INTEGRALES LECCIÓN 7 Índice: Integrales inmediatas. Integrales casi inmediatas. Problemas. 1.- Integrales inmediatas La tabla de las integrales inmediatas se obtiene fácilmente de la tabla de las derivadas de las funciones simples. Por ejemplo: r r+1 ⇒ (r+1)·⌠xr·dx=xr+1 ⇒ (xr+1)'=(r+1)·xr ⇒ ⌠ ⌡(r+1)·x ·dx=x ⌡ 1 2 xr+1 r·dx= x ⇒ ⌠ ⌡ r+1 +C Si r=-1, tenemos lo siguiente: 1 ⌠x-1·dx=⌠ ·dx = ln|x|+C ⌡ ⌡x 3 Por ejemplo: 1 x x ⌠ x x (ax)'=ax·ln a ⇒ ⌠ ⌡a ·ln a·dx=a ⇒ ln a·⌡a ·dx=a ⇒ ax x ⇒ ⌠ ⌡a ·dx= ln a +C Y así con los demás tipos. 2.- Integrales casi inmediatas La tabla de las integrales casi inmediatas se obtiene sin dificultad de la tabla de las derivadas de las funciones compuestas.4 Por ejemplo: (sen u)'=cos u·u' ⇒ ⌠ ⌡cos u·u'·dx=sen u+C Por ejemplo: (arc sen u)'= 1 1 ·u' ⇒ ⌠ ·u'·dx=arc sen u+C 2 1-u ⌡ 1-u2 * * * 1 Por la propiedad de linealidad de la integral indefinida. Si r≠-1. 3 Recuerda que esta derivada la hemos visto en la lección D-7. Si no se pone el símbolo de valor absoluto, se obtiene la integral de 1/x, pero sólo donde esta función es positiva, ya que el argumento del logaritmo es siempre positivo. 4 u y u' son funciones de x. 2 - 1 - Si comparas las tablas de derivadas e integrales,1 observarás que faltan en esta última las de tipo arco coseno, arco cosecante y arco cotangente. La razón es que pueden reducirse a las de tipo arco seno, arco secante y arco tangente, respectivamente. Por ejemplo: ⌠ -1 ·u'·dx =2 -⌠ 1 ·u'·dx =3 -arc sen u+C 1-u2 1-u2 ⌡ ⌡ Aunque también las integrales de tipo secante y cosecante se pueden reducir a las de tipo potencial, se ahorra tiempo conociéndolas. Por eso aparecen en la tabla. Por ejemplo: sen u ⌠sec u·tg u·u'·dx=⌠ -2 ·u'·dx=-⌠ ⌡ ⌡cos u·(-sen u)·u'·dx = ⌡cos2u 4 =- cos-2+1u 1 +C= -2+1 cos u +C=sec u+C * * * Para calcular las integrales casi inmediatas es preciso identificar en el integrando las funciones u y u'. Veamos un ejemplo de cada tipo: a) Calculemos la siguiente integral: ⌠sen2x·cos x·dx ⌡ Si u=sen x, entonces u'=cos x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo potencial: 2+1 3 ⌠sen2x·cos x·dx= sen x +C= sen x +C ⌡ 2+1 3 b) Por ejemplo: x-1 ⌠ ·dx 2 ⌡x -2x-3 Si u=x2-2x-3, entonces u'=2x-2=2(x-1). Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo logaritmo: x-1 1 ⌠ 2(x-1) 1 ⌠ 2 2-2x-3·dx= 2·x2-2x-3·dx= 2·ln|x -2x-3|+C x ⌡ ⌡ c) Por ejemplo: etg x ⌠ ·dx ⌡cos2x 1 2 3 4 Ambas tablas puedes encontrarlas en Resúmenes, en este mismo blog. Por la propiedad de linealidad de la integral indefinida. Se trata de una integral casi inmediata de tipo arco seno. Por la propiedad de linealidad de la integral indefinida. - 2 - I-7 Si u=tg x, entonces u'=1/cos2x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo exponencial: tg x ⌠ e ⌠ tg x· 1 ·dx=etg x+C 2x·dx=e cos cos2x ⌡ ⌡ d) Por ejemplo: cos ctg x ⌠ sen2x ·dx ⌡ Si u=ctg x, entonces u'=-1/sen2x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo seno: cos ctg x ⌠cos ctg x· -1 ·dx=-sen ctg x+C ⌠ sen2x ·dx=- sen2x ⌡ ⌡ e) Por ejemplo: 1 1-x ⌠ 2·sen 1+x·dx (1+x) ⌡ Si u=(1-x)/(1+x), entonces u'=-2/(1+x)2. