practica 4

PRÁCTICA
SERIES DE FOURIER
CURSO 2014-2015
C Á L CU L O I I
Prácticas Matlab
Práctica 7 (14/04/2015)
Objetivos

Conocer el significado de los parámetros que intervienen en la definición de una función armónica o armónico. 
Estudiar las funciones armónicas, presentes en las series de Fourier. 
Visualizar gráficamente la aproximación de una función periódica a partir de una suma finita de armónicos. Comandos de Matlab
1.‐ Para calcular la integral definida de una función, f(x), en el intervalo [a,b]. int(f,a,b)
Ejemplo: >> syms x
>> int(log(x),x,1,2);
Ejercicios
Armonicos a) Construye una función de Matlab que permita dibujar n armónicos tipo coseno de distintas frecuencias; es decir, funciones del tipo cos  k t / p  , k=1, 2,…,n, donde p es el semiperiodo propio. 1 Comienza asignando a los parámetros los valores: p   , n  4 . b) Modifica la función anterior para que dibuje también la función suma de todos los armónicos. c) Indicaciones Adapta la función de Matlab para que dibuje los armónicos yk  cos k t y la función suma. PÁGINA 2
MATLAB: SERIES DE FOURIER
Apartados a y b) %Comenzaremos dibujando el armónico fundamental y=cos(t), de
periodo %T=2pi y frecuencia angular w=1.
t= -3*pi:.1:3*pi; y = cos(t); plot(t,y,'b');
%Añade el segundo armónico, en la misma gráfica, en otro color,
%desplazado 2 unidades hacia arriba.
hold on;
y = 2 + cos(2*t); plot(t,y,'r');
%Añade el tercer armónico, en la misma gráfica,en otro color,
%desplazado 4 unidades hacia arriba.
y = 4+ cos(3*t); plot(t,y,'g');
%Añade el cuarto armónico, en la misma gráfica, en otro color,
%desplazado 6 unidades hacia arriba.
y = 6+ cos(4*t); plot(t,y,'m');
%Ahora suma los cuatro armónicos y dibújalos sobre la misma
gráfica %cambiando el color, desplazado 4 unidades hacia abajo.
y = -4+cos(t) + cos(2*t) + cos(3*t) + cos(4*t);
plot(t,y,'k')
grid on
hold off
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Apartado c) %Comenzaremos dibujando el armónico fundamental y = cos(pi*t), de
periodo T=2 y frecuencia angular w=pi.
t= -2*pi:.05:2*pi; y = cos(pi*t); plot(t,y,'b');
%Ahora añade el segundo armónico, en la misma gráfica anterior, en
otro color
%desplazado 2 unidades hacia arriba.
hold on;
MATLAB: PRÁCTICA 7
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y = 2 + cos(2*pi*t); plot(t,y,'r');
%Ahora añade el tercer armónico, en la misma gráfica anterior, en
otro color
%desplazado 4 unidades hacia arriba.
y = 4+ cos(3*pi*t); plot(t,y,'g');
%Ahora añade el cuarto armónico, en la misma gráfica, en otro
color,
%desplazado 6 unidades hacia arriba.
y = 6+ cos(4*pi*t); plot(t,y,'m');
%Ahora suma los cuatro armónicos y dibújalos sobre la misma
gráfica,
%en otro color, desplazado 4 unidades hacia abajo.
y = -4+cos(pi*t) + cos(2*pi*t) + cos(3*pi*t) + cos(4*pi*t);
plot(t,y,'k')
grid on
hold off
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Para calcular la suma de los cuatro primeros armónicos, puedes ejecutar el siguiente código: %ejercicio 2c con bucle
t= -2*pi:.05:2*pi;
y=0;
for k=1:4
y = y + cos(k*pi*t);
end
plot(t,y,'k')
grid on
hold off
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4
3
2
1
0
-1
-2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
 Fíjate en la gráfica de la función suma de los cuatro armónicos, en cada caso, y responde a estas preguntas en el segundo caso: o
¿Es una función periódica? Si o
¿Cuál es su periodo? Explícalo. El periodo de la función suma de los cuatro armónicos es el del primer armónico; es decir T=2 en el primer caso y T=2 en el segundo caso. En cada caso, el periodo de la función suma es el mínimo común múltiplo de los periodos de las funciones periódicas sumadas. o
¿Cuál es su frecuencia? La del primer armónico, es decir  en el primer caso y = en el segundo caso. Este resultado es consecuencia del procedimiento utilizado para calcular el periodo. o
¿Es una función continua? Si Aproximación de una función periódica (onda cuadrada) mediante suma de armónicos senos impares. a)
En primer lugar sumarás unos pocos armónicos y observarás el efecto que produce cada nuevo armónico que se añade. Los armónicos son de la forma sen(2k  1)t
sen 3t sen 5t
sen(2n  1)t
 sen t 

