1章データの整理 - Econom01 Web Site, Sophia

6章仮説検定の基礎
6.2 平均値の検定
（分散は未知、小標本法）
[例2] 本好きな A 君
自分では「月平均 2 万円の出費」
よく金を貸す友人の B 君が調査
4 ヶ月の本代
x = 23182 円／月
標本平均
標本標準偏差 s = 2000 円／月
検定問題： A君の本代平均 μ は、
μo = 月 2 万円（Ho : μ = μo）か？
それとも、月 2 万円を超えている
（H1 : μo < μ）か？
使用する性質
A 君の月々の本代～正規分布
と仮定
X 
T
S/ n
～自由度 n – 1 の Student の t 分布
（定理4.7）
t (自由度 3)
10%→ 2.5%→
5%→
1%→
-1
0
1
2
3
=t
4
4.541
-2
3.182
-3
2.353
1.638
-4
5
6
T
7
仮説の下での標本値
x  o 23182 20000
t

 3.182
s/ n
2000/ 4
求める確率（有意水準、P値）


X  o
P T 
≧ t  3.182  2.5%
S/ n


自由度 n – 1 = 4 – 1 = 3
Student の t 分布
（統計的）結論
仮説（Ho : μ = μo）が正しいとすれば、
標本のように大きな t 値が出現する確率は
2.5 %（40回に1回）。
（偶然変動として）やや稀な事象
⇒ この結果は有意（偶然変動ではない）。
よってA君の平均本代は月２万円を超えて
いると考えた方が良いだろう。
6.3平均値の差の検定
[例3] ある企業：電球銘柄 A 使用。
セールスマン：電球銘柄 B を薦める。
A, B 各々 100 個の電球の寿命を計測。
銘柄 A： x A = 1180 時間, sA = 90 時間
銘柄 B： x B = 1140 時間, sB = 120 時間
検定問題：
銘柄 A, B の寿命は同じ（Ho : μA = μB）？
それとも、異なる（H１：μA ≠ μB）か。
使用する性質
定理: 正規分布の再生性 (講義用資料2より)
X ～正規分布(平均 μX 、分散σX2 )
Y ～正規分布(平均 μY 、分散 σY2 )
かつ X, Y が独立
Z = X + Y ～正規分布(平均 μZ = μX + μY、
分散 σZ2 = σX2 + σY2 )
系
Z = X – Y = X + (-Y)
～正規分布(平均 μZ = μX - μY、
分散 σZ2 = σX2 + σY2 )
仮説
Ho : μA – μB = 0
対立仮説 H1 : μA – μB ≠ 0
検定統計量： X A  X B
標本サイズ 100 の標本平均値の分布
⇒ 中心極限定理 ⇒ 近似的に「正規分布」
XA  XB
～正規分布(平均 μA – μB 、
σ
σ
分散

n A nB
2
A
2
B
）
Z
X A  X B   A   B 

2
A
 
/ nA   / nB
2
B

仮説 Ho : μA – μB = 0 の下で
Z

XA  XB
2
A
 
/ nA   / nB
2
B

～標準正規分布
その標本値（大標本法）
z
1180 1140
8
  2.66
2
2
90 / 100  120 / 100 3

 

n(0, 1)
←1% ←5%
←2.5%
-1
0

1
2
2.67
2.33
-2
1.96
1.64

-1.64
-1.96
-3
-2.33
-4
5%→ 1%→
2.5%→
Z
3
4
=z
P Z ≧ z  2.66 ≒ 0.0038 2  0.0076
（統計的）結論
仮説（Ho : μA = μB ）が正しいとすれば、
標本のように大きな差が出現する確率は
0.76 %（132回に1回）。
（偶然変動として）稀な事象
⇒ この結果は有意（偶然変動ではない）。
よって今使っている銘柄Aの方が平均寿命が
長いと考えた方が良いだろう。

Download Report