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電気回路Ⅱ演習
第2回復習編2
電気回路Ⅰの復習の続き
交流回路の計算
特性方程式の記述の仕方
インダクタンスLとキャパシタンスCについて
演習問題
数学的な基礎
三角関数を用いた表現
d
①
sin(t )   cos(t )
dt
d
cos(t )   sin(t )
②
dt
1
cos(t )
③  sin(t )dt 

④
1
 cos(t )dt   sin(t )
複素関数を用いた表現
e jt  cos(t )  j sin(t )
d jt
e  je jt
dt
 j cos(t )   sin(t )
②
1 jt ①
jt
 e dt  j e
j
1

cos(t )  sin(t )


③
符号が面倒である
jをかけたりわったりするだけ
④
交流の回路の素子
1
交流回路で使われる素子
2
R
3
L
C
ωの角周波数をもつ正弦波の電流または電圧が与えられた場合
①
R
v (t )
i (t ) 
R
または
v(t )  Ri(t )
交流の回路の素子2
②
インダクタンス
L
di (t )
v(t )  L
dt
③
C
dv (t )
i (t )  C
dt
または
1
v(t )   i (t ) dt
C
交流回路における電流と電圧
i (t )
i(t )  I m cos(t )
e(t )  v(t )
di(t )
L
  LI m sin(t )
dt


 LI m cos t  
2



 Em cos t  
2

e(t )
~
L
電流に対して電圧は
π/2だけ位相が進んでいる
交流回路における電流と電圧2
i (t )
e(t )  Em cos(t )
de(t )
i (t )  C
 CEm sin(t )
dt


 CEm cos t  
2

e(t )
~
C
電圧に対して電流は
π/2だけ位相が進んでいる
複素数を用いて1
1
R
E(t )  Eme
jt
Em jt E (t )
e 
の場合 I (t ) 
R
R
E (t )
R
I (t )
I (t ) 1
Y

E (t ) R
インピーダンス　アドミタンス　2
Z
I (t )  I me jt の場合 E(t )  jLI me jt  jLI (t )
L
E (t )
 jL
I (t )
I (t )
1
Y

E (t ) jL
インピーダンス　Z 
アドミタンス　3
C
E(t )  Eme
jt
I (t )  jCEme jt
の場合
E (t )
1

I (t ) jC
I (t )
Y
 jC
E (t )
インピーダンス　アドミタンス　Z
簡単な交流回路の複素数による計算 1
e(t )  Em cos(t )
i (t )
回路に流れる電流を求めよ
まず特性方程式を導出する．
R
di (t )
e(t )  Ri (t )  L
dt
e(t )
~
L
E (t )  Em e jt , I (t )  I m e jtを用いて
Em  RI m  jLI mとなり
Em
Im 

R  jL
Em
R  (L) e
2
2
j

Em e  j
R  (L)
2
を得る．
2
ただし
tan(  ) 
L
R
R  jL
jL
I (t )  I m e
jt


Em e j (t  )
R 2  (L) 2
よって
R
tan(  ) 
L
R
i(t ) 
Em
R  (L)
2
2
cos(t   )
ただし tan( ) 
L
R
忘れずに書くこと
問題1
e(t )  5 cos(t ) [V]
f  1/ 2π[MHz]
i (t )
R  10 [Ω]
L  10 [μH]
R
e(t )
~
L
電流i(t)を求めよ．
また有効電力，無効電力を求めよ
簡単な交流回路の複素数による計算 2
e(t )  Em cos(t )
i (t )
回路に流れる電流を求めよ
まず特性方程式を導出する．
コンデンサの電圧
R
1
Q(t )
vc (t )   i (t )dt 
C
C
抵抗の電圧
dQ (t )
vR (t )  Ri (t )  R
dt
したがって
e(t )
~
1
dQ (t )
Q(t )  R
 E (t )となる
C
dt
C
E m e j t
E (t )
Q (t ) 

1
1
j R 
j R 
C
C
したがって，複素電流I(t)は
I (t ) 
dQ(t )
jC

E (t )
dt
1  jCR
1
1

E (t ) 
E (t ) 
1
j
R
R
jC
C
i (t ) 
1
1
R2 
(C ) 2
E m cos(t   )
e  j
R2 
1
(C ) 2
ただし，
E (t )
tan 
1
CR
tan( ) 
R
j
C

R
j
C
1
CR
さらに簡単に
交流回路で使われる素子
R
L
C
ωの角周波数をもつ正弦波の電流または電圧が与えられた場合
各素子のインピーダンスは
R
jL
1
j C
e(t )  Em cos(t )
i (t )
回路に流れる電流を求めよ
E (t )  RI (t )  jLI (t )
R
よって
e(t )
1
I (t ) 
E (t ) 
R  j L
i(t ) 
Em
R  (L)
2
2
e  j
R  (L)
2
2
E (t )
cos(t   )
ただし tan( ) 
L
R
~
L
e(t )  Em cos(t )
i (t )
回路に流れる電流を求めよ
E (t )  RI (t ) 
よって
I (t ) 
1
I (t )
jC
1
1
R
jC
i (t ) 
E (t ) 
1
1
R 
(C ) 2
2
R
e(t )
e
 j
R2 
1
(C ) 2
E m cos(t   )
~
E (t )
ただし，
C
tan 
1
CR
問題2
i (t )
e(t )  5 cos(t ) [V]
f  1/ 2π[MHz]
R  10 [Ω]
R
e(t )
C  0.1 [μF]
電流i(t)を求めよ．
また有効電力，無効電力を求めよ
~
C
問題3
I
左の回路は直列共振回路である．
以下の手順での共振周波数fを求めよ
R
１．回路のインピーダンスZを求めよ
２．インピーダンスZの絶対値が最も
小さくなる角周波数を求めよ．また周
波数を求めよ．
３．2.の条件を満たしている場合，電
圧Eと電流Iの位相差はどうなるか考
察せよ．
E
~
C
L

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