 
2k  1
3
5
2n  1
k 1
2 n

b) Ejecuta la función ondacuadrada.m para dibujar una muestra de las funciones suma resultantes de ir añadiendo armónicos hasta el décimo armónico no nulo. c) En este apartado calcularás el valor de la suma de los diez primeros armónicos no nulos para t   / 2 . MATLAB: PRÁCTICA 7
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
d) Finalmente, calcula el valor exacto de la serie 
k 1
sen(2k  1)
2k  1

2 Indicaciones a) Comienza dibujando el armónico fundamental y  sen t , 0  t  3 , de periodo T  2 y frecuencia angular   1 . t= linspace(0,3*pi); y = sin(t); plot(t,y); Ahora añade el siguiente armónico y dibuja la suma de ambos en la misma gráfica y en otro color. hold on; y = sin(t) + sin(3*t)/3; plot(t,y,’r’) Ahora suma los tres armónicos siguientes y dibújalos sobre la misma gráfica cambiando el color. y = sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5 + sin(7*t)/7 + sin(9*t)/9;
plot(t,y,'g');
Fíjate en la función de la última gráfica dibujada y responde a estas preguntas: o
¿Es una función periódica? Sí, por ser suma de funciones periódicas. o
¿Cuál es su periodo? T  2 (es el periodo común de todos los armónicos) o
¿Cuál es su frecuencia?   1 o ¿Es una función continua? Sí, por ser una suma de funciones continuas. b) Código de la función ondacuadrada.m t =
y =
x =
for
linspace(0,3*pi);
zeros(10,length(t));
zeros(size(t));
k=1:2:19
x = x + sin(k*t)/k;
y((k+1)/2,:) = x;
end
plot(t,y(1:2:9,:))%dibujamos cinco sumas parciales
legend('y1','y2','y3','y4','y5')
c) Para calcular la suma de los diez primeros armónicos no nulos, puedes ejecutar el siguiente código: x=0;
for k=1:2:19
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x = x + sin(k*pi/2)/k;
end
suma=x
%se obtiene el siguiente resultado: suma=0.7605
Comparando con la gráfica del apartado anterior, ¿te parece correcto el resultado? Sí, porque para t   / 2 se observa en la gráfica que el valor de la suma de los diez primeros armónicos está próxima a 0.8 . d) Escribe el código para calcular la suma exacta de la serie numérica: syms k
s=symsum(sin((2*k-1)*pi/2)/(2*k-1), k, 1,inf)
%se obtiene s=pi/4=0.7854 Como conclusión del ejercicio ¿podrías aventurar cuál es la onda cuadrada que aproximamos mediante la suma de armónicos?  
 ,   t  0
 4
f ( x)  
  , 0t 
 4





Calculando la serie de Fourier. 3  
 4 ,   t  0
Dada la función f ( x)  
  , 0t 
 4


 calcula la expresión de la 

serie de Fourier. Indicaciones Analizaremos a continuación las condiciones suficientes para que una función
sea desarrollable en serie de Fourier, estas condiciones se recogen en el
teorema de Dirichlet1.
TEOREMA DE DIRICHLET.‐ Si f ( x) es una función periódica de período 2 p , y continua en un intervalo de un período o tiene en este intervalo a lo sumo un número finito de puntos de discontinuidad de salto finito, así como un número finito de máximos y mínimos, entonces se puede representar por una serie de Fourier convergente que tiene por suma el valor de la función f ( x) en los puntos en que ésta es continua y el promedio de los límites por la derecha y por la izquierda en los puntos en los que es discontinua. 1
Las condiciones bajo las cuales una función admite desarrollo en serie son muchas. Sin embargo,
la mayor parte de las aplicaciones prácticas quedan cubiertas con el Teorema de Dirichlet.
MATLAB: PRÁCTICA 7
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Suponiendo que la función f ( x ) cumple el criterio de Dirichlet, el siguiente
teorema nos da el método para calcular los coeficientes a0 , an , bn de la serie
de Fourier a partir de
serie.
f ( x) , así como las condiciones de convergencia de la
TEOREMA.‐ Supongamos que la función periódica f ( x) de período 2 p cumple el criterio de Dirichlet en   p, p  . Entonces se cumple f ( x) 
a0 
  (an cos nx  bn sen nx) 2 n 1
Siendo, p
p
p
1
1
1
a0   f ( x)dx , an   f ( x) cos nxdx , bn   f ( x) sen nxdx p p
p p
p p
expresiones conocidas como Fórmulas de Euler. Además para cada valor de x en   p, p  , la serie converge a: ● f ( x) , si x es punto de continuidad de f . ● f ( x )  f ( x )
, si x es punto de discontinuidad de f . 2
Resumen de comandos
Estos son los comandos utilizados en esta práctica que se darán por conocidos en las prácticas siguientes y que conviene retener porque se podrán preguntar en las distintas pruebas de evaluación. 
Para calcular una integral de forma simbólica: int

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