Series de Laurent

Series de Laurent
En la práctica, los coeficientes de una serie de Laurent
se obtienen por métodos distintos a las expresiones
integrales an y bn dadas anteriormente.
●
Además se puede demostrar que la serie de Laurent (y
de Taylor) son únicas.
También se puede demostrar que:
●
●
una serie de potencias (serie de Taylor) es una función
analítica en el disco de convergencia
Una serie de potencias se puede derivar e integrar
término a término en el interior de su radio de
convergencia
Teoría de los residuos
Teoría de los residuos
Recordemos que:
Singularidades:
●
●
se dice que un punto
es singular si la
función en cuestión no es analítica en ese
punto, pero es analítica en el entorno de
.
Se dice que un punto singular es aislado si
existe un entorno “perforado”
en el que la función f es analítica.
Teoría de los residuos
Supongamos que queremos evaluar la integral
de una función f sobre un contorno cerrado
(positivo) y f es una función analítica, excepto
en el interior del contorno:
Teoría de los residuos
●
Sabemos que en este caso, f tiene una
expansión en serie de Laurent:
Noten que anteriormente habíamos escrito la
serie de Laurent como:
Parte principal de f en z0
Teoría de los residuos
Pero también sabemos que el valor de la
integral no cambia si deformamos el contorno
de integración:
Así, la integral puede calcularse integrando
término a término la serie de Laurent sobre C.
Teoría de los residuos
Sin embargo, el único término que no nulo es
aquel con
, es decir,
(o
).
De modo que:
Vemos que
juega un papel importante.
Teoría de los residuos
Definición:
Si f tiene una singularidad aislada en el punto
entonces el coeficiente de
en la
serie de Laurent de f alrededor de , se le
llama residuo de f en
y se denota como
●
●
●
Teoría de los residuos
Si existe un número finito de singularidades
dentro del contorno de integración, podemos
utilizar el llamado teorema de los residuos:
●
Sea C un camino cerrado simple (positivo). Si
una función es analítica en C y en su interior,
excepto en un número finito de singularidades
interiores a C, entonces
Teoría de los residuos
Clasificación de singularidades y definición de
otros puntos/términos de la series de Laurent y
Taylor:
●
●
●
f(z) tiene una singularidad removible/evitable
en
si
para toda n
f(z) tiene una singularidad esencial en
existen infinitos
no nulos
si
f(z) tiene un polo de orden n en , si el último
coeficiente no nulo de la parte principal es
.
Si el único coeficiente no nulo es
que f(z) tiene un polo simple en
, se dice
Teoría de los residuos
Ejemplo:
Sea
Entonces, f tiene un polo simple en
con residuo 3, es decir,
=3
=2
Teoría de los residuos
Para encontrar los polos y residuos se puede
utilizar el siguiente resultado:
Un punto singular aislado
de una función f
es un polo de orden m si y solo si f se puede
escribir como:
donde
Además,
es analítica y no nula en
Teoría de los residuos
Comentario:
●
Los ceros de una función pueden ser una
fuente de polos
Definición: Se dice que una función analítica en
tiene un cero de orden n en
si y sólo si
y
con
Teoría de los residuos
Resumen (método básico para encontrar los
polos y residuos):
Supongamos que tenemos la serie de Laurent
Notamos que
Además,
es un polo de orden k. Teoría de los residuos
Entonces si multiplicamos f(z) por
tenemos que
Teoría de los residuos
Ahora, supongamos que sabemos el orden k
del polo (por ejemplo usando el método
anterior). Entonces considerando la función
tenemos que
De aquí que derivando k-1 veces:
Teoría de los residuos
O bien, sustituyendo g(z), tenemos
Cuando
reduce a:
es un polo simple, el resultado anterior se
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
●
La teoría de residuos tiene muchas
aplicaciones en matemáticas aplicadas y física
Por ejemplo, está teoría es muy útil para
calculo de varios tipos de integrales reales. Por
mencionar dos ejemplos:
●
integrales de la forma:
●
e integrales impropias
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
●
Integrales impropias
En Cálculo la integral impropia de una función
continua se define como
Cuando los límites existen se dice que la integral
converge
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
O bien,
y cuando los límites existen se dice que la
integral converge.
●
Comentario: los límites pueden existir, pero la
integral impropia no.
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Con este motivo se introduce el valor principal de
Cauchy o simplemente, valor principal (VP):
siempre que los límites existen.
●
Comentarios:
- La existencia del valor principal no asegura que la
integral impropia sea convergente
- Si la integral impropia existe, ésta es igual al valor
principal
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
El procedimiento utilizado en el ejemplo anterior
puede aplicarse a una clase general de
integrandos.
De hecho, el éxito del procedimiento anterior
depende de dos condiciones:
●
●
f sea analítica en el eje real y encima de él,
excepto por un número finito de singularidades
aisladas (en la parte superior del plano complejo).
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Se puede demostrar que si P(z) y Q(z) son dos
polinomios de grado m y n, respectivamente, y
entonces
para
:semicírculo
superior

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