Formulario di Matematica

Formulario di Matematica
Salvatore di Maggio
2
Indice
1 Disequazioni
5
2 Calcolo Combinatorio
7
3 Logaritmi
9
4 Trigonometria
11
5 Geometria Analitica
5.1 Punti e rette . . .
5.2 La circonferenza .
5.3 La parabola . . . .
5.4 L’ellisse . . . . . .
5.5 L’iperbole . . . . .
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21
21
22
25
25
25
6 Analisi Matematica
6.1 Limiti . . . . . .
6.2 Derivate . . . . .
6.3 Integrali . . . . .
6.4 Integrali avanzati
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27
27
29
33
34
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7 Operazioni vettoriali
37
3
INDICE
4
Capitolo 1
Disequazioni
Breve riepilogo
Disequazione
∆>0
∆=0
∆<0
ax2 + bx + c > 0
Valori esterni alle radici
Tutti i valori
b
tranne x = −
2a
Tutti i valori
ax2 + bx + c < 0
Valori interni alle radici
Impossibile
Impossibile
5
CAPITOLO 1. DISEQUAZIONI
6
Capitolo 2
Calcolo Combinatorio
Disposizioni
Dn,k = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
Permutazioni
Pn = Dn,n = n!
Combinazioni
Cn,k =
n
n!
=
k
k! (n − k)!
Proprietà
0! = 1
n
n
=
k
n−k
n
n−1
n−1
=
+
k
k
n−k
n
n n−k
=
k+1
k k+1
(a + b)n =
n X
n
k
k=0
(a + b)0
→
1
→
(a + b)
2
(a + b)
→
(a + b)3
→
4
1
1
1
1
n
k+1
1
2
3
→ 1
(a + b)
an−k bk
4
1
3
6
n n−k
=
k k+1
7
1
4
1
CAPITOLO 2. CALCOLO COMBINATORIO
n
n
n
n
n
+
+
+ ... +
+
= 2n
0
1
2
n−1
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+ ... =
+
+
+ . . . = 2n−1
1
3
5
0
2
4
Somme delle potenze dei numeri naturali
S1 =
n
X
x=
x=1
S2 =
n
X
x2 =
x=1
S3 =
n
X
x=1
S4 =
n
X
x=1
8
x4 =
n (n + 1)
2
n (n + 1) (2n + 1)
6
x3 =
n (n + 1)
2
2
n (n + 1) (2n + 1) (3n2 + 3n − 1)
30
Capitolo 3
Logaritmi
⇒
loga b = x
ax = b
Proprietà
loga b · c = loga b + loga c
loga
b
= loga b − loga c
c
loga bn = n · loga b
Log10n = n
loga
√
n
b=
1
loga b
n
Cambiamento di base
logb N =
loga N
loga b
logb a =
1
loga b
Numeri a mantissa costante
Per log N · 10k = c.m, m rimane costante per ogni k intero
Il cologaritmo
− log N = cologN
9
CAPITOLO 3. LOGARITMI
10
Capitolo 4
Trigonometria
Definizioni
ρ=
l
πα
=
r
180
α=
e inversamente
180 ρ
π
Funzioni goniometriche e loro variazioni
Il seno e il coseno
Variazione di sin α
Variazione di cos α
sin 0
=
sin 0◦
=
0
cos 0
=
cos 0◦
=
1
π
2
=
sin 90◦
=
1
cos
π
2
=
cos 90◦
=
0
sin π
=
sin 180◦
=
0
cos π
=
cos 180◦
= −1
3
π
2
=
sin 270◦
= −1
cos
3
π
2
=
cos 270◦
=
0
sin 2 π
=
sin 360◦
=
cos 2 π
=
cos 360◦
=
1
sin
sin
0
−1 ≤ sin α ≤ 1
−1 ≤ cos α ≤ 1
11
CAPITOLO 4. TRIGONOMETRIA
La tangente
Variazione di tan α
tan 0 π
tan
−ε
2
π
tan
+ε
2
=
3
π+ε
2
=
0
+∞
