Goniometria [DISPENSA] §12.11

Prof. TORTORELLI Leonardo
Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani
12.11 Grafico e Limiti della Funzione Tangente (Tangentoide)
12.11.a) Tangentoide
Tenendo conto dei valori riportati nella [Tab.§12.07] e della Periodicità
della Funzione Tangente, è possibile tracciare la curva di equazione:
y  f ( x )  tan x
detta Tangentoide.
Essa
si
ottiene
riportando, come fatto
in precedenza, sull’Asse
delle Ascisse le Misure
degli
Archi
o
degli
Angoli e sull’Asse delle
Ordinate
i
rispettivi
valori della Tangente. In figura si denota un Comportamento Asintotico ogni
k·π. Nel prossimo paragrafo si approfondirà quest’aspetto motivandolo
accuratamente.
12.11.b) Osservazioni di Analisi della Funzione Tangente
In questo paragrafo si descrive la Funzione f(x) = tan x facendo riferimento
alle prime basi di Teoria delle Funzioni.
Dominio di f

Dom f     x   x 



 k  ; k   
2

Perché quando x   / 2  k   ; k   la Funzione tan x NON è definita
perché vale, a seconda dei casi,   o   .
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Per convincersi di ciò, basta prendere uno qualunque di tali valori, ad
esempio x   / 2 (che si ha per k = 0). In questo caso, risulta:
x

 r[O; P]   Asse y   r[O; P] // t  r[O; P]  t   
2
  T :  r[O; P]  t   tan( / 2 ) .
Si procede adesso con un’analisi più dettagliata del comportamento della
Funzione f(x) = tan x in un Intorno di  / 2 , cioè in prossimità dell’Angolo
Retto. Se l’Estremo P dell’Arco si avvicina al Punto di Coordinate (0;+1)
mantenendosi nel I Quadrante (si dice: “se x tende a π/2 per valori inferiori a
π/2”), allora il Punto T si allontana dall’Asse x restandone al di sopra mentre,
la sua Ordinata (per definizione pari a tan x) assumerà valori positivi sempre
più grandi.
Dunque, poiché in buona sostanza, il Domf(x) è quell’insieme di punti dove
la Funzione è definita, cioè riesco a dire, con assoluta certezza quanto vale, il
Dom(tan(x)) è pertanto tutto l’Asse IReale a eccezione di quei Punti in cui:
x

2
 k  ; k 

Pertanto: Dom f     x   x 



 k  ; k   
2

Codominio di f
Codom f  IR     ;   
Perché osservando l’Asse y del Sistema di Riferimento Cartesiano in cui è
rappresentata la Circonferenza Goniometrica, ci si accorge che la
Tangentoide può assumere tutti i Valori Reali tra -∞ e +∞.
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Definizione Formale
tan : Dom( tan x)  IR
x | y  tan x
Che si legge:



“tan(·) è la Funzione definita in:    x   x   k   ; k   
2


e a valori in IR,
che alla Variabile Reale Indipendente x,
associa la Variabile Dipendente Reale y pari al valore tan x”.
Simmetrie
La Funzione tan(x) è una Funzione Dispari (cioè Graph f
Simmetrico
Rispetto all’Origine).
Per convincersi di tale affermazione basta osservare il suo grafico: la
presenza delle Simmetria Centrale Rispetto all’Origine è evidente!
Dal punto di vista algebrico la precedente affermazione si dimostra
verificando la seguente caratterizzazione:
f Funzione Dispari   x  Dom f :  f (  x )  f ( x )
Verifica della Simmetria della Funzione sin x:
x  Dom ( tan x) :  tan( x)  
sin( x)
cos( x)
 tan( x)  tan x Funzione Dispari
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Risulta molto istruttivo osservare l’andamento della Funzione tan x in
prossimità dell’Arco x = π/2, sia per difetto con x che tende a (π/2) partendo da
valori inferiori ad esso sia per eccesso con x che tende a (π/2) partendo da
valori superiori ad esso.
Se P si avvicina a B(0;+1) mantenendosi nel I Quadrante, cioè se x tende a
π/2 restando minore di π/2, il Punto T si allontana dall’Asse x restandone al di
sopra (si osservi la figura seguente): tan x assume cioè Valori Positivi sempre
più grandi.
Questo
comportamento in analisi si esprime dicendo che:
“il Limite di tan x per x che tende a π/2 per difetto, cioè restando minore di
π/2 è uguale a +∞.
In simboli:
lim tan x  
x
2
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Se P si avvicina a B(0;+1) mantenendosi nel II Quadrante, cioè se x tende a
π/2 restando maggiore di π/2, il Punto T si allontana dall’Asse x restandone al
di sotto (si osservi la figura seguente): tan x assume cioè Valori Negativi
sempre più grandi.
Questo comportamento in analisi si esprime dicendo che:
“il Limite di tan x per x che tende a π/2 per eccesso, cioè restando maggiore di
π/2 è uguale a - ∞.
In simboli:
lim tan x   
x
+
2
N.B.: Poiché la Tangente è Periodica di Periodo π, si ha un comportamento
analogo in corrispondenza di tutti gli Archi di Misura

2
 k   . Per tali
valori di x si ha un comportamento detto Comportamento Asintotico.
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Quanto osservato finora, si trasferisce sul Piano Cartesiano. Nell’immagine
seguente si può osservare il Comportamento Asintotico in corrispondenza dei
Punti di Ascissa:
x

2
 k  ; k 
Le Rette tratteggiate si chiamano:
Asintoti Verticali (per la Funzione f(x) = tanx)
N.B.: Il grafico della Funzione Tangente si avvicina sempre più agli Asintoti
Verticali senza mai toccarli. Tale comportamento si è già osservato in
Geometria Analitica quando si è affrontato lo studio della Conica
chiamata Iperbole.
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