EJEMPLOS TEOREMA DEL SENO EJEMPLO 5: ENCONTRAR EL VALOR DE LOS LADOS Y ÁNGULOS FALTANTES EN: A=? B= 79° C= 22° a= ? b=? c=8 Ya que tenemos dos ángulos, empezamos encontrando el ángulo faltante A = 180° – 79° – 22° A = 79° Encontraremos ahora el lado “b” aprovechando que tenemos el valor del ángulo B y lo igualamos con “c” del cual tenemos los dos valores. 𝑏 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑏= 𝑏= = 𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑐∗𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑆𝑒𝑛 𝐶 ; Sen B que está dividiendo, pasa a multiplicar ; reemplazamos valores y tenemos: 8∗𝑆𝑒𝑛 79° 𝑆𝑒𝑛 22° b = 20,96 Y puesto que los ángulos A y B tienen igual valor, entonces sus correspondientes lados deben medir igual de donde a = 20,96 EJEMPLO 6: Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Beto hay 25 mts, entre Beto y Camilo, 12 mts. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20°. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo. RTA: El esquema de la situación sería: A= ? a= 12 m B= ? b= ? C= 20° c= 25 m Encontraremos primero el ángulo A ya que tenemos el valor de “a” y utilizaremos a “c” porque tenemos sus dos valores. 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑎 = 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑆𝑒𝑛 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛 𝐴 = “a” que está dividiendo, pasa a multiplicar 𝑐 𝑎∗𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑐 Reemplazamos valores 12𝑚 ∗ 𝑆𝑒𝑛 20° 25𝑚 Sen A = 0,16 ; para encontrar el valor del ángulo hallamos Sen-1 A= Sen-1 0,16 A= 9°12’ ; por comodidad utilizaremos solo grados y minutos Ahora encontraremos el ángulo faltante B= 180° – 20° – 9°12’ B= 150°48’ Con estos datos ya podemos calcular la distancia solicitada: 𝑏 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑏= 𝑏= = 𝑐 ; Sen B que está dividiendo, pasa a multiplicar 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑐∗𝑆𝑒𝑛 𝐵 ; reemplazamos valores y tenemos: 𝑆𝑒𝑛 𝐶 25𝑚∗𝑆𝑒𝑛 150°48′ 𝑆𝑒𝑛 20° b = 35,66 m EJEMPLO 7: ENCONTRAR EL VALOR DE LOS LADOS Y ÁNGULOS FALTANTES EN: A= ? a= ? B= ? b= 12 C= 92° c= 15 Encontraremos primero el ángulo B ya que tenemos el valor de “b” y utilizaremos a “c” porque tenemos sus dos valores. 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑏 = 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑆𝑒𝑛 𝐵 = “b” que está dividiendo, pasa a multiplicar 𝑐 𝑏∗𝑆𝑒𝑛 𝐶 Reemplazamos valores 𝑐 12 ∗ 𝑆𝑒𝑛 92° 𝑆𝑒𝑛 𝐵 = 15 Sen B = 0,79 ; para encontrar el valor del ángulo hallamos Sen-1 B= Sen-1 0,79 B= 52°11’ ; por comodidad utilizaremos solo grados y minutos Ahora encontraremos el ángulo faltante A= 180° – 92° – 52°11’ A= 35°49’ Con estos datos ya podemos calcular la distancia del lado “a”: 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑎= 𝑎= 𝑐 = 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑐∗𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐶 ; Sen A que está dividiendo, pasa a multiplicar ; reemplazamos valores y tenemos: 15∗𝑆𝑒𝑛 35°49′ 𝑆𝑒𝑛 92° a = 8,78 EJEMPLO 8: Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80° con la base. Si el triángulo tiene 30 centímetros de base, calcula la longitud de sus lados. RTA: La representación gráfica es: A = 80° B= 80° C= ? a= ? b=? c = 30 Ya que tenemos dos ángulos, empezamos encontrando el ángulo faltante C = 180° – 80° – 80° C = 20° Encontraremos ahora el lado “b” aprovechando que tenemos el valor del ángulo B y lo igualamos con “c” del cual tenemos los dos valores. 𝑏 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑏= 𝑏= = 𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑐∗𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑆𝑒𝑛 𝐶 ; Sen B que está dividiendo, pasa a multiplicar ; reemplazamos valores y tenemos: 30∗𝑆𝑒𝑛 80° 𝑆𝑒𝑛 20° b = 86,38 Y puesto que los ángulos A y B tienen igual valor, entonces sus correspondientes lados deben medir igual de donde a = 86,38