A


V
ここで，物体にかかる力は釣り合っているとする（加速度
が0）
トラクションベクトルの定義から
W   ij, j  f i u i  iju i , jdV
V
  iju i , jdV
V
  ij ijdV
仮想仕事の原理とFEMへの展開

線形問題の仮想仕事の原理が得られる
   dV   T u dA   f u dV
V

ij
ij
A
i
i
V
i
i

u, ε
ここで，ひずみと変位が以下のように与えられるとす
る
u i  N in u n ,  ij  Bijn u n
u i  N in u n ,  ij  Bijn u n
u1 , u 2
u3 , u 4
ij  Cijkl kl  CijklBk ln u n
要素節点での変位で内部を補完する
u 7 , u8
 NやBは補完関数と呼ばれる

u5 , u6
仮想仕事の原理とFEMへの展開

仮想仕事の原理へ要素での変位を代入する．
C
V

Bk ln u ln Bijmu mdV   Ti Nimu mdA   f i Nimu mdV
ijkl
A
V
δu=0でない解を得るために，以下の関係が成り立
つ
u dV   T N dA   f N dV
CBB

 

V
ijkl
k ln
ijm
n
剛性マトリクス
A
i
im
V
i
im
外力
K mn  u n  Tm  Fm
要素内の離散化された変位unに対する関係式を与える．
 複数の要素で足し合わせていくと任意の数の変位に対する
関係式が得られる

演習

弾塑性体の一軸引張変形の応力ひずみ関係を求めるプログラムをダウン
ロードする。

C++でコンパイルする（Cygwin,VMware）。

ヤング率3000MPa、ポアッソン比0.2の材料を仮定して、引張変位と荷重の
関係をひずみ0.01（1%）まで求めよ。また、そのときの、変位と縦ひず
み・横ひずみの関係をプロットせよ。

弾塑性にならないように注意しましょう。

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