2009年度電磁波工学 7 Maxwell’s Equations B H    E      0  t t 自由空間中( 0 ,  0 )  D E   H  i   i  0 t t   D   0E 構成関係式  B   0 H xˆ E   x Ex xˆ H   x Hx ・・・波源も散乱体も何もない真空空間波源なし X方向へ伝搬する波動を考える!! yˆ zˆ    xˆ  E z  E y   yˆ  E x  E z   zˆ  E y  E x   y y z z   z x   x y   Ey Ez ０ｙ，ｚ方向に変化なし yˆ zˆ    xˆ  H z  H y   yˆ  H x  H z   zˆ  H y  H x   y y z z   z x   x y   Hy Hz  y  z  0, i  0 ０ x成分の方程式  0   0 H x H E E ,  x  0  0  0 x ,  x  0 t t t t y成分の方程式 H y E z    0 , x t (c) E y H z   0 x t z成分の方程式 E y H z    0 x t (e)  H y x  0 E z t (a) & (b) (d) (f) (Ez, -Hy)の組と (Ey, Hz)の組に分離可能 2009年度電磁波工学式(a)および(b)より H x E x   0 ・・・時間微分が0 → 時間変化無し → t t この場合x方向時間変化する電磁界は横方向（伝播方向に垂直）成分しかない！時間的に変化しない定数→０である必要はない！ H y  E z     0  (1) 0  x t   H y   E z  0  (2) 0  x t 式(c)及び(f)より  Ez    V, E   y I  V    0  (1)" 0  x t   V   I  0  (2)" 0  x t  Hy     I H  z  式(d)及び(e)より 2H y  2 Ez (1)   0の時間微分　  0   0 0  0  (3) xt t 2 2H y  2 Ez (2)の x微分　   0  (4) 0 x 2 tx Ｉ 2H y 2H y 式 (4)  式 (3) 2   0  0  0  (5) x t 2 2I 2I 2I 1 2I  2   0  0 2  2  2 2  0  (5)"  H y  Iとして x t x c t H 電磁界 E → 電圧; V H 電流; I 0, 0 → キャパシタ; C インダクタ; L →電気回路の回路方程式と同形同様にしてEzについて解くと，波動方程式式(5)”および(6)”の解は，xとtで２回微分可能な関数Fを 2 2  Ez  Ez   0 0  0  (6) 用いて次のようにかける。 2 x t 2 Ez  Vとして  2V  2V  2V 1  2V V E V0  V   0  0 2  2  2 2  0  (6)"       F x  ct   c  1 (7) 2 x t x c t   I I 0 0    0  波動方程式 8 ２階微分方程式の解 2009年度電磁波工学 9 複数の解がある場合の一般解はその線形和 V，Iについて，F x  ct  の係数をV+およびI+，F x  ct  の係数をV-およびI-と置きそれぞれの線形和で次のように表す。 V  V F x  ct   V F x  ct , I  I  F x  ct   I  F x  ct  (8) I V   0 の両辺を計算するために，x-ct = w-，そして，x+ct = w+と置く。 x t V F x  ct  F x  ct  F w  F w  変数変換のために微係数を  V  V  cV  cV  (9) 計算すると(xは定数) t t t w w 式(2)” ct  w ,  c t  w  F w  F w     cV  V  w  w     I F x  ct  F x  ct  F w  F w   I  I  I  I  (10) x x x w w 1 F x 1ct  1F (w ) 1  c ,  c V , I  t w t z w 0は+x方向に進む波には正の値をとり-x方向に進む V  IR(オームの法則) 1 1H 1 E1 よって，式(2)”より  ,  波には負の符号をとる。 1  x  w  x w   I  V 電界磁界が対を形成す V  F w  F w   I F w  F w     0     0cV   0cVR  I  I  (11) る場合，その比を表し k  y x t  w w  x w w となり，同じ微分の前の係数を比較すれば次式が得られる。 I    0cV , I    0cV  (12) ここで，  c   0 0 0 1   0 0  0 0 1 c  1  0 0 0  120  ている。伝搬方向k，電界E，磁界Hは， F xI ct   F (w )V , I  R V 互いに直交している！電界磁界の関係になおすと・・・ E  0H  kˆ [補足-5]へ E Ey V の V V E V E y 0を真空の特性インピーダンス（波動インピーダンス）あるいは界インピーダンスと呼ぶ。    0 ( x方向),     0 ( x方向),   z   0 ( x方向),   z   0 ( x方向) I H z I H z I  H y I  H y 面状に一様な電磁界が一群となって伝搬する波(p.22) 2009年度電磁波工学 10 Pointing Vector S  E  H  (Ey H z  Ez H y )x  (Ez Hxz  Ex H z )y  (Ex H y  Ey H x )z 一般の媒質中で，平面波では，電磁波の進む方向と電磁界ベクトルの回転 E  Η の方向は一致する。 S x  E y H z について，xで偏微分しMaxwellの方程式の関係を用いると以下のようになる。 f x   E y , g x   H z E y H z S x E y H z w   (13  0Ey  H z  Ey  )z    0 0H t t x x x t 2  1 1 w   0 E y2   0 H z2 2 2 S  E H E y     E y 1  E y2 H z 1  H z2 Hz 2  ,2 Ey  1   H  2 tE y  t 2 t zt t  0   t   を用いる。  1 1 2 2 静電磁界（Static Electromagnetic  Field）におけるエネルギー密度  0 H z   0 E y  t  2 2  ポインティングベクトル･･･方向を含んだ単位面積あたりの電力流密度 H z    0 x 課題 t (e)  Hf (z x) g ( x)Ey g ( x) f ( x)  f ( x) g ( x) (d) x   0 x x x t 1．教科書の式(1.28)のiが空間に供給された外部電流iextと伝導電流sE の和とする。電磁界E及びHはiextのみで励振されるものとした場合に，教科書p.24の式(2.23)を導出せよ。 2. また，Sを任意ベクトルAを用いた（S+∇×A）に置き換えた場合，同式 (2.23)はどの様になるか答えよ。