Análisis de la Respuesta Transitoria 1. Se tiene la siguiente gráfica: La respuesta corresponde al siguiente sistema: Si la entrada corresponde a escalón unitario, determine: En base a la gráfica: a) Tiempo de establecimiento para un error de estado estacionario del ±10% b) Porcentaje de sobreimpulso c) Relación de amortiguamiento d) Frecuencia natural amortiguada En base a datos de la gráfica: a) Valor de A b) Valor de B c) Valor de C 2. Si v(t) es un voltaje escalón en la red mostrada, encuentre el valor de la resistencia tal que se vea un 25% de sobreimpulso en voltaje entre los terminales del capacitor si C=2x10-6 F y L=1,5 H. Análisis de la Respuesta Transitoria 3. Un horno tiene un sistema de control con realimentación unitaria. Se le aplica una variación en la entrada de gas de un escalón unitario generando la respuesta entregada. La gráfica corresponde a un valor en tanto por uno con un valor de establecimiento de 180 °C. Determine: Función de transferencia del horno. Tiempo en que alcanza los 100 °C. 4. Se tiene un sistema de masa (M) y resorte (K) al cual se le aplica una fuerza (F) generando una respuesta subamortiguada. Si el impulso máximo es de 8,7 cm. de desplazamiento, estableciéndose en 4,3 cm. Si para un error de estado estacionario del 4% tiene un tiempo de 1,25 minutos. Determine: a) La función de transferencia del sistema si la fuerza aplicada es un doble escalón. b) Respuesta en el tiempo para un tiempo de 1 minuto. Se tiene el siguiente sistema: 26 2𝑠 2 + 5𝑠 + 15 Si la entrada del sistema es un doble escalón, determine la respuesta para un tiempo de 1,5 segundos. 𝐹𝑑𝑇 = Análisis de la Respuesta Transitoria 6. Se tiene la siguiente gráfica: En base a la gráfica, determinar: a) Tiempo de establecimiento para un error de estado estacionario del ±5% b) Tiempo de retardo c) Tiempo de levantamiento con criterio del 100% d) Porcentaje de sobreimpulso En base a los datos anteriores, determinar: a) Razón de amortiguamiento b) Frecuencia natural no amortiguada c) Constante de atenuación d) Función de transferencia 7. Considere un sistema mecánico representado por la figura. Cuando se le aplica una fuerza de 1 [N], t>0, tiene una respuesta temporal representada por la gráfica de x(t). a) Calcule los valores de M, k y B. b) Para la misma señal de entrada, determine los valores de M, k y B, de modo de garantizar un régimen final con un tiempo de establecimiento igual al anterior, pero ahora con un sobreimpulso máximo de 0,15%. Análisis de la Respuesta Transitoria 8. Un sistema de control con realimentación unitaria y entrada doble escalón genera un sobreimpulso de un 43% sobre su punto de establecimiento. Si su tiempo de establecimiento es de 2,7 segundos cuando su error es de sólo 4%, determine: a) La función de transferencia del sistema si el punto de establecimiento es de 1,45. b) Respuesta en el tiempo para un tiempo de 1,7 segundos. 