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2009年度電磁波工学
平面波･･･平面状に一様な電磁界が一群となって伝搬する波
時間的正弦変化
E y t   E0 cost (1), 時間的空間的正弦変化 t  
11
  2f (角周波数; rad
. / s), T  1 (周期; sec
.)B
f
  E   t   jB

H  (1)
2 D
c
  E   j
E x0, t   E cost  k x (2), k       
(波数or位相定数),   
(波長)
c
  H  j E  (2)


H

i

k
f  jD
.]
0
 複素ベクトル表記（フェ－ザ表記）
t
[ rad


[
rad
.]
[sec]
 k0 Ejx

k0ix 0cost  k0 x
(1f t)の両辺の回転を取って
tx, t A E expjt  k x(3)　※ 実数部が物理的な意味を持つ。
exp
  jt 
 [ m]  D
Re
Ae
 t  t   k  x  x   A  t  
k[sec]
x  [tm]k0 x  t  k0 x  A
x  E
jk x
(3)　"
0
    EE
0exp
 j
 (
3)t c k0 x 


B0
0   H  時間因子exp(jt)は全ての電磁界に共通なので省略して書く。

f
単位長さ当たり位相の変化量
 
(3)の右辺に
 j瞬時値は時間因子exp(jt)を再び掛けて実部をとる。※）但し，積・商はベクトルとは異なることに注意！
Ae jt (2)
 を代入する。
j f

t



x
k








E


j

j

E
0
t  k0 x  0 0
0 
[補足 - 7]へ

2
2

t (4) 
  複素表記を用いたMaxwellの方程式[補足-7]
 0 0E  k0 E 
→ 時間微分をjで置き換えられる。
  D   0  E  0

 k0 

 c ct  x
y
0
0
0
0
0
0
y
y
0
0
0
0
  E   jB  (4),   H  i  jD  (5),   B  0  (6),   D    (7)

v
     E  k02 E  0  (8),
i  0,   0の時， Eまたは Hについて解くと次式のようになる。
  B   0  H  0
ベクトル恒等式
     H  k02 H  0  (9)
    A    A   2 A
直角座標系では特に次のように書ける。
     E  k02 E    E   2E  k02E  0,      H  k02 H    H   2 H  k02 H  0
 2 E  k02 E  0  (8)" ,
 2 H  k02 H  0  (9)"
Helmholtsの方程式
式(８)”および(９)”をまとめて書くと式(10)の様になり，先に考えた平面波では式(2.9)より式(11)の様になる。
ただし，式(11)のV，Iは複素表記である。
E
  k    0  (10)
H

2
2
0

 d2
V 
 2  k02    0  (11)
 dx
 I 
2

2
  j    2 ,  k0より
2
t
c
2009年度電磁波工学
12
式 (11)は一次元のHelmholts方程式であり，次のような一般解を持つ。
V  V0 
     exp  jk 0 x   (12)
 I   I0 
時間項を含めれば･･･
 jk0 x jt
e
e
 e j  t  k0 x 
・複素表記導入の根拠
1. 線形性がある場合に計算が簡単になる。
2. フーリエ積分が容易になる。
3. 電源の時間変化に単振動が多い。（複素表記が扱いやすい）
S x  Ey H z
 d2
V 
 2  k02    0  (11)
 dx
 I 
実数部分が物理的意味を持つ
複素表記でのポインティングベクトル

［オイラーの公式］
C  Ae
jx
C  C  Ae
*


1
*
Re{
C
}

C) , 
 Acos x  j sin x (13
C* C
 Ae jx  Acos x  j sin x(14)  Cの複素共役
2
jx
 

 e jx  2 A cos x  2 ReC (15),
C  C  Ae
*
jx

 e jx  2 jAsin x  2 j ImC (16)
 12 E ye jt  E*ye jt 12 H ze jt  H *z e jt   14 E y H *z  E*y H z  14 E y H ze j 2t  E*y H *z e j 2t 
S x  Re E y e jt Re H z e jt 









* 1
1
1
*
* * 1 
j 2t
 E y H z e j 2t   Re E y H *z  Re E y H z e j 2t (17)
E y H z  E y H z   E y H z e
4
2
 4
 2
時間平均すると残る振動項（２倍周波数の項）
※工学的な意義が大きい
式(17)の時間平均を与える複素ベクトル → 複素ポインティングベクトル［補足-8］
Sc 
∵時間平均の定義
P
1
E  H*
2
 (18)
1 T
P dt  (19)

