講義資料

交流回路の過渡現象
一般解
・ RL直列回路
i = it + is = Ae −t /τ + I m sin (ωt + θ − φ )
電源電圧 v (t ) = Vm sin (ωt + θ )
回路方程式
L
初期条件 t = 0 で i = 0
di
+ Ri = Vm sin (ωt + θ )
dt
A + I m sin (θ − φ ) = 0
i = it + is
・定常解 (交流理論より)
jωLI s + RI s = Ve e
jθ
よって
is = I m sin (ωt + θ − φ )
よって
V e jθ
Ve
Is = e
e j (θ −φ )
=
R + j ωL
R 2 + ω 2 L2
V
ωL ⎞
⎛
⎜Ve = m , φ = tan −1
⎟
R ⎠
2
⎝
⎛
⎜ Im =
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
R +ω L ⎠
Vm
2
2 2
・過渡解
L
dit
+ Rit = 0
dt
θ −φ = 0
A = − I m sin (θ − φ )
L⎞
⎛
it = Ae −t /τ ⎜ 時定数τ = ⎟
R⎠
⎝
i = I m sin (ωt + θ − φ ) − I m sin (θ − φ )e −t /τ
Vm
L
ωL
, φ = tan −1
, τ=
ただし I m =
2
2 2
R
R
R +ω L
過渡電流の大きさ ∝ sin (θ − φ )
θ − φ = 0, π
π
θ −φ = ±
2
過渡電流 0
過渡電流最大
・ RC直列回路
電源電圧 v (t ) = Vm sin (ωt + θ )
回路方程式
q
Ri + = Vm sin (ωt + θ )
C
i=
dq
dt
R
dq q
+ = Vm sin (ωt + θ )
dt C
q = qt + qs
・定常解
θ −φ =
π
2
jωRQs +
Qs
= Ve e jθ
C
is
よって
qs = Qm sin (ωt + θ − φ )
Qs =
CVe e jθ
CVe
e j (θ −φ )
=
1 + jωCR
1 + ω 2C 2 R 2
V
⎛
⎞
⎜Ve = m , φ = tan −1 ωCR ⎟
2
⎝
⎠
⎛
Vm
⎜ Qm =
⎜
2 2 2
1
ω
C R
+
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
・過渡解
it
R
dqt qt
+ =0
dt C
qt = Ae − t /τ (時定数τ = CR )
1
教科書演習問題問6との関係
一般解
q = qt + qs = Ae
− t /τ
+ Qm sin (ωt + θ − φ )
初期条件 t = 0 で q = 0
A + Qm sin (θ − φ ) = 0
CVm
1+ ω C R
2
2
(
(
dq
Q
= ωQm cos(ωt + θ − φ ) + m sin (θ − φ )e −t /τ
dt
τ
= I m cos(ωt + θ − φ ) + cot φ sin (θ − φ )e −t /τ
}
ただし
Im =
ωCVm
1+ ω C R
2
2
2
, φ = tan −1 ωCR, τ = CR
)
(
) }
~
~
~
i = I m sin ωt + θ + φ − tan φ cos θ + φ e − t /τ
・ RL 直列回路において
di L dv R
vL = L =
dt R dt
RC直列回路の過渡現象の一般解
q = Ae −t /τ + CE s
q = CE s + (q0 − CE s )e − (t −t0 ) /τ
{ (
)
微分回路
方形パルス入力に対する応答
t = t 0 で q = q0
)
~ π⎞
~
⎛
sin (θ − φ ) = sin ⎜θ + φ − ⎟ = − cos θ + φ
2⎠
⎝
~ π⎞
~
⎛
cos(ωt + θ − φ ) = cos⎜ ωt + θ + φ − ⎟ = sin ωt + θ + φ
2⎠
⎝
i=
{
1
1
~
=
= tan φ
tan φ ωCR
~ π
⎛ π ~⎞
−φ ⎟ = θ +φ −
2
2
⎝
⎠
, φ = tan −1 ωCR, τ = CR
2
と置くと
θ −φ = θ − ⎜
q = Qm sin (ωt + θ − φ ) − Qm sin (θ − φ )e − t /τ
Qm =
ωCR
cot φ =
A = −Qm sin (θ − φ )
よって
ただし
1
~
φ = tan −1
⎧E
v=⎨
⎩0
(0 ≤ t ≤ T )
(t < 0, t > T )
τ = L / R << T
vR ≅ v
・ RC 直列回路において
dv
dq
vR = Ri = R
= CR C
dt
dt
vL ≅
L dv
R dt
（電源電圧の微分に比例）
τ = CR << T
vR ≅ CR
vC ≅ v
dv
dt
t<0
q=0
0≤t <T
q = CE − CEe − t /τ = CE (1 − e − t /τ )
t >T
q = q (T )e − (t −T ) /τ = CE (1 − e −T /τ )e − (t −T )/τ
積分回路
・ RC 直列回路において
vC =
τ = L / R >> T
q 1
1
=
idt =
v R dt
vR ≅ v
C C∫
CR ∫
・ RL 直列回路において
τ = L / R >> T
R
vR = Ri = ∫ vL dt
vL ≅ v
L
vC =
1
vdt
CR ∫
（電源電圧の積分に比例）
vR ≅
R
vdt
L∫
2

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