9. Se tiene la siguiente respuesta a una entrada doble escalón, el tiempo está en segundos: Utilizando sólo la gráfica determine lo siguiente: a) Porcentaje de sobre impulso b) Tiempo de establecimiento para ess del 5% c) Tiempo de levantamiento con criterio del 10 al 90% d) Expresión en el tiempo e) Función de transferencia 10. Dada las siguientes funciones de transferencias, determine: a) Tipo de respuesta b) Diagrama de ubicación de los polos c) Gráfica de la respuesta en el tiempo 400 s 12s 400 1800 2) FdT 2 s 90s 900 450 3) FdT 2 2s 60s 450 625 4) FdT 2 s 625 1) FdT 2 Análisis de la Respuesta Transitoria 11. a) b) c) d) e) 12. Dado el siguiente diagrama en bloques, determine: Punto de establecimiento Constante de tiempo de la FdT Porcentaje de sobreimpulso Tiempo de levantamiento al 100% Expresión matemática de la respuesta en el tiempo Se tiene la siguiente respuesta a una entrada escalón y medio: Utilizando sólo la gráfica determine lo siguiente: a) b) c) d) e) f) 13. Porcentaje de sobre impulso Tiempo de establecimiento para ess del 5% Tiempo de levantamiento con criterio del 5 al 95% Tiempo de retardo Expresión en el tiempo Función de transferencia Se tiene un sistema mecánico que sostiene a una masa, donde la constante de fricción viscosa vale 1 y la fuerza aplicada es de 1 Kgf. Encuentre la magnitud de la masa y de la constante de elasticidad de forma tal de obtener una respuesta con un 10% de sobreimpulso en un tiempo de 0,8 segundos. Análisis de la Respuesta Transitoria 14. Dado el siguiente diagrama y considerando 𝑅(𝑠) = 1,6 𝑠 , determine: a) Punto de establecimiento b) Expresión matemática de la respuesta en el tiempo c) Evalúe la expresión matemática para un tiempo de 1,2 segundos. 15. Sea el sistema de la Fig. a. La razón de amortiguamiento de este sistema es 0,158 y la frecuencia natural no amortiguada es 3,16 rad/seg. Para mejorar la estabilidad relativa se emplea realimentación taquimétrica (Fig. b). Determine el valor de KH de modo que la relación de amortiguamiento del sistema sea 0,5. Fig. a 16. Fig. b Sea un sistema realimentado, cuya función transferencial es la siguiente: 𝐶(𝑠) 4500 𝐾 = 2 𝑅(𝑠) 𝑠 + 361,2 𝑠 + 4500 𝐾 Si el sistema se excita con una señal escalón unitario. Determine el rango de K para que el sistema tenga una respuesta: a) Sub amortiguada b) Críticamente amortiguada c) Sobre amortiguada 17. Se tiene un sistema con entrada doble escalón. Determine: a) Parámetros del sistema: ωn, ωd, , b) Porcentaje de sobre impulso. c) Tiempo de establecimiento para un error del ±3%. Análisis de la Respuesta Transitoria 18. Se tiene el siguiente sistema: 𝐹𝑑𝑇 = 2𝑠 2 32 + 15𝑠 + 18 Si la entrada del sistema es un escalón unitario, determine la respuesta para un tiempo de 175 milisegundos. 