tan(90 − ε)
=
=
tan(90◦ + ε)
= −∞
tan 180◦
=
0
tan(270 − ε)
=
+∞
=
tan(270◦ + ε)
= −∞
=
tan 360◦
tan 2 π
◦
=
tan π =
3
tan
π−ε
=
2
tan
tan 0◦
◦
=
0
−∞ ≤ tan α ≤ +∞
La cotangente
Variazione di cot α
cot(0 + ε)
=
cot(0◦ + ε)
=
cot(0 − ε)
=
cot(0◦ − ε)
= −∞
=
cot 90◦
cot(π − ε)
=
cot(180◦ − ε)
= −∞
cot(π + ε)
=
cot(180◦ + ε)
=
+∞
=
cot 270◦
=
0
cot(2 π − ε)
=
cot(360◦ − ε)
= −∞
cot(2 π + ε)
=
cot(360◦ + ε)
=
cot
cot
π
2
3
π
2
−∞ ≤ cot α ≤ +∞
12
=
+∞
0
+∞
La secante e la cosecante
Variazione di sec α
sec 0
sec
sec
π
2
π
2
−ε
+ε
sec π
sec
sec
3
π−ε
2
3
π+ε
2
Variazione di csc α
=
sec 0◦
=
1
csc(0 − ε)
=
csc(0◦ − ε)
= −∞
=
sec (90◦ − ε)
=
+∞
csc(0 + ε)
=
csc(0◦ + ε)
=
+∞
=
csc 90◦
=
1
csc(π − ε)
=
csc(180◦ − ε)
=
+∞
csc(π + ε)
=
csc(180◦ + ε)
= −∞
=
csc 270◦
csc(2 π − ε)
=
csc(360◦ − ε)
= −∞
csc(2 π + ε)
=
csc(360◦ + ε)
=
◦
=
sec (90 + ε)
=
sec 180◦
=
◦
sec (270 − ε)
csc
= −∞
=
−1
= −∞
csc
sec 2 π
=
sec (270◦ + ε)
=
+∞
=
sec 360◦
=
1
−∞ ≤ sec α
1≤
sec α
π
2
3
π
2
≤ −1
−∞ ≤ csc α
≤ +∞
1≤
csc α
=
−1
+∞
≤ −1
≤ +∞
Relazioni fondamentali fra le sei funzioni goniometriche
sin2 α + cos2 α = 1
tan α =
cot α =
sin α
cos α
cos α
1
=
sin α
tan α
sec α =
1
cos α
csc α =
1
sin α
13
CAPITOLO 4. TRIGONOMETRIA
Valori delle funzioni goniometriche mediante una sola di esse
Noto sin α
cos α
p
= ± 1 − sin2 α
tan α
= ±p
p
sin α
1 − sin2 α
1 − sin2 α
sin α
cot α
= ±
sec α
= ±p
csc α
=
1
sin α
sin α
=
√
± 1 − cos2 α
1
1 − sin2 α
Noto cos α
√
tan α
=
±
1 − cos2 α
cos α
cot α
=
±√
cos α
1 − cos2 α
sec α
=
1
cos α
csc α
=
±√
sin α
= ±√
cot α
=
1
1 − cos2 α
Noto tan α
sec α
tan α
1 + tan2 α
1
tan α
√
= ± 1 + tan2 α
√
1 + tan2 α
tan α
csc α
= ±
cos α
= ±√
tan α
=
Noto cot α
sec α
csc α
14
cot α
1 + cot2 α
1
cot α
√
1 + cot2 α
= ±
cot α
√
= ± 1 + cot2 α
Archi associati
1◦ caso: 180◦ − α
sin(180◦ − α)
=
cos(180◦ − α)
= − cos α
tan(180◦ − α)
= − tan α
cot(180◦ − α)
=
sin(180◦ + α)
= − sin α
cos(180◦ + α)
= − cos α
tan(180◦ + α)
=
tan α
cot(180◦ + α)
=
cot α
sin α
− cot α
2◦ caso: 180◦ + α
3◦ caso: −α o 360◦ − α
sin(−α)
= − sin α
cos(−α)
=
tan(−α)
= − tan α
cot(−α)
=
cos α
− cot α
Archi complementari
1◦ caso: 90◦ − α
sin(90◦ − α)
=
cos α
cos(90◦ − α)
=
sin α
tan(90◦ − α)
=
cot α
cot(90◦ − α)
=
tan α
2◦ caso: 90◦ + α
sin(90◦ + α)
=
cos(90◦ + α)
= − sin α
tan(90◦ + α)
= − cot α
cot(90◦ + α)
=
cos α
− tan α
15
CAPITOLO 4. TRIGONOMETRIA
Archi particolari
1◦ caso: 18◦
sin 18◦
=
cos 18◦
=
tan 18◦
=
cot 18◦
=
1 √
( 5 − 1)
4
q
√
1
10 + 2 5
4
r
2√
1−
5
5
p
√
5+2 5
2◦ caso: 30◦
1
2
√
sin 30◦
=
cos 30◦
3
2
√
3
=
3
√
3
=
tan 30◦
cot 30◦
=
3◦ caso: 45◦