0
T
式(18)中などの１／２が出てこないように
1
E及びHの大きさにあらかじめ 2 を掛け
ておく → 実効値
2009年度電磁波工学
13
課題
式(17)の最終式の第二項についてRe{ }の中身を計算し，式(17)が教科書p.29の式(2.46)と等しくなる
事を確認しなさい。
［ヒント］
 



E y H z e 2 jt  Re E y H z  j Im E y H z cos 2t  j sin 2t  ? を計算し，式(17)へ代入する。
電磁波の種類
次ページの表参照
電波・・・「電波法」の規定により3,000GHz(3THz)以下の電磁波
真空中での電磁波の伝搬速度・・・光速に等しい（測定では2.9979×108m/s)
重要
偏波
・・・電界の振動方向
E  yˆ A  zˆ Be jkx  (20)
x方向に伝搬する平面波の電界
yおよびz成分を持つ
e
重要
j t
瞬時値・・・時間の項を省略せずに書いた複素表記の実部をとる。


Ex, t   Re yˆ A  zˆ Be j t kx  yˆ a cost  kx     zˆ b cost  kx     (21)
j
但し， A  ae j , B cos
 be
t  kx    j sin t  kx   
［導出］
yˆ ae
j

 zˆ be j e j t kx  yˆ ae j t kx   zˆ be j t kx 
Ex, t   yˆ a cost  kx     zˆ b cost  kx     (21)
2009年度電磁波工学
cos A  B  cos A cos B  sin A sin B
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・式(21)における電界のy, z成分を及びを分離した形で書き直すと次のようになる。
E y x, t   a cost  kxcos  a sin t  kxsin  (22)
三角関数の加法定理
Ez x, t   b cost  kxcos   b sin t  kxsin  (23)
導出問題
・式(22)及び(23)を連立させて， cost  kx, sint  kx の項を消去すれば次式が得られる。




cos
t  kx , 2 Y１ sin t  kx とすると
E y  E
 Ey 
X
z   Ez 
   2 cos          sin      (24)
１
 a 
 a  b   b 
０
2
2
０
a) 式(24)において，=0の時，（同位相）
 E y Ez 

   0 
a
b 

Ey
a

Ez
0
b
X 2 Y 2 1
Ez
b
E
-a
大地に対して水平な電界
Ez
b

 Ez  E y (25)
a
b
a
大地に対して垂直な電界
水平偏波
直線偏波
2
Ey
垂直偏波
2
2
右旋楕円偏波；＋/2
左旋楕円偏波；－/2
※）特にa=bの時・・・円偏波
a
Ey
Ez
b
E
-a
-b
楕円偏波
Ey
-b
電界の b) 式(24)において，=±/2の時，（90°位相ずれ） ※長軸短軸の比を軸比
振動方向
 E y   Ez 
      1  (26) 楕円の式
 a   b 
a
2009年度電磁波工学式20より


E  yˆ A  zˆ B e jkx yˆ ae j  zˆ be j e jkx   (20)' 16
・単振幅の右旋円偏波；a=b＆/2      2
R  yˆ  jzˆ e jkx  (27)
ae j  1として，
・単振幅の左旋円偏波；a=b，/2
L  yˆ  jzˆ e
   2
 ae
紙面裏から見る！
2
j
 ae e
 j
2
e
 j
2
j
 
 
j
j
 ae j e 2  jae j  e 2  cos   j sin   jより
2
2
［補足-9］へ
ae  1として，
 (28)
紙面裏から見る！
A  ae j , B  be j  ae
 jkx
be
j
j 
j   2 
j
一般的な偏波  左旋円偏波，右旋円偏波の線形結合
r : 右旋円偏波の振幅，l :左旋円偏波の振幅
E  yˆ A  zˆ B e jkx  rR  lL  r yˆ  jzˆ   l yˆ  jzˆ e jkx  r  l yˆ  j  r  l zˆ e jkx  (29)
 r  l  A, r  l  jBと置けば式 (20)と等しくなる。
右：right 1
左：left
1
r   A  jB , l   A  jB   (30)
2
2
式20
重要
課題
軸比 
rl
rl
 (31)
回転方向･･･　rと l の大きい方の向き
１．式(22)及び(23)を連立させて，式(24)を導出しなさい。
２．式(25)および(26)を導出しなさい。
３．A=1.0，B=2.0の楕円偏波の軸比と旋回方向を求めなさい。
[補足-10]の例題を
理解しておくこと。

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