情253 「ディジタルシステム設計」

情253 「ディジタルシステム設計」
（3）Constellation3
ファイヤー和田
[email protected]
琉球大学工学部情報工学科
1
直交座標と極座標[P75]
• 極座標
– XY直交座標上の点を、原点からの距離・角度を用いる
極座標を用いて表す。
直交座標
Y軸
y0
極座標
(A0, Φ 0)
(x0, y0)
A0
Φ0
0
x0
X軸
0
2
極座標・直交座標変換
• 角度Φと大きさAを用いて、平面上の点の位置を示
す。
– この角度Φが変復調では位相となる。
– この大きさが変復調では振幅となる。
y
y
sin  
A
x
cos 
A
A
y  A sin 
x  A cos
Φ
x
3
BPSK波形
• BPSKとはBinary Phase Shift Keying
• 位相Φの値として２つの値を用いて、２つの波形を生成する。
• 通信を行うときに、上記２つの波形の一つを送るので、2種類
の可能性があり、’1’か’0’かすなわち1ビットの情報を送信す
る。
元の波形
x  A cos(2ft   )
情報’0’を送信する場合： Φ =0とする
情報’1’を送信する場合： Φ =π（180度）とする。
x  A cos(2ft )
x  A cos(2ft   )
4
SCILABにてBPSK波形を作る
5
BPSKの２つの波をコンスタレーションで示す
• BPSKの２つの波の振幅と位相は？
– 情報‘０’
– 情報‘１’
：振幅A=1、位相Φ ＝０
：振幅A=1、位相Φ ＝π
• これを極座標面に表現すると
極座標
(A0, θ0)
=(1, 0)
(A1, θ1)
=(1, π)
0
6
QPSK波形
• Quadrature Phase Shift Keying
• 4つの位相を用いる
x  A cos(2ft   / 4)
– Φ ＝1*π/4
x  A cos(2ft  3 / 4)
– Φ ＝3*π/4
x  A cos(2ft  5 / 4)
– Φ ＝5*π/4
x  A cos(2ft  7 / 4)
– Φ ＝7*π/4
7
SCILABにてQPSK波形を作る
8
QPSKの４つの波をコンスタレーションで示す
• QPSKの４つの波の振幅と位相は？
–
–
–
–
振幅A=1、位相Φ＝1 π /4
振幅A=1、位相Φ ＝ 3 π /4
振幅A=1、位相Φ ＝ 5 π /4
振幅A=1、位相Φ ＝ 7π /4
極座標
(A0, Φ 0)
=(1, 1π/4)
(A1, Φ 1)
=(1, 3π/4)
(A2, Φ 2)
=(1, 5π/4)
0
(A2, Φ 2)
=(1, 7π/4)
9
クイズ１
• 以下の２つの送信波形（BPSK, QPSK）の各サイクル（T1～T5）の波の
コンスタレーションポイントを示せ
• ただし基準の波の波形として以下の式を仮定せよ！
• (ヒント)図のBPSKはこれまで説明した波と異なる。
基準となる波形
x  A cos(2ft   )
10
クイズ２
• 以下の４つのコンスタレーションに対応する波
形をSCILABで生成せよ
極座標
1
x1
x2
x0
0
-1
1
-1
x3
11
X軸、Y軸をI相、Q相にチェンジ[p79]
• これまで見てきたように、X軸とY軸ではちょうど90°の位相
差がありました。すなわち、直角です。
• これからは、X軸をI相（In Phase）,Y軸をQ相(Quadrature
Phase)
• 平面をIQ平面と呼ぶ
Q相
IQ平面
0
I相
12
ここからは教科書を超えた事項！
13
新導入１：複素指数関数
• これまでは、三角関数を用いたが、もう一歩
すすんで複素指数関数を導入する！
j ( 2ft  )
~
x (t )  Ae
 A cos(2ft   )  j  A sin(2ft   )
実数部
虚数部
• 実数部と虚数部からなるので、複素数である。
• 実数部だけみると、これまで使用した三角関数
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新導入２：複素平面
• IQ平面
– I相、Q相の２つの値のペアで、平面上の点を指定した。
• 複素平面
– 複素数ひとつで、平面上の1点を示す方法を導入する。
– 実部をI相に対応：実数軸
– 虚部をQ相に対応：虚数軸
嘘数軸（Q相）
複素平面
a+jb
b
0
a
実数軸（I相）
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複素指数関数は複素平面では
回転を示す関数となる。
~
x (t )  Ae j ( 2ft )
 A cos(2ft   )  j  A sin(2ft   )
実数部
虚数部
虚数軸、Q相
~x (t )
A sin(2ft   )
A
0
2ft  
実数軸、I相
A cos(2ft   )
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時間とともに複素指数関数は回転する。
17
複素振幅
j ( 2ft  )
~
x (t )  Ae
j
 Ae  e
j 2ft
X  Ae j、
0  2fとすると、
~
x (t )  X  e j0t
• Xはx(t=0)の値であり、
回転のスタート位置（t=0の位置）
を示す。
• Xを複素振幅という
18
複素指数関数で、QPSKを示す。
~
x0 (t )  e
~
x1 (t )  e
~
x2 (t )  e
~
x3 (t )  e
j ( 2ft 
j ( 2ft 
1
)
4
3
)
4
5
j ( 2ft )
4
j ( 2ft
7
)
4
e
j
e
j
e
e
1
4
3
4
5
j
4
j
7
4
e
j 2ft
e
3
j
4
虚数軸、Q相
e
 e j 2ft
e
1
4
実数軸、I相
0
j 2ft
 e j 2ft
j
e
j
5
4
e
j
7
4
複素振幅を、複素平面にプロットすれば、コンスタレー
ションとなる。
19
複素振幅をSCILABでプロットする
20
同一周波数の波の合成方法
右式の合成を調べる
x(t )  cos(2ft )  sin(2ft )
虚数軸、Q相
それぞれの波の
コンスタレーションを
調べ、合成する
複素指数関数に変換
実数軸、I相
0
1 0 j
0 1 j
1 j
~
x (t )  (1  0 j )e j 2ft  (0  1 j )e j 2ft
 (1  j )e j 2ft
合成波の振幅と位相がわかる
合成波
A 2


4
x(t )  2 cos(2ft   / 4)
21
振幅、位相の計算
虚数軸、Q相
0
0 1 j
実数軸、I相
1 0 j
1 j
22
HW3
(１) webclass 情報工学科デジタルシステム設計
に用意したＨＷ２を完了させよ。
講義から2週間後同一曜日の夜２３：００を期限とする。
• http://webclass.cc.u-ryukyu.ac.jp/
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