２．伝送線路の基礎 2.1 分布定数線路 2.1.1 伝送線路と分布定数線路集中定数回路：fが低い場合に適用線路上の電圧、電流は同一時刻で同じで，場所zに依存しない分布定数回路：fが高い場合に適用線路上の電圧、電流は，時間tと場所zの関数例題2.1 l<<λなら集中定数回路，それ以外なら分布定数回路として扱う。線路の一次定数：線路の構造と材料によって定まる R[Ω/m]：往復導線抵抗 L[H/m]：往復導線インダクタンス G[S/m]：線間漏れコンダクタンス C[F/m]：線間キャパシタンス 2.1.1 分布定数回路の基本式 v(z,t), i(z,t)を図2.2の等価回路から求める。   電流と電圧の複素表示： I ( z ),V ( z ) (フェーザ表示)。瞬時値は    v( z, t )  Re 2 V ( z )e jt ,      i ( z, t )  Re 2 I ( z )e jt    (2.1) 複素表示の絶対値は点Pの実効値を表す   1 T 1 T 2 2     V ( z)  v z , t dt , I ( z )  i z , t dt   0 0 T T 線路の微小区間Δzを考える。 Δzでの電圧降下ΔV      V ( z )  V ( z )   V ( z )  Rz I ( z )  jLz I ( z )    (2.2) 両辺をΔzで割ってΔz→0とすれば   d V ( z)    R  j L  I  z  dz (2.3) Δzでの電流の減少分ΔI       I ( z )  I ( z )   I ( z )  G  jC z V ( z )   V ( z )      (2.4) 両辺をΔzで割ってΔz→0とすれば   d I ( z)   G  jC V z  dz  (2.5)  d V ( z)    R  j L  I  z  dz (2.3)と(2.5)より    d V ( z) d I z    R  jL   R  jL G  jC V ( z ) 2 dz dz 2  d V ( z)  2    V z   0 2 dz 2    (2.6) は伝播定数  R  jLG  jC  (2.7) (2.3)   (2.6)の微分方程式(波動方程式)の解は積分定数 V ,V を用いると 1   V ( z)  V 1 e   z  V 2 e   z  d V ( z)    R  j L  I  z  dz (2.8) (2.3)を変形して(2.8)を代入        1 d V ( z) 1   z z I z    R  jL  dz R  jL     V 1 e   V 2 e      (2.3) R  jLG  jC    G  jC    z   z   V 1 e  z  V 2 e z  V 1 e  V 2 e  Z Z0 0 R  jL    2 (2.9) Z0は特性インピーダンスである。 Z0  R  jL G  jC (2.10) 分布定数線路の基本式   V ( z)  V 1 e    z  V 2 e  z     V 1  z V 2  z I ( z)  e  e Z0 Z0  は境界条件(送端，受端の電圧と電流)によって定められる。線路の２次定数：伝播定数  と特性インピーダンスZ0 V1 ,V2  2.1.3 伝搬定数伝播定数  は非負の実数α(減衰定数)，β(位相定数)を用い       j (2.11) R  jLG  jC    j とおいてαとβを求める。 RG   2 LC  jLG  CR   2   2  2 j R  jLG  jC     j 2 RG   2 LC   2   2      4  の関係を用いると    RG   LC    LG  CR  R G  L G  C R   L C   R   L G    2 2  LG  CR   2 (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 (2)ー(1) ： 1 2 2 2   1 2 2 2 2   2C 2  R   L G   C  R   L G   C   RG   LC  (1)＋(2) ： 2 2  RG   2 LC   2 2 R 2 2 2 2  2 2 2 2 2 2 2 (2) 2 2 (2.12)    2 L2 G 2   2C 2  RG   2 LC R 2      2 L2 G 2   2C 2  RG   2 LC  (2.13) 2.1.4 減衰定数分布定数線路の基本式の第1項を次のように置く  V1 e   z   V1 e  z  jz e I1 ( z )     V 1  z V 1 z  jz e  e e Z0 Z0 (2.14)  電圧V 1 ( z) の瞬時値はV1を実数として V1m  2V1 とおくと    v1 ( z, t )  Re 2 V1 ( z )e jt   V1mez cost  z    (2.15) v1(z,t)は，振幅V1me-αz，周波数 ωの正弦波振動。 