物性物理学序論

自由電子モデル
量子力学の復習：
問題。
ポテンシャル０、長さLの（１次元の）井戸の中にいる
質量ｍの粒子のシュレディンガー方程式を書け。
このシュレディンガー方程式を解いて、
波動関数を求めよ
井戸型でなくて、周期境界条件の場合は、どうなるか？
できた人に前でやってもらいます。
1
いろいろな結合
1)金属結合
2)共有結合
強い結合
固
体
3)イオン結合 (NaClなど）
4)ファンデルワールス結合
<その他の結合>
5)水素結合
6)疎水結合
弱い結合
水中でも離れない
水中で離れる
ことがある。
溶
液
中
生体系では2)-6)を考える。
3)-6)を「非共有結合」ということがある。
2
イオン結合
-
＋
＋
-
電子が右に移動
陽イオン
陰イオン
＋
＋
-
クーロン引力
あまり近づくと電子雲が重なって反発
-> ボルン・メイヤー
3
ファンデルワールス結合
van der Waals bonding
中性原子同士に働く。
電子が原子核の周りを回って、
電気双極子を作る。
引力ポテンシャル＋斥力ポテンシャル
-A/r6 + B/r12
A>0, B>0
レナードジョーンズのポテンシャルと呼ぶ。
シミュレーションでよく使うポテンシャル。
問：レナードジョーンズポテンシャルのグラフを書いてみよ。
弱い結合。
Ne, Ar, Kr, Xeなど希ガス原子は低温で結晶を作る。
4
水素結合
hydrogen bonding
O
H
-
H
+
O-H ・・・O
水素を間にはさんで、ＯとＯが弱く結合する。
Ｏの他、Ｎ（窒素）でも同様。
5
疎水結合 hydrophobic interaction
水は電荷を持つ。
高分子は電荷を持つ部分と持たない部分がある。
電荷を持つ部分は水と結合しやすい：親水基
電荷を持たない部分は、水の方を向きにくい：疎水基
疎水基同士が集まりやすい-> 疎水結合
疎水基
親水基
水
6
余談：
水は難しい！
水を研究している人は大勢いる。
水素結合
たんぱく質の構造決定には、水の役割が大事。
水を入れないでシミュレーションをやると、
間違った構造を得ることがある。
氷にはいろいろな結晶構造がある！
圧力や温度によって相図が書ける。
惑星（木星など）の氷。
7
ここから結晶格子の話
8
なぜ結晶格子を考えるか？
固体の場合、原子が規則的に並ぶことが多い。
液体でも結晶格子を参考に構造を考えることがある。
金属の場合、
原子＋
電子
自由電子モデル（ポテンシャル=0）は
前回考えた。
では原子の影響は？
9
結晶格子のいろいろ
１．単純立方格子
２．体心立方格子
３．面心立方格子
４．もっと一般的な場合
基本並進ベクトル
逆格子ベクトル
フーリエ変換、周期関数のフーリエ変換の特徴
10
単純立方格子
simple cubic lattice
立方体の頂点に原子を置く。
問：１つの立方体中に、原子は何個あるか？
ヒント：１つの原子はいくつの立方体に共有されているか？
11
体心立方格子
body-centered cubic lattice
bcc
立方体の中心に原子がある。
図の構造が数多く続く。
a
問１：体心立方格子の場合、上記の１つの立方体に
原子は何個含まれているか？
問２：立方体の一辺をaとすると、体心にある原子と頂点に
ある原子の中心間の距離はいくらか？
問３：原子を最大限大きな半径の球で書くとすると、
半径はどのくらいか？ aを使って書け。
12
体心立方格子の問題の答
問１：体心立方格子の場合、上記の１つの立方体に
原子は何個含まれているか？
端の原子は８個の立方体に共有されているので、
1/8個。それが８倍で１個。
体心の１個を合わせて２個。
問２：立方体の一辺をaとすると、体心にある原子と頂点に
ある原子の距離はいくらか？
斜めに上から切ると、a x √2 aの長方形。
これの対角線は√3 a. その半分で a √3 /2
問３：原子を最大限大きな半径の球で書くとすると、
半径はどのくらいか？ Aを使って書け。
体心と頂点にある原子が一番近いので、
これで距離が決まる。
a √3/4
13
面心立方格子
face-centered cubic lattice
fcc
各面の中心に原子がある。
問１：面心立方格子の場合、上記の１つの立方体に
原子は何個含まれているか？
問２：立方体の一辺をaとすると、面心にある原子と頂点に
ある原子の中心間の距離はいくらか？
問３：原子を最大限大きな半径の球で書くとすると、
半径はどのくらいか？ aを使って書け。
14
面心立方格子の問題
問１：面心立方格子の場合、上記の１つの立方体に
原子は何個含まれているか？
各面が1/2個。面が６個なので、３個。
頂点は1/8 x 8 = １個。合計４個
問２：立方体の一辺をaとすると、面心にある原子と頂点に
ある原子の距離はいくらか？
a √2 /2
問３：原子を最大限大きな半径の球で書くとすると、
半径はどのくらいか？ aを使って書け。
a √2/4
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もっと一般的に
一般の格子は、
角度は任意、長さも任意。
a3
a2
a1
基本並進ベクトル
T=u1 a1 + u2 a2 + u3 a3
(u1,u2,u3は整数）
16
ここから
フーリエ変換の話。
17
フーリエ変換
結晶格子はフーリエ変換して考えることが多い。
なぜか？
1) 結晶は規則的な格子なので、
フーリエ変換するとわかりやすい。
2) X線などは波長がわかっている場合が多い。
物理実験でX線をやった人は、思い出してみて下さい。
3)自由電子も進行波exp(ikx)で書ける。
（シュレディンガー方程式を、ポテンシャルＵ＝０，周期境界条件で解く。）
金属の周期ポテンシャルを受けると、これが変化する。
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フーリエ変換の復習
１次元で、

g (k )   f ( x) exp(ikx)dx

問題
1) exp(ikx)の実部と虚部を書け。
2) xは長さのディメンジョンを持つ。kのディメンジョンは？
3) g(k)を知っている時、逆フーリエ変換のf(x)を求める式
1
f ( x) 
2



g (k ) exp( ikx )dk
で矛盾がないことを確かめよ。
4) f(x)=exp(-ik1x), f(x)=δ(x-x1)のフーリエ変換を求めよ。
5) f(x)が周期aの周期関数の時、
← f(x+a)=f(x)
フーリエ変換したgはどんな性質があるか？
6) 長さのスケールが大きい系と小さい系で、
フーリエ変換したgはどのように違うか？
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δ関数の復習
1)

  ( x) f ( x)dx  f (0)

2) θ(x) = 1
0
に対して、
3)
1
 ( x) 
2
if
if
x ≧ 0
x < 0
d ( x )
 ( x) 
dx

 exp(ikx)dk
θ(x)：ヘビーサイドの
階段関数
δ関数の積分表示

問題１：2)から1)を求めよ。
問題２：3)から1)を求めよ。
問題３：次の式を示せ。

  ( x)dx  1

 ( x) δ( x)
δ( x)
 (ax) 
a
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