Prof. TORTORELLI Leonardo Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani 12.11 Grafico e Limiti della Funzione Tangente (Tangentoide) 12.11.a) Tangentoide Tenendo conto dei valori riportati nella [Tab.§12.07] e della Periodicità della Funzione Tangente, è possibile tracciare la curva di equazione: y f ( x ) tan x detta Tangentoide. Essa si ottiene riportando, come fatto in precedenza, sull’Asse delle Ascisse le Misure degli Archi o degli Angoli e sull’Asse delle Ordinate i rispettivi valori della Tangente. In figura si denota un Comportamento Asintotico ogni k·π. Nel prossimo paragrafo si approfondirà quest’aspetto motivandolo accuratamente. 12.11.b) Osservazioni di Analisi della Funzione Tangente In questo paragrafo si descrive la Funzione f(x) = tan x facendo riferimento alle prime basi di Teoria delle Funzioni. Dominio di f Dom f x x k ; k 2 Perché quando x / 2 k ; k la Funzione tan x NON è definita perché vale, a seconda dei casi, o . 25 Prof. TORTORELLI Leonardo Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani Per convincersi di ciò, basta prendere uno qualunque di tali valori, ad esempio x / 2 (che si ha per k = 0). In questo caso, risulta: x r[O; P] Asse y r[O; P] // t r[O; P] t 2 T : r[O; P] t tan( / 2 ) . Si procede adesso con un’analisi più dettagliata del comportamento della Funzione f(x) = tan x in un Intorno di / 2 , cioè in prossimità dell’Angolo Retto. Se l’Estremo P dell’Arco si avvicina al Punto di Coordinate (0;+1) mantenendosi nel I Quadrante (si dice: “se x tende a π/2 per valori inferiori a π/2”), allora il Punto T si allontana dall’Asse x restandone al di sopra mentre, la sua Ordinata (per definizione pari a tan x) assumerà valori positivi sempre più grandi. Dunque, poiché in buona sostanza, il Domf(x) è quell’insieme di punti dove la Funzione è definita, cioè riesco a dire, con assoluta certezza quanto vale, il Dom(tan(x)) è pertanto tutto l’Asse IReale a eccezione di quei Punti in cui: x 2 k ; k Pertanto: Dom f x x k ; k 2 Codominio di f Codom f IR ; Perché osservando l’Asse y del Sistema di Riferimento Cartesiano in cui è rappresentata la Circonferenza Goniometrica, ci si accorge che la Tangentoide può assumere tutti i Valori Reali tra -∞ e +∞. 26 Prof. TORTORELLI Leonardo Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani Definizione Formale tan : Dom( tan x) IR x | y tan x Che si legge: “tan(·) è la Funzione definita in: x x k ; k 2 e a valori in IR, che alla Variabile Reale Indipendente x, associa la Variabile Dipendente Reale y pari al valore tan x”. Simmetrie La Funzione tan(x) è una Funzione Dispari (cioè Graph f Simmetrico Rispetto all’Origine). Per convincersi di tale affermazione basta osservare il suo grafico: la presenza delle Simmetria Centrale Rispetto all’Origine è evidente! Dal punto di vista algebrico la precedente affermazione si dimostra verificando la seguente caratterizzazione: f Funzione Dispari x Dom f : f ( x ) f ( x ) Verifica della Simmetria della Funzione sin x: x Dom ( tan x) : tan( x) sin( x) cos( x) tan( x) tan x Funzione Dispari 27 Prof. TORTORELLI Leonardo Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani Risulta molto istruttivo osservare l’andamento della Funzione tan x in prossimità dell’Arco x = π/2, sia per difetto con x che tende a (π/2) partendo da valori inferiori ad esso sia per eccesso con x che tende a (π/2) partendo da valori superiori ad esso. Se P si avvicina a B(0;+1) mantenendosi nel I Quadrante, cioè se x tende a π/2 restando minore di π/2, il Punto T si allontana dall’Asse x restandone al di sopra (si osservi la figura seguente): tan x assume cioè Valori Positivi sempre più grandi. Questo comportamento in analisi si esprime dicendo che: “il Limite di tan x per x che tende a π/2 per difetto, cioè restando minore di π/2 è uguale a +∞. In simboli: lim tan x x 2 28 Prof. TORTORELLI Leonardo Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani Se P si avvicina a B(0;+1) mantenendosi nel II Quadrante, cioè se x tende a π/2 restando maggiore di π/2, il Punto T si allontana dall’Asse x restandone al di sotto (si osservi la figura seguente): tan x assume cioè Valori Negativi sempre più grandi. Questo comportamento in analisi si esprime dicendo che: “il Limite di tan x per x che tende a π/2 per eccesso, cioè restando maggiore di π/2 è uguale a - ∞. In simboli: lim tan x x + 2 N.B.: Poiché la Tangente è Periodica di Periodo π, si ha un comportamento analogo in corrispondenza di tutti gli Archi di Misura 2 k . Per tali valori di x si ha un comportamento detto Comportamento Asintotico. 29 Prof. TORTORELLI Leonardo Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani Quanto osservato finora, si trasferisce sul Piano Cartesiano. Nell’immagine seguente si può osservare il Comportamento Asintotico in corrispondenza dei Punti di Ascissa: x 2 k ; k Le Rette tratteggiate si chiamano: Asintoti Verticali (per la Funzione f(x) = tanx) N.B.: Il grafico della Funzione Tangente si avvicina sempre più agli Asintoti Verticali senza mai toccarli. Tale comportamento si è già osservato in Geometria Analitica quando si è affrontato lo studio della Conica chiamata Iperbole. 30
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