練習問題13-1の解答例

練習問題 13-1
情報工学科篠埜功
2015 年 7 月 13 日
練習問題
区間 [−π, π] における関数 f (x) = x のフーリエ級数は
∞
∑
2
− (−1)k sin kx
k
k=1
(1)
である。これを複素指数関数 {eikx |k ∈ Z} の線形結合の形に変換せよ。
解答例 1
オイラーの公式
eiθ = cos θ + i sin θ
(2)
より、以下の等式が成り立つ。
e−iθ = ei(−θ)
= cos(−θ) + i sin(−θ)
= cos θ − i sin θ
(3)
等式 (2) と (3) を加えると
eiθ + e−iθ = 2 cos θ
が得られる。等式 (2) から (3) を引くと
eiθ − e−iθ = 2i sin θ
が得られる。従って以下の 2 つの等式が成り立つ。
eiθ + e−iθ
cos θ =
2
eiθ − e−iθ
sin θ =
2i
等式 (4) において θ に kx を代入すると
sin kx =
eikx − e−ikx
2i
1
(4)
が得られる。これを式 (1) に代入すると
∞
∑
eikx − e−ikx
2
− (−1)k
k
2i
k=1
が得られる。この式を以下のように書き換えて整理する。
∞
∑
∞
ikx
∑
− e−ikx
eikx − e−ikx
2
1
ke
=
− (−1)
− (−1)k
k
2i
k
i
k=1
k=1
∞
∑
1
− (−1)k (−i)(eikx − e−ikx )
k
k=1
=
∞
∑
1
(−1)k i(eikx − e−ikx )
k
k=1
}
∞ {
∑
1
1
k ikx
k −ikx
(−1) ie − (−1) ie
k
k
k=1
}
{
∞
∑
1
1
k ikx
k i(−k)x
(−1) ie − (−1) ie
k
k
k=1
{
}
∞
∑
1
1
k ikx
k i(−k)x
(−1) ie +
(−1) ie
k
−k
k=1
}
∞ {
∑
1
1
k ikx
−k i(−k)x
(−1) ie +
(−1) ie
k
−k
k=1
=
=
=
=
=
∞
∑
=
ck eikx
k=−∞
ここで ck は以下のように定義される。

1

k


 k (−1) i k > 0
ck =
0
k=0


1

 (−1)k i k < 0
k
補足
∞
∑
ck eikx の表記は以下のように定義される。
k=−∞
∞
∑
k=−∞
ikx
ck e
= lim
n→∞
2
n
∑
k=−n
ck eikx
解答例 2
複素指数関数による級数を直接得る解法を示す。仮に、
f (x) =
n
∑
cl eilx
l=−n
とおく。（この等式を満たす c−n , . . ., c0 , . . ., cn は存在しないが、仮に上記の等式
が成り立つとする。）この等式の両辺に e−ikx をかけて区間 [−π, π] で積分する。
∫
π
−ikx
f (x)e
∫
π
dx =
−π
e−ikx
−π
∫
n
∑
cl eilx dx
l=−n
n
∑
π
=
−π l=−n
n
π ∑
cl eilx e−ikx dx
∫
=
−π l=−n
n ∫ π
∑
=
l=−n
∫ π
=
∫−π
π
=
−π
−π
cl ei(l−k)x dx
cl ei(l−k)x dx
ck e0 dx
ck dx
= 2πck
従って ck は以下のように得られる。
∫ π
1
f (x)e−ikx dx
ck =
2π −π
3
k 6= 0 のとき、ck は以下のように計算される。
∫ π
1
ck =
f (x)e−ikx dx
2π −π
∫ π
1
=
xe−ikx dx
2π −π
{[ −ikx ]π
∫ π −ikx }
e
1
e
x
=
−
dx
2π
−ik −π
−π −ik
=
=
=
=
=
1 πe−ikπ − (−π)eikπ
·
2π
−ik
k
1 π(−1) + π(−1)k
·
2π
−ik
1 2π(−1)k
·
2π
−ik
k
(−1)
−ik
1
(−1)k i
k
k = 0 のとき、c0 は以下のように計算される。
∫ π
1
c0 =
f (x)e0 dx
2π −π
∫ π
1
xdx
=
2π −π
= 0
従って関数 f (x) に最も近い線形結合は
n
∑
ck eikx
k=−n
である。ここで ck は以下のように定義される。

 1
(−1)k i k 6= 0
ck =
k

0
k=0
関数 f (x) のフーリエ級数は上記で得られた線形結合において n を大きくしたと
きの極限であり、
n
∞
∑
∑
ikx
lim
ck e =
ck eikx
n→∞
k=−n
k=−∞
である。これは解答例 1 で得られた級数と同じである。
4
補足
以下で、得られた級数を元の級数 (1) に戻してみる。
∞
∑
ikx
ck e
=
k=−∞
=
=
∞
∑
{
k=1
∞ {
∑
k=1
∞ {
∑
k=1
=
ck eikx + c−k ei(−k)x
1
1
(−1)k ieikx +
(−1)−k iei(−k)x
k
−k
}
1
(−1)k i(cos kx + i sin kx)
k
∞ {
∑
1
k=1
}
}
1
k
− (−1) i(cos kx − i sin kx)
k
1
(−1)k i cos kx − (−1)k sin kx
k
k
1
1
− (−1)k i cos kx − (−1)k sin kx
k
k
=
∞
∑
2
− (−1)k sin kx
k
k=1
これは級数 (1) である。
5
}

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