統計学入門(1) 第12回確率分布モデル正規分布、2項分布、ポワソン分布今日の話題  確率分布モデル    正規分布２項分布ポワソン分布ベルヌーイ実験   ２種類の結果を持つ実験例：コイン投げ裏・表成功・失敗買う・買わない好む・好まない２項確率変数   複数のベルヌイ実験(n 回)を行ったときの、成功の回数を示す確率変数この確率変数の分布を２項分布という 2項分布成功の確率 p  実験の回数 N   成功の回数を表す変数 X 2項分布  X = k の確率 P( X  k ) N Ck p (1  p) k N Ck N k は、N から k 取り出す組み合わせの数例：コインを5回投げて表の出る数： N=5, p=0.5 1.00 確率累積確率 0.75 0.50 0.25 0.00 0 1 2 3 4 5 p=0.1 N=10 0.50 0.50 0.50 0.40 0.40 0.40 0.30 0.30 0.30 0.30 0.20 0.20 0.20 0.20 0.10 0.10 0.10 0.10 0.00 0.00 0.00 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9 10 0.00 0 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9 0 10 0.30 0.30 0.30 0.25 0.25 0.25 0.25 0.20 0.20 0.20 0.20 0.15 0.15 0.15 0.15 0.10 0.10 0.10 0.10 0.05 0.05 0.05 0.05 0.00 0.00 0.00 0.25 0.25 0.25 0.20 0.20 0.20 0.20 0.15 0.15 0.15 0.15 0.10 0.10 0.10 0.10 0.05 0.05 0.05 0.05 0.00 0.00 0.00 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 X 16 20 24 4 8 12 16 20 24 28 0 0.20 0.20 0.20 0.15 0.15 0.15 0.15 0.10 0.10 0.10 0.10 0.05 0.05 0.05 0.05 0.00 0.00 4 8 12 16 20 24 28 X 32 36 40 44 48 0 4 8 12 16 20 24 28 X 32 36 40 44 48 5 6 7 8 9 10 8 12 16 20 24 28 X 0.20 0 4 X X 0.00 4 0.00 0 28 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 0.25 4 2 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 1 X 0.30 0 N=50 p=0.7 0.40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X N=30 p=0.5 0.50 0 N=20 p=0.3 0.00 0 4 8 12 2項分布の確率関数 16 20 24 28 X 32 36 40 44 48 0 4 8 12 16 20 24 28 X 32 36 40 44 48 2項分布の期待値 P( X  k ) N Ck p (1  p) k N k N E ( X )   k P( X  k ) k 0 N   k N Ck p (1  p ) k k 0 N k 2項分布の期待値 N E ( X )   k P( X  k ) k 0 N p 期待値が N p   成功の確率と実験回数の積例： p = 1/6, N = 3 E(X) = 0.5 期待値が N p   成功の確率と実験回数の積例： p = 1/6, N = 6 E(X) = 1 個数の分布  ポワソン分布  少数個の個数分布のモデル  例：    事故の回数得点の分布 ... 個数データの分析  事故の件数購入個数 …  離散データ（特に数字が小さい場合）    大きな数字をとる場合は「正規分布」の想定が可能ポワソン分布  平均がθのポワソン分布の確率関数 P( X  k )  e   k k!  Excelでは、 =POISSON()  平均はθ、分散もθ ポワソン分布 0.60 0.60 0.60 0.50 0.50 0.50 0.40 0.40 0.40 0.30 0.30 0.30 0.20 0.20 0.20 0.10 0.10 0.10 0.00 0.00 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 0 9 10 11 12 13 14 15 平均=0.5 0.60 0.50 0.50 0.40 0.40 0.40 0.30 0.30 0.30 0.20 0.20 0.20 0.10 0.10 0.10 0.00 0.00 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 9 X 平均=4.0 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 9 10 11 12 13 14 15 平均=2.0 0.50 2 3 平均=1.0 0.60 1 2 X 0.60 0 1 X X 9 10 11 12 13 14 15 X 平均=3.0 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X 平均=5.0 平均が大きくなるにつれ分布が対称になっていきます例：Jリーグの得点分布 0.40 0.35 0.30 Pisson with mean 1.5377 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 バスケットボールの得点分布（San Antonio Spurs ） 25 20 15 10 5 0 75-79 80-84 85-89 90-94 95-99 100104 105109 110114 120124 125129 個数データの分析  購入個数の分布レシート数 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 1 2 3 4 5 購買個数 6 7 8 9 10 個数データの分析  ポワソン分布の混合モデルレシート数 4500 4000 2つの混合モデル 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 1 2 3 4 5 購買個数 6 7 8 9 10 個数データの分析   平均個数：0.7881 1クラスモデル 4500 4000 3500 3000 2500 2000  平均0.7881のポワソンモデル 1500 1000 500 0  2クラスモデル 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 クラス1 クラス2：サイズ 0.7456 0.2544 平 0.7456×Poisson(0.4285)＋0.2544Poisson(1.8420) 均 0.4285 1.8420 補足：3クラスモデル、zero-inflated modelも… 量的データの分布モデル  正規分布  対称な分布誤差のモデル  中心極限定理   複数の変数の和の分布が正規分布正規分布(Normal Distribution) N(, ) 2 確率密度 σ 標準偏差 μ f ( x)   1 2 2 e ( x ) 2 2 2 平均データの値パラメータ正規分布  ドイツの科学者ガウスが発見した理論分布（ガウス分布と呼ばれることも）  連続的なデータの理論分布として誤差分布として ... ドイツ10マルク紙幣には、ガウスの肖像画と正規分布が  .    松坂投手(2006年シーズン)の直球の球速の分布 200 180 0.93 0.07 160 147.0 141.4 140 2.4 2.8 度数 120 100 80 60 40 20 0 133 135 137 139 141 143 145 147 149 151 153 155 球速スライダーの場合 180 160 0.07*N(136.9, 1.7^2)+0.93*N(128.8, 3.3^2)) 140 120 N(129.3, 3.8^2) 100 度数 80 180 60 160 140 40 N(128.8, 3.3^2) 120 N(136.9, 1.7^2) 20 度数 0 100 80 60 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 140 142 144 146 40 球速 20 0 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 140 142 144 146 球速正規分布の場合のシグマの法則