数学 I 後期演習問題 1

数学 I 後期演習問題 1
1. 次の数列の一般項 an を求め，初項から第 n 項までの和 Sn を Σ 記号で表し，
Sn を求めよ.
初項 a, 公差 d の等差数列のときは
an = a + (n − 1)d = dn + a − d
n
∑
n(a + dn + a − d)
n(dn + 2a − d)
(di + a − d) =
Sn =
=
2
2
i=1
初項 a，公比 r の等比数列のときは
an = arn−1
Sn =
n
∑
ari−1
i=1

 na(
)
( n
) r = 1 のとき =
1 − rn
r −1
 a
=a
r=
̸ 1 のとき
1−r
r−1
(1) 初項 −3 公差 2 の等差数列
an = −3 + (n − 1)2 = 2n − 5
Sn =
n
∑
(2i − 5) =
i
n(−3 + 2n − 5)
n(2n − 8)
=
= n(n − 4)
2
2
(2) 初項 2 公差 −3 の等差数列
an = 2 + (n − 1)(−3) = −3n + 5
Sn =
n
∑
(−3i + 5) =
i
n(2 + (−3n + 5))
n(−3n + 7)
=
2
2
(3) 初項 −3 公比 2 の等比数列
an = (−3)2n−1
Sn =
n
∑
i
(
(−3)2
i−1
= −3
2n − 1
2−1
(4) 初項 2 公比 −3 の等比数列
)
= −3(2n − 1)
an = 2(−3)n−1
Sn =
n
∑
(
i
2(−3) = 2
i
1 − (−3)n
1 − (−3)
)
=
1 − (−3)n
2
2. 毎月 1 万円を月の利率が r の複利の積み立てをしたとき、n 期末の元利合計
はいくらになるか．n = 120, r = 0.001, 0.003 のときをそれぞれ計算せよ．ただし
1.001120 = 1.13, 1.003120 = 1.43 とする．
第 1 期後の元利合計は 1 + r
第 2 期後の元利合計は 1 + r + (1 + r)2
第 n 期後の元利合計 Sn は
Sn = 1 + r + (1 + r)2 + · · · + (1 + r)n = (1 + r)
=
(1 + r)n − 1
1+r−1
1+r
((1 + r)n − 1)
r
n = 120, r = 0.001 のとき
S120 =
1.001
(1.001120 − 1) = 1001 × 0.13 = 130.13
0.001
n = 120, r = 0.003 のとき
S120 =
1.003
(1.003120 − 1) = 143.76
0.003

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