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複素解析 I 演習略解 (第１回 4 月 10 日実施分)
√ 3π
π
π
π
π
π √
3π
3π
π
+ i sin , cos(− ) + i sin(− ), 2(cos
+ i sin
). または，e 4 i , e− 6 i , 2e 4 i .
4
4
6
6
4
4
π
π
π
(2) (cos + i sin )4 = cos π + i sin π = −1, または，
(e 4 i )4 = eπi = −1.
4
4
π
π
π
(cos(− ) + i sin(− ))6 = cos(−π) + i sin(−π) = −1, または，
(e− 6 i )6 = e−πi = −1.
6
6
√
√
√ ( 1
3π
3π 7
21π
21π
1 )
( 2(cos
+ i sin
)) = 8 2(cos
+ i sin
) = 8 2 − √ − √ i = −8 − 8i,
4
4
4
4
2
2
√ 3π i 7
√ 21π i
√ ( 1
1 )
4
4
または，( 2e ) = 8 2e
= 8 2 − √ − √ i = −8 − 8i.
2
2
1-2 解を極形式で z = cos θ + i sin θ と書く．ここで θ は実数である．
1-1 cos
(1) i = cos π2 + i sin π2 より，方程式を書き換えると cos 2θ + i sin 2θ = cos π2 + i sin π2 となり，θ は 2θ =
0, ±1, ±2, ...) をみたす．すなわち，θ = π4 + nπ であり，z = ±( √12 + i √12 )．
π
2
+ 2nπ (n =
2π
2π
(2) 右辺も極形式で表すと，方程式は cos 2θ + i sin 2θ = cos 2π
3 + i sin 3 . よって 2θ = 3 + 2nπ (n = 0, ±1, ±2, ...)．す
√
なわち，θ = π3 + nπ. よって z = ±( 12 + 23 i).
(3) 方程式は，cos 4θ + i sin 4θ) = cos(π) + i sin(π) となるから，4θ = π + 2nπ (n = 0, ±1, ±2, ...) であり θ = π4 + nπ
2 ．
したがって，z = ± √12 ±
√1 i
2
(複合任意).
1-3 (1) α = a + bi, β = c + di (a, b, c, d ∈ R) とすると
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i = (a + c) − (b + d)i = (a − bi) + (c − di) = a + b,
ab = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i = (ac − bd) − (ad + bc)i = (a − bi)(c − di) = αβ,
α=α
⇐⇒
−b = b
⇐⇒
b = 0.
(2) γ m + a1 γ m−1 + · · · + am−1 γ + am = 0 の両辺の複素共役をとる．係数 a1 , . . . , am は実数なので (1) の結果を用い
ると γ m + a1 γ m−1 + · · · + am−1 γ + am = 0. よって，z = γ も解である.
1-4 (1) f (x + iy) = (x + iy)3 = (x3 − 3xy 2 ) + i(3x2 y − y 3 ). よって，u(x, y) = x3 − 3xy 2 , v(x, y) = 3x2 y − y 3 .
(2) ux = 3x2 − 3y 2 , uy = −6xy, vx = 6xy, vy = 3x2 − 3y 2 より，ux = vy , uy = −vx .
(3) uxx = 6x, uyy = −6x, vxx = 6y, vyy = −6y から，uxx + uyy = 0, vxx + vyy = 0 が得られる。
1-5 α = 0 または β = 0 とする．α = 0 であれば a = b = 0 であるから，αβ = (ac − bd) + (ad + bc)i = 0 となる．β = 0
のときも同様である．
αβ = 0 と仮定する．このときは，上で計算したように
(i) ac − bd = 0,
(ii) ad + bc = 0
が成り立つ．(i) の両辺に c を掛け，(ii) の両辺にに d を掛けて辺々を加えると，a(c2 + d2 ) = 0 となる．したがって，a = 0
または c = d = 0 となる．
(a) a ̸= 0 とすると，c = d = 0 でありこれは β = 0 を意味する．
(b) a = 0 とすると，bd = 0 かつ bc = 0 となる．
(b1) b = 0 のとき，a = b = 0 となって α = 0 である．
(b2) b ̸= 0 のとき，c = d = 0 となって β = 0 となる．
1-6 (1) y > 0 より，
|z + i|2 = |x + yi + i|2 = x2 + (y + 1)2 ≧ (−x)2 + (−y + 1)2 = | − x − yi + i|2 = | − z + i|2
となる．ただし，等号が成り立つのは y = 0 のときに限る．よって，Im(z) = y > 0 であれば
−z + i 2
| − z + i|2
|w|2 = <1
=
z+i
|z + i|2
となる．
(2) z ∈ R であれば |w| = 1 である．z = x と書くと，w =
(1−x2 )+2xi
x2 +1
だから，z = 0 のとき w = 1 であり，z が正の実
数であれば Im(w) > 0，z が負の実数であれば Im(w) < 0 である．w = −1 となる実数 z は存在しない．w の軌跡は，複
素平面内の原点中心，半径 1 の円周から w = −1 を除いた集合となる．

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