αが大きいと減衰が大きくなる。 zが大きくなるにつれて減衰量が大きくなる。減衰定数α:電圧の振幅が線路単位長あたりに減衰する程度を表す。単位は[dB/m], [Np/m] 基準点の電圧をVA，比較する電圧をVBとすると Np  loge VA / VB  dB  20log10 VA / VB  例題2.2 α=0.125(dB/m)のとき48mの伝送線路の減衰量は 0.125☓48＝6dB 6  20log10 VT / VR  よりVT/VR=2。VT=5VのときVR=2.5V  もe-αzに比例して減衰。電圧と電流の振幅が線路に沿って減衰するのは，線路の抵抗とコンダクタンスによるジュール損。 I1 ( z ) R=G=0のとき   1 2 R 2      2 L2 G 2   2C 2  RG   2 LC  は0になって無損失となる。 2.1.5 位相定数無損失線路を考えると，電圧 v1 ( z, t )  V1m cost  z   V 1 ( z) の瞬時値は (2.16) [1] 電圧の時間変化 •線路の送端Aでの電圧 v1 (0, t )  V1m cost  を動径がV1mでOを中心とする回転ベクトルに対応させる。位相が0の基準ベクトルを OS ととる。時刻tでの v1 (0, t ) は， Sを始点として反時計方向に角周波数ωで回転するベクトルの縦軸 OSへの正射影A1’。時刻t1での位相はωt1 tを横軸， v1 (0, t ) を縦軸にとると送端Aでの電圧は，図2.5(a)で表わされる。ベクトル OA1 が1回転する時間が周期T。周期と角周波数の関係：ω=2π/T (2) 送端から距離z1にある点P1の電圧点P1の電圧は v1 ( z1, t )  V1m cost  z1  Sから位相がβz1(時間でt1=βz1/ω)遅れている。 P1での電圧は図2.5(b)の実線で表わされる。 [2] 電圧の場所に関する変化ある時刻における線路上の電圧分布 t=0における電圧 v1 ( z,0)  V1m cos z  図2.6に示すようにzの増加とともにSを始点として時計回りに位相βzで回転 2   波長λ：βz＝2πとなる距離：  2 (2.17) 単位長あたりに遅れる位相位相定数：   例題2.3 l=λ/4の線路での送端と受端の位相差 l  2     4 2 (遅れ) [3] 伝搬速度伝送線路上の電圧 v1 ( z, t )  V1m cost  z  が線路を伝わる様子を考える。 Sからωt0だけ進んだA1を始点とし，時計方向にβzだけ回転させる(図 2.7の実線)。Δt秒経過したときの電圧分布v1 ( z, t0  t ) は，A1から位相が ωΔt進んだA2を始点として時計方向にβzだけ回転するベクトル(図2.7 の点線)。時間の経過とともにz軸の正の方向に移動していく。この移動速度が伝搬速度v。 t=t0の分布の山をP1，その位置をz0とする。ΔtでΔzだけ移動したとするとv=Δz/Δt t0  z0   (t0  t )   ( z0  z ) P1とP2では位相が等しいので， v  z   t  2  v  f t  z  0 [m/s]   2f (2.18) を(2.18)に代入すると (2.19) 例題2.4 長さ1.5mの伝送線路に100MHzの信号を入力する。 3  108 2 2   3 [ m ]    [rad ] 100 106  3 信号が線路の送端から受端に到達するまでの時間と位相遅れ t 1.5  5[ns ] 8 3  10 z  2 3   [rad ] 3 2 2.1.6 進行波とその複素表示進行波：一定の方向に一定の速度で伝わる波動  v    v ( z , t )  V cos  t   z 無損失線路の電圧 1 は，z軸の正方向へ速度  1m で伝搬する進行波   複素表示 V 1 ( z )  V 1 e jz では時間依存性e jt が省略されており，e jz が進行波であることを示している。  e  jz はz軸の正方向に速度 v  で伝搬する進行波    例題2.5 V 2 ( z )  V 2 e jz は時間項を含めて書くとV 2 ( z )  V 2 e j t z  ωt+βz=一定の条件では時間経過とともにzが減少する。すなわちzの負方向に伝搬する。