√
2
2
√
2
2
◦
sin 45
=
cos 45◦
=
tan 45◦
=
1
cot 45◦
=
1
sin 60◦
=
cos 60◦
=
tan 60◦
=
cot 60◦
=
4◦ caso: 60◦
√
3
2
1
2
√
3
√
16
3
3
Formule di addizione e sottrazione
cos(α ± β)
=
cos α cos β ∓ sin α sin β
sin(α ± β)
=
sin α cos β ± cos α sin β
tan(α ± β)
=
tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β
cot(α ± β)
=
cot α cot β ∓ 1
cot β ± cot α
Formule di duplicazione
sin 2α
=
2 sin α cos α
cos 2α
=
cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α
tan 2α
=
2 tan α
1 − tan2 α
cot 2α
=
1 − tan2 α
2 tan α
Formule parametriche
sin α
=
2t
1 + t2
cos α
=
1 − t2
1 + t2
Formule di bisezione
cos
α
2
= ±
sin
α
2
= ±
tan
α
2
= ±
r
1 + cos α
2
r
1 − cos α
2
r
1 − cos α
1 − cos α
sin α
=±
=±
1 + cos α
sin α
1 + cos α
Valori di particolari tangenti
tan 15◦
=
2−
tan 75◦
=
2+
tan 22◦ 300
=
tan 67◦ 300
=
√
√
√
√
3
3
2−1
2+1
17
CAPITOLO 4. TRIGONOMETRIA
Formule di prostaferesi
sin p + sin q
=
2 sin
p+q
p−q
cos
2
2
sin p − sin q
=
2 cos
p+q
p−q
sin
2
2
cos p + cos q
=
2 cos
p+q
p−q
cos
2
2
cos p − cos q
= −2 sin
sin2 p − sin2 q
=
sin(p + q) · sin(p − q)
cos2 p − cos2 q
=
sin(p + q) · sin(q − p)
p+q
p−q
sin
2
2
Teorema fondamentale dei triangoli rettangoli
b = a sin β
c = a cos β
b = c tan β
b = c cot γ
Teorema dei seni
b
c
a
=
=
= 2R
sin α
sin β
sin γ
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.
Teorema dei coseni
a = c cos β + b cos γ
Teorema di Carnot
a2 = b2 + c2 − 2 b c cos α
Teorema di Nepero
α−β
tan
a−b
2
=
α+β
a+b
tan
2
18
Formule di Briggs
Nelle formule qui sotto p è il semiperimetro
α
sin =
2
r
(p − c) (p − b)
bc
β
sin =
2
r
(p − a) (p − c)
ac
γ
sin =
2
r
(p − a) (p − b)
ab
α
cos =
2
r
p (p − a)
bc
β
cos =
2
r
p (p − b)
ac
γ
cos =
2
r
p (p − c)
ab
α
tan =
2
s
(p − c) (p − b)
p (p − a)
β
tan =
2
s
(p − a) (p − c)
p (p − b)
γ
tan =
2
s
(p − a) (p − b)
p (p − c)
Area di un triangolo
Essendo p il semiperimetro:
A=
a c sin β
2
A=
1 2 sin α sin β
c
2 sin(α + β)
A=
p
p (p − a) (p − b) (p − c)
A = p2 tan
α
β
γ
tan tan
2
2
2
Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo
r = (p − a) tan
α
2
19
CAPITOLO 4. TRIGONOMETRIA
Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo
R=
abc
4A
Raggio della circonferenza exinscritta ad un triangolo
ra =
A
p−a
ra = p tan
A=
√
α
2
r · ra · rb · rc
Area di un quadrilatero mediante le sue diagonali
A=
20
1
d1 d2 sin α
2
Capitolo 5
Geometria Analitica
5.1
Punti e rette
Punto medio di un segmento
M=
x2 + x1 y2 + y1
;
2
2
Equazione di una retta passante per un punto dato
y − y0 = m (x − x0 )
Equazione di una retta passante per due punti dati
y2 − y1
y − y1
