交流回路の過渡現象 一般解 ・ RL直列回路 i = it + is = Ae −t /τ + I m sin (ωt + θ − φ ) 電源電圧 v (t ) = Vm sin (ωt + θ ) 回路方程式 L 初期条件 t = 0 で i = 0 di + Ri = Vm sin (ωt + θ ) dt A + I m sin (θ − φ ) = 0 i = it + is ・定常解 (交流理論より) jωLI s + RI s = Ve e jθ よって is = I m sin (ωt + θ − φ ) よって V e jθ Ve Is = e e j (θ −φ ) = R + j ωL R 2 + ω 2 L2 V ωL ⎞ ⎛ ⎜Ve = m , φ = tan −1 ⎟ R ⎠ 2 ⎝ ⎛ ⎜ Im = ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ R +ω L ⎠ Vm 2 2 2 ・過渡解 L dit + Rit = 0 dt θ −φ = 0 A = − I m sin (θ − φ ) L⎞ ⎛ it = Ae −t /τ ⎜ 時定数τ = ⎟ R⎠ ⎝ i = I m sin (ωt + θ − φ ) − I m sin (θ − φ )e −t /τ Vm L ωL , φ = tan −1 , τ= ただし I m = 2 2 2 R R R +ω L 過渡電流の大きさ ∝ sin (θ − φ ) θ − φ = 0, π π θ −φ = ± 2 過渡電流 0 過渡電流最大 ・ RC直列回路 電源電圧 v (t ) = Vm sin (ωt + θ ) 回路方程式 q Ri + = Vm sin (ωt + θ ) C i= dq dt R dq q + = Vm sin (ωt + θ ) dt C q = qt + qs ・定常解 θ −φ = π 2 jωRQs + Qs = Ve e jθ C is よって qs = Qm sin (ωt + θ − φ ) Qs = CVe e jθ CVe e j (θ −φ ) = 1 + jωCR 1 + ω 2C 2 R 2 V ⎛ ⎞ ⎜Ve = m , φ = tan −1 ωCR ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ Vm ⎜ Qm = ⎜ 2 2 2 1 ω C R + ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ・過渡解 it R dqt qt + =0 dt C qt = Ae − t /τ (時定数τ = CR ) 1 教科書演習問題問6との関係 一般解 q = qt + qs = Ae − t /τ + Qm sin (ωt + θ − φ ) 初期条件 t = 0 で q = 0 A + Qm sin (θ − φ ) = 0 CVm 1+ ω C R 2 2 ( ( dq Q = ωQm cos(ωt + θ − φ ) + m sin (θ − φ )e −t /τ dt τ = I m cos(ωt + θ − φ ) + cot φ sin (θ − φ )e −t /τ } ただし Im = ωCVm 1+ ω C R 2 2 2 , φ = tan −1 ωCR, τ = CR ) ( ) } ~ ~ ~ i = I m sin ωt + θ + φ − tan φ cos θ + φ e − t /τ ・ RL 直列回路において di L dv R vL = L = dt R dt RC直列回路の過渡現象の一般解 q = Ae −t /τ + CE s q = CE s + (q0 − CE s )e − (t −t0 ) /τ { ( ) 微分回路 方形パルス入力に対する応答 t = t 0 で q = q0 ) ~ π⎞ ~ ⎛ sin (θ − φ ) = sin ⎜θ + φ − ⎟ = − cos θ + φ 2⎠ ⎝ ~ π⎞ ~ ⎛ cos(ωt + θ − φ ) = cos⎜ ωt + θ + φ − ⎟ = sin ωt + θ + φ 2⎠ ⎝ i= { 1 1 ~ = = tan φ tan φ ωCR ~ π ⎛ π ~⎞ −φ ⎟ = θ +φ − 2 2 ⎝ ⎠ , φ = tan −1 ωCR, τ = CR 2 と置くと θ −φ = θ − ⎜ q = Qm sin (ωt + θ − φ ) − Qm sin (θ − φ )e − t /τ Qm = ωCR cot φ = A = −Qm sin (θ − φ ) よって ただし 1 ~ φ = tan −1 ⎧E v=⎨ ⎩0 (0 ≤ t ≤ T ) (t < 0, t > T ) τ = L / R << T vR ≅ v ・ RC 直列回路において dv dq vR = Ri = R = CR C dt dt vL ≅ L dv R dt (電源電圧の微分に比例) τ = CR << T vR ≅ CR vC ≅ v dv dt t<0 q=0 0≤t <T q = CE − CEe − t /τ = CE (1 − e − t /τ ) t >T q = q (T )e − (t −T ) /τ = CE (1 − e −T /τ )e − (t −T )/τ 積分回路 ・ RC 直列回路において vC = τ = L / R >> T q 1 1 = idt = v R dt vR ≅ v C C∫ CR ∫ ・ RL 直列回路において τ = L / R >> T R vR = Ri = ∫ vL dt vL ≅ v L vC = 1 vdt CR ∫ (電源電圧の積分に比例) vR ≅ R vdt L∫ 2
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