19. Se tiene un sistema de segundo orden al cual se le aplica una entrada de doble escalón entregando la siguiente respuesta. Obtenga la función de transferencia del sistema. C(t) 4 3,4 0,7 20. t (seg.) Se requiere determinar el valor de la ganancia K del sistema. Para tal efecto se excita al sistema con una señal escalón unitario entregando como respuesta la siguiente gráfica: Análisis de la Respuesta Transitoria 21. Dado el siguiente sistema, dibuje de forma aproximada (sin calcular la respuesta a escalón unitario). 7 𝐺 (𝑠 ) = 1 + 5𝑠 22. La gráfica representa la salida de un sistema en respuesta a 1,5 escalón unitario. A partir de ella determine la función de transferencia. Análisis de la Respuesta Transitoria 23. Dibuje la respuesta a doble escalón unitario de la siguiente función de transferencia, además indique y calcule sus valores más significativos (Mp, tr, tp, ts5%). 24. Un proceso de control se representa a través del siguiente lazo de control. Si se le aplica una excitación de 2,3 escalón unitario, el sistema entrega una respuesta con un porcentaje de sobreimpulso de un 3,72% para un valor de asentamiento de 15,8 y un tiempo de establecimiento de 3,42 segundos para un error de estado permanente del 3,5%. Determine los valores del sistema que representa al proceso de control (Q, Z y K). Análisis de la Respuesta Transitoria 25. Se tiene la siguiente respuesta a una entrada doble escalón, el tiempo está en segundos: Utilizando sólo la gráfica determinar lo siguiente: a) Porcentaje de sobreimpulso b) Tiempo de establecimiento para ess del 5% c) Tiempo de levantamiento con criterio del 10 al 90% d) Expresión en el tiempo e) Función de transferencia 26. Se tiene la siguiente respuesta a 2,5 escalón unitario (tiempo en segundos) de una planta. A partir de ella, determine: a) b) c) d) e) Relación de amortiguamiento Constante de atenuación Ganancia de la planta Función de transferencia Tiempo de asentamiento para un error del 7% (solución gráfica) Análisis de la Respuesta Transitoria Respuestas: 1. En base a la gráfica a) 5,72 segundos b) 39,1304 % c) 0,2862 d) 1,2566 En base a datos de la gráfica A = 1,978 B = 0,7506 C = 1,72 2. 𝑅 = 699,251 Ω ≈ 700 Ω 3. 1 0.16𝑠+1 𝐹𝐷𝑇1° 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 0,72 El tiempo en alcanzar los 100° C es de 0,13 segundos 4. a) 𝐹𝐷𝑇 = 2,15 36,6909 𝑠 2 + 0,0888 𝑠+36,6909 b) c(t ) K SP 1 e t cos( d t ) sen ( d t ) Trabajar siempre en radianes. d 0,0888 𝑐(60) = 4,3 (1 − 𝑒 −0,0444 ∗60 (cos(6,0571 ∗ 60) + sen(6,0571 ∗ 60))) 6,0571 𝑐(60) = 4,1 5. c(t ) K SP 1 e t cos( d t ) sen ( d t ) Trabajar siempre en radianes. d 𝑐(1,5) = 3,47 (1 − 𝑒 −1,2521 ∗1,5 (cos(2,4353 ∗ 1,5) + 1,2521 2,4353 sen(2,4353 ∗ 1,5))) Respuesta en el tiempo: 4,06 6. Gráfico a) b) c) d) 3,38 segundos 0,503 segundos 0,838 segundos 36,6 % Datos anteriores: a) 0,3050 b) 2,3562 c) 0,7186 d) 3,72 𝑠 2 +1,437𝑠+5,552 El numerador está multiplicado por Kp Análisis de la Respuesta Transitoria 7. Considerando la FDT del sistema mecánico (es necesario normalizar): 1 𝐹𝐷𝑇 = 2 𝑀𝑠 + 𝐵𝑠 + 𝐾 a) 𝑀 = 2,1746 𝐾 = 33,3333 𝐵 = 10,1621 b) 𝑀 = 0,6393 𝐾 = 33,3333 𝐵 = 8,3132 8. a) 𝐹𝐷𝑇 = 0,725 ( 22,6519 ) 𝑠 2 +2,4692 𝑠+22,6519 