=
x − x1
x2 − x1
Equazione segmentaria della retta
x y
+ =1
p
q
Distanza di un punto da una retta
d=
|a x0 + b y0 + c|
√
a 2 + b2
Condizione di parallelismo
m = m0
Condizione di perpendicolarità
m=−
Il coefficiente angolare
m = tan α
m − m0
tan φ =
1 + m m0
21
1
m0
CAPITOLO 5. GEOMETRIA ANALITICA
Traslazione degli assi
(
(
x=X +a
X =x−a
Y =y−b
y =Y +b
Rotazione degli assi
(
x = X cos φ − Y sin φ
(
y = X sin φ + Y cos φ
5.2
X = x cos φ + y sin φ
Y = −x sin φ + y cos φ
La circonferenza
(x − α)2 + (y − β)2 = r2
α=−
a
2
β=−
b
2
x2 + y 2 + a x + b y + c = 0
α2 + β 2 − c > 0
Casi particolari
1◦ caso: c = 0
x2 + y 2 + a x + b y = 0
2◦ caso: a = 0
x2 + y 2 + b y + c = 0
3◦ caso: b = 0
x2 + y 2 + a x + c = 0
4◦ caso: a = 0, c = 0
x2 + y 2 + b y = 0
5◦ caso: b = 0, c = 0
x2 + y 2 + a x = 0
6◦ caso: a = 0, b = 0
x2 + y 2 = −c
Formula di sdoppiamento
Ricavare la tangente a una circonferenza per un punto appartenente ad essa.
y + y0
x + x0
x0 x + y0 y + a
+b
+c=0
2
2
22
5.3. LA PARABOLA
Punti intersezione fra due circonferenze
x2 + y 2 + a x + b y + c = 0
x2 + y 2 + a0 x + b0 y + c0 = 0
 2
 x + y2 + a x + b y + c = 0

5.3
(a − a0 ) x + (b − b0 ) y + c − c0 = 0
La parabola
y = a x2
1
)
4a
La direttrice ha per equazione
F (0;
y=−
1
4a
a>0
a<0
Concavità rivolta verso l’alto.
Concavità rivolta verso il basso.
Tangente ad una parabola
y + y0
= a x0 x
2
Formula di sdoppiamento
Parabola con il vertice su un punto V (x0 ; y0 ), con x0 6= 0; y 6= 0
Elementi della parabola di equazione
y = a x2 + b x + c
V
b
∆
− ; −
;
2a
4a
F =
−
b 1−∆
;
2a
4a
L’equazione della direttrice sarà:
y=−
5.4
L’ellisse
x2
y2
+
=1
a2
b2
5.5
1+∆
4a
dove a e b sono i semiassi.
L’iperbole
y2
x2
− 2 =1
2
a
b
dove 2 a è la distanza fra i due vertici.
23
CAPITOLO 5. GEOMETRIA ANALITICA
24
Capitolo 6
Analisi Matematica
6.1
Limiti
Teorema del limite notevole
lim
x→x0
sin x
=1
x
Limiti notevoli di Cavalieri
1
1 + 2 + 3 + ... + x
=
2
x→∞
x
2
lim
12 + 22 + 32 + . . . + x2
1
=
x→∞
x3
3
lim
13 + 23 + 33 + . . . + x3
1
=
4
x→∞
x
4
lim
Il numero e di Nepero
lim
x→∞
1
1+
x
x
=e
Altri limiti notevoli
lim
x→0
loga (1 + x)
= loga e
x
ax − 1
= ln a
x→0
x
lim
25
CAPITOLO 6. ANALISI MATEMATICA
26
6.2. DERIVATE
6.2
Derivate
Rappresentazione grafica della derivata di una funzione
lim
∆x→0
∆y
= tan φ = m
∆x
Teoremi sul calcolo delle derivate
D [a · f (x)] = a · f 0 (x)
D [f (x) + g(x)] = f 0 (x) + g 0 (x)
D [f (x) · g(x)] = f 0 (x) g(x) + f (x) g 0 (x)
D [f1 (x) · f2 (x) · f3 (x) . . .] = f10 (x) f2 (x) f3 (x) . . . + f1 (x) f20 (x) f3 (x) . . . + f1 (x) f2 (x) f30 (x) . . .
