Flujo de un campo a través de una superficie Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL 7 de abril de 2015 definición problema problema X campo de velocidades de un río S una represa (superficie) ¿Cuantos m3 /seg pasan por la represa? definición flujo a través de una superficie flujo a través de una superficie Φ : D ⊂ R2 → R3 parametrización regular X campo vectorial flujo de X a través de Φ(D): ZZ ZZ X .(Φu ∧ Φv ) du dv X dS = Φ D interpretación interpretación X velocidad del fluído m/seg Φu ∧ Φv componente normal a la superficie m2 RR 3 Φ X .Φu ∧ Φv dS m /seg atraviesan la superficie interpretación otra forma de verlo interpretación otra forma de verlo Dij ⊂ D chiquito P = paralelepípedo formado por X , Φu 4u, Φv 4v vol(P) = |(X , Φu 4u, Φv 4v )| cantidad de fluído que pasa por el paralelogramo tangente x unidad de tiempo ejemplo ejemplo 1 ejemplo 1 S = Φ(D) superficie con D = [0, 2π] × [0, π] Φ(θ, φ) = (cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ) RR Calcular Φ rdS con r = (x, y , z) RR Φ rdS = RR D r(Φθ ∧ Φφ )dθdφ cos θ sin φ sin θ sin φ cos φ 0 r(Φθ ∧ Φφ ) = − sin θ sin φ cos θ sin φ cos θ cos φ sin θ cos φ − sin φ r(Φθ ∧ Φφ ) = − sin φ RR Φ rdS =− R 2π R π 0 0 sin φdφdθ = 2π cos φ|π0 = −4π ejemplo ejemplo 1 ejemplo 1 ejemplo ejemplo 1 ejemplo 1 [u,v]=meshgrid(0:.1:2*pi,0:.1:pi); surf(cos(u).*sin(v),sin(u).*sin(v),cos(v), ’facealpha’,.5); colormap(bone(64)); hold on; quiver3(cos(u).*sin(v),sin(u).*sin(v),cos(v), -cos(u).*sin(v).ˆ2, -sin(u).*sin(v).ˆ2,-sin(u).ˆ2.*cos(v).*sin(v)); quiver3(cos(u).*sin(v),sin(u).*sin(v),cos(v), cos(u).*sin(v),sin(u).*sin(v),cos(v),’r’); orientación orientación orientación una orientación de S = Φ(D) es una elección continua de un vector normal n puede apuntar para el mismo lado que Φu ∧ Φv o no orientación observación observación la banda de Moebius no tiene orientación: no es orientable parametrizaciones que preservan orientación parametrizaciones que preservan orientación parametrizaciones que preservan orientación Φ : D → R3 parametrización de S regular orientada Φ preserva orientación si n.(Φu ∧ Φv ) > 0 de lo contrario → Φ revierte orientación parametrizaciones que preservan orientación observación observación Φ(D) superficie regular orientada ⇒ n=± + → preserva orientación - ⇒ revierte orientación Φu ∧ Φv |Φu ∧ Φv | ejemplo ejemplo 2 ejemplo 2 orientamos la esfera unidad: x 2 + y 2 + z2 = 1 con la normal exterior n= r =r r la parametrización del ej 1 preserva o revierte orientación? ejemplo ejemplo 2 ejemplo 2 Φ(theta, φ) = (cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ) n.(Φu ∧Φv ) = r(Φu ∧Φv ) = − sin φ con φ ∈ (0, π) ⇒ Φ revierte orientación ejemplo surfnorm [theta,phi]=meshgrid(0:.1:2*pi,0:.1:pi); surfnorm(cos(theta).*sin(phi),sin(theta).*sin(p cos(phi)); daspect([1 1 1]) ejemplo surfnorm [phi,theta]=meshgrid(0:.1:pi,0:.1:2*pi); surfnorm(cos(theta).*sin(phi),sin(theta).*sin(p cos(phi)); daspect([1 1 1]); ejemplo orientación de gráficas ejemplo 3 - gráficas S dada por z = g(x, y ) orientada por (−gx , −gy , 1) n= q gx2 + gy2 + 1 apunta hacia arriba la parametrización Φ(u, v ) = (u, v , g(u, v )) conserva la orientación ejemplo elemento vectorial de superficie elemento vectorial de superficie Φ parametrización regular elemento vectorial de superficie de Φ dS = (Φu ∧ Φv )dudv ejemplo observación 1 observación 1 no confundir con elemento de área dS = kΦu ∧ Φv kdudv ejemplo observación 2 observación 2 el elemento vectorial de superficie depende de la parametrización ejemplo ejemplo 4 elemento vectorial de superficie de la esfera esfera de radio R: x 2 + y 2 + z 2 = R 2 orientada con normal exterior n = r R orientación que preserva orientación Φ(φ, θ) = (R cos θ sin φ, R sin θ sin φ, R cos φ) dS = (Φφ ∧ Φθ )dφdθ = nR 2 sin φdφdθ flujo y parametrizaciones flujo y parametrizaciones teorema 1 S superficie orientada Φ1 y Φ2 parametrizaciones regulares que preservan orientación X campo vectorial ⇒ ZZ ZZ XdS = Φ1 XdS Φ2 flujo y parametrizaciones flujo y parametrizaciones teorema 2 S superficie orientada Φ1 preserva orientación Φ2 revierte orientación ⇒ ZZ ZZ XdS = − Φ1 XdS Φ2 flujo y parametrizaciones notación notación la notación ZZ XdS S indica RR Φ XdS donde Φ preserva orientación flujo y parametrizaciones relación con integrales escalares teorema 3 ZZ ZZ X ndS XdS = S S flujo y parametrizaciones relación con integrales escalares demostración Φ parametrización que preserva orientación ZZ ZZ XdS XdS = Φ S ZZ = X (Φu ∧ Φv )dudv D ZZ Φu ∧ Φv = X kΦu ∧ Φv kdudv kΦ u ∧ Φv k Z ZD = (X n)kΦu ∧ Φv kdudv Z ZD = X ndS S integrales sobre gráficas integrales sobre gráficas integrales sobre gráficas S dada por z = g(x, y ) ⇒ ZZ ZZ XdS = X (Φx ∧ Φy )dxdy S ZZ D ZZ (−X1 gx − X2 gy + X3 )dxdy XdS = S D integrales sobre gráficas ejemplo 4 ejemplo 4 - integrales sobre gráficas z = 12 D: x 2 + y 2 ≤ 25 r = (x, y , z) RR Calcular S rdS ZZ ZZ (x, y , z)[(1, 0, 0) ∧ (0, 1, 0)]dxdy rdS = S Z ZD (x, y , z).(0, 0, 1)dxdy = Z ZD zdxdy = 12área(D) = 300π = D integrales sobre gráficas resumen integral de función escalar ZZ ZZ f (Φ(u, v ))kΦu ∧ Φv kdudv fdS = S D elemento de área dS = kΦu ∧ Φv kdudv flujo de un campo ZZ ZZ X .(Φu ∧ Φv )dudv XdS = S D elemento vectorial de superficie dS = (Φu ∧ Φv )dudv
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