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo coseno: -2 1 1-x -1 ⌠ 1-x 1 1-x ⌠ ·sen ·dx= · sen · ·dx= ·cos 2 2 1+x 2 ⌡ 1+x (1+x) 2 1+x +C ⌡(1+x) f) Por ejemplo: x·sen x ⌠ ·dx ⌡ cos2x2 2 Si u=x2, entonces u'=2x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo secante: x·sen x2 1 ⌠ 1 ⌠ 2·tg x2·2x·dx= ·sec x2+C ·dx= · sec x 2 2 ⌡ 2 2 ⌡ cos x g) Por ejemplo: ex·cos ex ⌠ ·dx ⌡ sen2ex Si u=ex, entonces u'=ex. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo cosecante: ex·cos ex ⌠ x x x x ·dx= ⌠ ⌡cosec e ·ctg e ·e ·dx= -cosec e +C ⌡ sen2ex h) Por ejemplo: ⌠(1-ex)·sec2(ex-x)·dx ⌡ - 3 - I-7 Si u=ex-x, entonces u'=ex-1. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo tangente: ⌠(1-ex)·sec2(ex-x)·dx= -⌠sec2(ex-x)·(ex-1)·dx= -tg(ex-x)+C ⌡ ⌡ i) Por ejemplo: 1 ⌠ 2·sen2(1/x)·dx x ⌡ Si u=1/x, entonces u'=-1/x2. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo cotangente: 1 1 -1 ⌠ ⌠ x2·sen2(1/x)·dx= - 2(1/x)· x2 ·dx=ctg(1/x)+C sen ⌡ ⌡ j) Por ejemplo: x2 ⌠ 1-(x3+5)2·dx ⌡ Si u=x3+5, entonces u'=3x2. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo arco seno: x2 1 ⌠ 1 1 ⌠ 1-(x3+5)2·dx= 3· 1-(x3+5)2·3x2·dx= 3·arc sen(x3+5)+C ⌡ ⌡ k) Por ejemplo: ⌠ 1 ·dx e2x-1 ⌡ Si u=ex, entonces u'=ex. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo arco secante: 1 1 ⌠ 1 ·dx= ⌠ e2x-1 ex· e2x-1·ex·dx = arc sec ex+C ⌡ ⌡ l) Por ejemplo: sen x ⌠ 2x·dx 1+cos ⌡ Si u=cos x, entonces u'=-sen x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo arco tangente: sen x 1 ⌠ ⌠ 2x·dx= -1+cos2x·(-sen x)·dx=-arc tg cos x+C 1+cos ⌡ ⌡ 1 Observa que, como ex>0, ex=|ex|. - 4 - I-7 3.- Problemas 1) Identifica el tipo de integral y calcúlala: 5 a) ⌠ x2·dx ⌡ dx d) ⌠ 2+2x2 ⌡ 2 x3 g) ⌠ ⌡x ·e ·dx j) ⌠ ⌡sen x·cos x·dx x m) ⌠ 1+(x2+4)2·dx ⌡ 1-cos x o) ⌠ x-sen x·dx ⌡ ex r) ⌠ ·dx ⌡cos2ex x x u) ⌠ ⌡e · 1-e ·dx e x) ⌠ 1-x2 ·dx ⌡ arc sen x ⌠ 5 b) x ·dx ⌡ dx e) ⌠ (x+2)8 ⌡ dx h) ⌠ cos2(5x) ⌡ 2 k) ⌠ ⌡x·sen(x +4)·dx sen x n) ⌠ cos4x·dx ⌡ ex p) ⌠ 1-e2x·dx ⌡ 2 s) ⌠ ⌡ x · x·dx sen(2x) v) ⌠ ·dx 2+cos(2x) ⌡ ⌠ 1+sen2x y) cosec(2x)·dx ⌡ c) ⌠ ⌡cos(x+1)·dx x f) ⌠ ·dx x ⌡ 5+9 4 ⌠ 1-x2 i) 1-x2 ·dx ⌡ 4 l) ⌠ ex·dx ⌡ ñ) ⌠ ⌡tg x·dx 3 q) ⌠ 3x-4·dx ⌡ 2x t) ⌠ ·dx ⌡1+4x dx w) ⌠ 2x-1 sen ⌡ dx z) ⌠ x(1+ x) ⌡ 2) Identifica el tipo de integral y calcúlala: 6x-5 x a) ⌠ b) ⌠ x·cos(1-x2)·dx c) ⌠ 2-5x+4·dx 2+1)2·dx ⌡ 3x (x ⌡ ⌡ dx x-1 x 3 x d) ⌠ e) ⌠ f) ⌠ 2(1-3x) ⌡3 ·dx ⌡(e +1) ·e ·dx sen ⌡ dx ex ⌠ ⌠cos2x·sen x·dx g) ⌠ h) i) ·dx 2 ⌡ ⌡1-2·ex ⌡x(1+ln x) dx earc tg x dx ⌠ j) ⌠ k) l) ⌠ 2ln x 2 ·dx x+e-x x·cos e 1+x ⌡ ⌡ ⌡ 2 sen x-cos x ⌠ctg3x·cosec2x·dx ñ) ⌠ sec x ·dx m) ⌠ ·dx n) 1-tg2x ⌡ ⌡ sen x+cos x ⌡ ⌠ sen x o) ·dx x ⌡ cosec2x r) ⌠ ·dx ⌡ 1+ctg x dx u) ⌠ ex ⌡ ⌠ tg x x) cos2x·dx ⌡ 2 p) ⌠ ⌡x· 1+3x ·dx x2 q) ⌠ ⌡x·a ·dx dx s) ⌠ x· 1-ln2x ⌡ sec x·tg x v) ⌠ 1+sec x ·dx ⌡ arc cos x t) ⌠ ·dx 1-x2 ⌡ dx w) ⌠ x·cos2 x ⌡ sen x sec2x ⌠ y) ⌠ ·dx z) ·dx ⌡ tg x ⌡1+cos2x 1 3) Encuentra la primitiva de f(x)= 1-x que se anula para x=3. - 5 - I-7
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