n
n−1
D [f (x)] = n f 0 (x) [f (x)]
D
f 0 (x) g(x) − g 0 (x) f (x)
f (x)
=
2
g(x)
[g(x)]
Df [g(x)] = f 0 [g(x)] g 0 (x)
Funzioni invertibili
y = f (x)
F 0 (y) =
x = F (y)
1
f 0 (x)
27
CAPITOLO 6. ANALISI MATEMATICA
Tabella sinottica delle derivate notevoli più comuni
Funzione
Derivata
y=C
y0 = 0
y=x
y0 = 1
y = xn
y 0 = n xn−1
1
1 −1
x 2
2
y = x2
y0 =
y = sin x
y 0 = cos x
y = cos x
y 0 = − sin x
y = tan x
y0 =
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
1
y 0 = − 2 = −1 − cot2 x
sin x
y = cot x
y = ex
y 0 = ex
y = ax
y 0 = ax ln a
y = ln x
y0 =
y = loga x
y0 =
y = arcsin x
y0
y = arccos x
y0
y = arctan x
y0
y = arccot x
y0
1
x
1
1
= loga e
x ln a
x
1
=√
1 − x2
1
= −√
1 − x2
1
=
1 + x2
1
=−
1 + x2
Teorema di Lagrange o di Cavalieri o del valor medio
f (b) − f (a) = (b − a) f 0 (c)
Teorema di Rolle
f (b) = f (a)
Regola di de l’Hôpital
0 ∞
,
0 ∞
f 0 (c) = 0
lim
28
⇒
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g(x)
g (x)
6.2. DERIVATE
Studio di una funzione
Funzioni crescenti e decrescenti
f 0 (c) > 0
⇒
f 0 (c) < 0
⇒
y = f (x) crescente
y = f (x) decrescente
Massimi e minimi
f 0 (c) = 0
f 00 (c) < 0
esiste un massimo
f 0 (c) = 0
f 00 (c) > 0
esiste un minimo
Concavità e convessità
f 00 (c) < 0
⇒
la funzione è convessa
f 00 (c) > 0
⇒
la funzione è concava
Flessi
f
(2n)
(c) = 0
f (2n+1) (c) > 0
f (2n+1) (c) < 0
flesso ascendente
flesso discendente
Asintoti
1. Asintoti verticali
x = k Equazione dell’asintoto verticale con
lim f (x) = ∞
x→k
2. Asintoti orizzontali
y = l Equazione dell’asintoto orizzontale con
lim f (x) = l
x→∞
3. Asintoti obliqui
lim f (x) = ∞
x→∞
m = lim
x→∞
f (x)
x
q = lim [f (x) − m x]
x→∞
Riassumendo
Per studiare una funzione si trova:
1. Campo di esistenza: tutti i valori di x tranne quelli che annullano il denominatore;
2. Asintoti: verticali, orizzontali, obliqui;
3. Intersezioni con gli assi;
4. Positività della funzione: si pone y > 0 e si trovano le x;
5. Crescenza, decrescenza, massimi, minimi e flessi;
6. Concavità e convessità.
29
CAPITOLO 6. ANALISI MATEMATICA
Serie di Taylor
n
f (x) = f (x0 ) +
X f (k) (x0 )
f 00 (x0 )
f 0 (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + · · · =
(x − x0 )k .
1!
2!
k!
k=0
Sviluppi notevoli di Mac Laurin
ex
=
sin x =
cos x =
1
1−x
=
1
1+x
=
ln(1 + x)
=
n
X
xk
k!
k=0
n
X
=1+x+
(−1)k
k=0
n
X
(−1)k
k=0
n
X
x3
x2k+1
=x−
+ ···
(2k + 1)!
3!
x2
x4
x2k
=1−
+
+ ···
(2k)!
2!
4!
xk .
k=0
n
X
(−1)k xk .
k=0
n
X
xk
.
k
(−1)k+1
k=1
(1 + x)α
=
1+
n
X
α(α − 1) · · · (α − k + 1)
k!
k=1
arctan x =
n
X
xk = 1 +
2k+1
(−1)k
k=0
arcsin x =
x2
+ ···
2!
x+
n
X
k=1
x
.
2k + 1
(2k − 1)!!
x2k+1 .
(2k)!!(2k + 1)
n
arccos x =
X (2k − 1)!!
π
−x−
x2k+1 .
2
(2k)!!(2k + 1)
k=1
sinh x =
cosh x =
n
X
x2k+1
.