b) c(t ) K SP 1 e t cos( d t ) sen ( d t ) Trabajar siempre en radianes. d 𝑐(1,7) = 1,45 (1 − 𝑒 −1,2346 ∗1,7 (cos(4,5965 ∗ 1,7) + 1,2346 sen(4,5965 4,5965 Respuesta en el tiempo: 1,3952 9. a) 33,333% b) 3,57 segundos c) 0,616 segundos d) c(t ) K SP 1 e t cos( d t ) sen ( d t ) d 𝑐(𝑡) = 1,5 (1 − 𝑒 −0,7324 𝑡 (cos(2,0944 𝑡) + e) 0,75 4,923 𝑠 2 +1,465𝑠+4,923 10. Función de Transferencia N°1 a) Sistema subamortiguado b) c) 0,7324 sen(2,0944 2,0944 𝑡))) ∗ 1,7))) Análisis de la Respuesta Transitoria Función de Transferencia N°2 a) Sistema Sobreamortiguado b) c) Función de Transferencia N°3 a) Sistema críticamente amortiguado b) c) Análisis de la Respuesta Transitoria Función de Transferencia N°4 a) Sistema no amortiguado b) c) 11. a) 0,4 b) 0,5715 segundos c) 13,7705 % d) 0,7696 segundos. Sólo para el criterio de 0 a 100% se aplica la fórmula 𝑡𝑟 = e) c(t ) K SP 1 e t cos( d t ) sen ( d t ) d 𝑐(𝑡) = 0,4 (1 − 𝑒 −1,7499 𝑡 (cos(2,7727 𝑡) + 1,7499 sen(2,7727 2,7727 12. a) b) c) d) 40% 1,29 segundos 0,186 segundos 0,143 segundos e) c(t ) K SP 1 e t cos( d t ) sen ( d t ) d 𝑐(𝑡) = 2 (1 − 𝑒 −2,2907 𝑡 (cos(7,8540 𝑡) + f) 1,333 66,93 𝑠 2 +4,581𝑠+66,93 2,2907 7,8540 sen(7,8540 𝑡))) 𝑡))) 𝜋−𝛽 𝜔𝑑 Análisis de la Respuesta Transitoria 13. Considerando: FDT (no normalizada): Ms 2 1 + Bs + K Constante de fricción viscosa: B Fuerza aplicada: K R Masa: M Constante de elasticidad: K M = 0,1737 K = 4,1178 14. a) 5,3333 e s1 t e s2 t n b) c(t ) K SP 1 2 s1 s2 2 1 𝑐(𝑡) = 0,5333 (1 + 𝑒 −20,0568 𝑡 𝑒 −0,6432 𝑡 − )) 0,6432 2√(2,8817)2 − 1 20,0568 3,5917 c) 𝑐 (1,2) = 0,5333 (1 + 3,5917 2√(2,8817)2−1 ( 𝑒 −20,0568 ∗ 1,2 ( 20,0568 − 𝑒 −0,6432 ∗ 1,2 0,6432 )) Considerando: 𝑠1 = (𝜁 + √𝜁 2 − 1) 𝜔𝑛 𝑐(1,2) = 0,2786 15. 𝐾𝐻 = 0,216 16. a) 𝑘 > 7,24808 b) 𝑘 = 7,24808 c) 𝑘 ∈ (0; 7,24808) 17. a) 𝜔𝑛 = 5 𝜔𝑑 = 4,9749 𝜎 = 0,5 𝜁 = 0,1 b) 𝑀𝑝 % = 72,9248 % c) 𝑡𝑠 3% = 7,3333 segundos (interpolando). y 𝑠2 = (𝜁 − √𝜁 2 − 1) 𝜔𝑛 Análisis de la Respuesta Transitoria 18. Considerando: 𝑠1 = (𝜁 + √𝜁 2 − 1) 𝜔𝑛 y 𝑠2 = (𝜁 − √𝜁 2 − 1) 𝜔𝑛 e s1 t e s2 t n c(t ) K SP 1 2 s1 s2 2 1 𝑐(0,175) = 1,7778 (1 + 𝑒 −6 ∗ 0,175 𝑒 −1,5 ∗ 0,175 − )) 6 1,5 2√(1,25)2 − 1 3 ( 𝑐(𝑡) = 0,162 19. 1,7 26,28 𝑠 2 +4,956 𝑠+26,28 20. Este ejercicio contenía un error en el enunciado, la ganancia de entrada debe ser 1 (no 1,5). 𝐾 = 4,6228 21. 5 𝜏=8 7 𝐾𝑆𝑃 = 8 Tabla Tiempo c(t) 0 0 1τ 0,553 2τ 0,757 3τ 0,831 4τ 0,858 5τ 0,869 Análisis de la Respuesta Transitoria 22. 1 4,683 3 𝑠 2 +2,558 𝑠+4,683 23. 𝑀𝑝% = 56,8 % t r = 0,629 segundos (criterio del 0 al 100%) t p = 1,11 segundos t s 5% = 5,85 segundos 24. 6,8696 0,7275 𝑠2 1 1 = 𝐾𝑃 2 + 0,1489 𝑠 + 0,1456 𝑄𝑠 + 𝑍𝑠 + 𝐾 25. a) 33,3333 % b) 3,57 segundos c) 0,616 segundos d) c(t ) K SP 1 e t cos( d t ) sen ( d t ) d 𝑐(𝑡) = 1,5 (1 − 𝑒 −0,7324 𝑡 (cos(2,0944 𝑡) + e) 0,75 4,923 𝑠 2 +1,465𝑠+4,923 26. a) 0,3301 b) 0,7324 c) 0,6 d) 0,6 4,923 𝑠 2 +1,465𝑠+4,923 e) 3,45 segundos 0,7324 2,0944 sen(2,0944 𝑡)))
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