(2k + 1)!
k=0
n
X
k=0
arcsinh x =
x+
x2 k
.
(2k)!
n
X
(−1)k
k=1
30
(2k − 1)!!
x2k+1 .
(2k)!!(2k + 1)
n X
α
k=1
k
xk .
6.3. INTEGRALI
6.3
Integrali
Z
k
Z
Z
f (x) dx =
Z
f1 (x) +
k f (x) dx
Z
f2 (x) + . . . =
[f1 (x) + f2 (x) + . . .] dx
Integrazione per parti
Z
0
u (x) v(x) dx = u(x) · v(x) −
Z
u(x) v 0 (x) dx
Integrali notevoli
Z
1.
xn dx =
xn+1
+C
n+1
Z
dx = x + C
2.
Z
ln x dx = x ln x − x + C
3.
Z
4.
1
dx = ln |x| + C
x
Z
cos x dx = sin x + C
5.
Z
sin x dx = − cos x + C
6.
Z
dx = tan x + C
7.
Z
dx = − cot x + C
8.
Z
9.
ex dx = ex + C
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + C
f (x)
Z
Z
cos x
11.
cot x dx =
dx = ln | sin x| + C
sin x
Z
Z
sin x
dx = − ln | cos x| + C
12.
tan x dx =
cos x
Z
n+1
[f (x)]
n
13.
[f (x)] f 0 (x) dx =
+C
n+1
Z
14.
f 0 (x) sin f (x) dx = − cos f (x) + C
Z
10.
Z
f 0 (x) cos f (x) dx = sin f (x) + C
Z
f 0 (x)
dx = − cot f (x) + C
sin2 f (x)
Z
f 0 (x)
dx = tan f (x) + C
cos2 f (x)
15.
16.
17.
31
CAPITOLO 6. ANALISI MATEMATICA
Z
18.
Z
19.
√
1
dx = arcsin x + C
1 − x2
1
dx = arctan x + C
1 + x2
Integrali definiti
a
Z
f (x) dx = 0
a
Z
b
a
Z
f (x) dx = −
f (x) dx
a
b
b
Z
c
Z
f (x) dx =
Z
b
f (x) dx +
a
a
f (x) dx
c
Volume di un solido di rotazione
Z
b
V (x) = π
[f (x)]2 dx
a
6.4
Integrali avanzati
Integrali vettoriali
Z
Z
~v · n
ˆ dS =
Schiusa
I
~v · d~l =
l
→
−
∇ · ~v dτ
(Teorema di Gauss o della divergenza)
τ
Z
→
−
∇ ∧ ~v · n
ˆ dS
(Teorema di Stokes o del rotore)
S
Z I
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
l
S
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
dS
(Teorema di Green)
Integrale di Gauss
Z
+∞
−∞
√
2
π
e−a x = √
a
Trasformata di Fourier
Z
f (t) e−iωt dt
F (ω) = F[f (t)] =
R
Antitrasformata di Fourier
f (t) = F −1 [F (ω)] =
Z
R
32
F (ω) eiωt dω
6.4. INTEGRALI AVANZATI
Trasformate di Fourier notevoli
g(t) = f (t − a)
G(ω) = e−iωa F (ω)
g(t) = eiω0 t
G(ω) = F (ω − ω0 )
g(t) = f (a · t)
G(ω) =
g(t) = t f (t)
G(ω) = i
g(t) = f 0 (t)
G(ω) = i ω F (ω)
f (t) =
1
1 + t2
ω
1
F
|a|
a
dF (ω)
dω
F (ω) = π e−|ω|
F (ω) =
π −a|ω|
e
a
f (t) = e−|t|
F (ω) =
2
1 + ω2
f (t) = e−a|t|
F (ω) =
2a
a2 + ω 2
f (t) =
a2
1
+ t2
2
f (t) = e−t
F (ω) =
√
ω2
πe 4
r
2
−
ω2
π −
e 4a
a
f (t) = e−at , a > 0
F (ω) =
f (t) = χ[−a,a] (t)
F (ω) = 2
sin a ω
ω
f (t) = (a + t) χ[−a,0] (t) + (a − t) χ[0,a] (t)
F (ω) = 2
1 − cos a ω
ω2
f (t) =
sin2 a t
, a>0
t2
F (ω) = π (a +
f (t) = −χ[−a,0] (t) + χ[0,a] (t) , a > 0
f (t) =
f (t) =
f (t) =
f (t) =
1
(a2
+
(a2
1
+ t2 )2
a4
t2 ) (b2
1
+ t4
sin t −|t|
e
t
+
t2 )
, a 6= b
F (ω) = −2 i
F (ω) =
ω
ω
) χ[−2a,0] (ω) + π (a − ) χ[0,2a] (ω)
2
2
1 − cos a ω
ω
π (b−1 e−b|ω| − a−1 e−a|ω| )
a 2 − b2
π
(a |ω| + 1) e−a|ω|
2 a3
π −a|ω|/√2
π a |ω|
F (ω) = 3 e
sin
+ √
a
4
2
F (ω) =
F (ω) = arctan
2
ω2
h(t) = f (t) ∗ g(t)
H(ω) = F (ω) · G(ω)
h(t) = f (t) · g(t)
F (ω) =
1
F (ω) ∗ G(ω)
2π
33
CAPITOLO 6. ANALISI MATEMATICA
34
Capitolo 7
Operazioni vettoriali
(~a ∧ ~b) · ~c = (~b ∧ ~c) · ~a = (~c ∧ ~a) · ~b
(~a ∧ ~b) ∧ ~c = (~a · ~c) ~b − (~b · ~c) ~a
~ = (~a · ~c) (~b · d)
~ − (~a · d)
~ (~b · ~c)
(~a ∧ ~b) · (~c ∧ d)
~ = [(~a ∧ ~b) · d]
~ ~c − [(~a ∧ ~b) · ~c] d~
(~a ∧ ~b) ∧ (~c ∧ d)
→
−
L’operatore ∇ (Nabla)
→
−
∂
∂
∂ ˆ
∇=
ˆı +
ˆ +
k
∂x
∂y
∂z
Il Gradiente di una funzione
→
−
∂f
∂f
∂f ˆ
∇f =
ˆı +
ˆ +
k
∂x
∂y
∂z
La Divergenza di un vettore
→
−
∂vy
∂vz
∂vx
+
+
∇ · ~v =
∂x
∂y
∂z
Il Rotore di un vettore
ˆı
ˆ
∂
→
−
∂
∇ ∧ ~v = ∂x
∂y
vx vy
kˆ ∂vz
∂vy
∂vx
∂vz
∂vy
∂vx ˆ
∂ =
−
ˆ
ı
+
−

ˆ
+
−
k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂z vz 35
CAPITOLO 7. OPERAZIONI VETTORIALI
→
−
Proprietà del ∇
→
−
→
−
→
−
∇(f + g) = ∇f + ∇g
→
−
→
−
→
−
∇(f g) = f ∇g + g ∇f
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
∇(~a · ~b) = (~a · ∇) ~b + (~b · ∇) ~a + ~a ∧ ( ∇ ∧ ~b) + ~b ∧ ( ∇ ∧ ~a)
→
−
→
−
→
−
→
−
(~a · ∇)~b = (~a · ∇bx )ˆı + (~a · ∇by )ˆ
 + (~a · ∇bz )kˆ
→
−
→
−
→
−
∇ · (f ~a) = ~a · ∇f + f ∇ · ~a
→
−
→
−
→
−
∇ · (~a ∧ ~b) = ~b · ( ∇ ∧ ~a) − ~a · ( ∇ ∧ ~b)
→
−
→
−
→
−
∇ ∧ (f ~a) = f ( ∇ ∧ ~a) + ∇f ∧ ~a
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
∇ ∧ (~a ∧ ~b) = ( ∇ · ~b) ~a − ( ∇ · ~a) ~b − (~a · ∇) ~b + (~b · ∇) ~a
→
− →
−
∇ ∧ ∇f = 0
→
− →
−
∇ · ∇ ∧ ~v = 0
Il Laplaciano
→
− →
−
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
∇ · ∇f = ∇2 f =
∂x2
∂y 2
∂z 2
Il Laplaciano vettoriale
→
− →
−
∇ · ∇~v = ∇2~v = ∇2 vxˆı + ∇2 vy ˆ + ∇2 vz kˆ
→
− →
−
→
−→
−
∇ ∧ ∇ ∧ ~v = ∇ ∇ · ~v − ∇2~v
La Derivata direzionale
→
−
∂f
= ( ∇f ) · n
ˆ
∂n
36

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