1 Presentación 2 Objetivos General 3 Objetivos Específicos 4

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
MA-1023 Cálculo con Optimización
FACULTAD DE CIENCIAS
I Ciclo 2015
ESC MATEMÁTICA
4 Créditos
DEPT MATEMÁTICA APLICADA
Requisito MA-1001. Correquisito MA-1004
1 Presentación
Este curso es de 5 horas semanales, con un valor de 4 créditos y de modalidad semestral. Puede catalogarse como un segundo curso de cálculo, en el que se exploran las ideas básicas del análisis matemático que se extiende a dos y tres variables
fundamentales en cualquier campo de estudio. Este documento le brinda información general sobre los principales aspectos
del curso que Usted necesita para un desempeño adecuado en él. Es su responsabiblidad leer y estar al tanto de toda la información que aquí se le suministra, así como estár al día con la materia y listas de ejercicios, de igual manera algunos temas
o apartados pueden ser asignados para estudio independiente. Es importante notar que cada crédito equivale a tres horas
semanales de trabajo según la normativa de la Universidad de Costa Rica, lo cual implica que se requiere 12 horas semanales
de trabajo, para mayor información reeranse al enlace: http://www.cu.ucr.ac.cr/normativ/denicion_credito.pdf.
2 Objetivos General
Usar el cálculo integral en una variable como herramienta en la solución de problemas, conocer y aplicar los conceptos
básicos del álgebra lineal y del cálculo diferencial en varias variables.
3 Objetivos Especícos
1. Estudiar las aplicaciones de los polinomios de Taylor, para el cálculo de funciones, desarrollos limitados y límites
indeterminados.
2. Extender la denición de Integral a la noción de integral impropia, de utilidad en diversas aplicaciones econom´a y
cálculo de probabilidades.
3. Aplicar el principio de inducción matemática en la demostración de proposiciones o de una proposición que depende
de un parámetro n que toma una innidad de valores enteros.
4. Estudiar el concepto de sucesión numérica, sucesión creciente, sucesión decreciente, sucesión acotada superiormente,
sucesión acotada inferiormente, serie Numérica y convergencia de sucesiones.
5. Estudiar las series de potencias, intervalo de convergencia, derivación e integración y las series de Taylor.
6. Interpretar y manipular geométricamente funciones de varias variables, sus derivadas parciales y las secciones cónicas.
7. Aplicar correctamente la regla de la cadena generalizada a la derivación de funciones compuestas e implícitas y a
otros problemas.
8. Estudiar diferentes tipos de los extremos de funciones de dos o más variables, sobre conjuntos abiertos, conjuntos
compactos, y sobre restricciones de igualdad o desigualdad.
9. Comprender y aplicar las propiedades básicas del cálculo integral en dos y tres dimensiones, directamente o mediante
una transformación de coordenadas.
4 Contenidos
4.1
Tema 1: Teorema de Taylor
1. Aproximación local de una función elemental mediante un polinomio de Taylor.
2. Expresión de una función elemental mediante la fórmula de Taylor de orden
n
en un vecindario de un punto, con
resto de Lagrange.
3. Uso de polinomios de Taylor para aproximar integrales denidas y soluciones de ecuaciones acotando el error correspondiente.
1
4. Desarrollos limitados y notación o de Landau. Aplicación a límites.
5. Desarrollos generalizados.
4.2
Tema 2: Integrales impropias
1. Deniciones básicas.
2. Criterios de convergencia: Comparación, p-integrales, criterio del límite, equivalencias asintóticas y uso de desarrollos
limitados para analizar convergencia.
4.3
Tema 3: Sucesiones y Series Numéricas
1. Principio de Inducción Matemática y aplicaciones.
2. Sucesiones monótonas y acotadas. Teorema de convergencia monótona.
3. Series numéricas, series geométricas y telescópicas. Criterios de convergencia.
4.4
Tema 4: Series de Potencias
1. Deniciones básicas, término general, radio de converdencia, intervalo de convergencia, derivación e integración
término a término.
2. Cálculo explícito de la función de una serie de potencias.
3. Cálculo de valores de convergencia de series númericas usando series de potencias.
4.5
Tema 5: Cálculo en varias variables
1. Funciones de dos y tres variables. Aspectos generales.
2. Derivadas parciales de una función de dos y tres variables. Derivadas de una función compuesta.
3. Teorema de la función implícita.
4. Teorema de la función inversa.
5. Extremos de funciones de varias variables, hessiana, regla de la cadena.
6. Derivada direccional, derivada direccional máxima.
7. Extremos de funciones sobre regiones abiertas. Criterios para extremos locales de funciones de dos variables.
8. Máximos y mínimos en conjuntos abiertos. Critterio de clasicación: Matriz Hessiana.
9. Máximos y mínimos en conjuntos compactos.
10. Multiplicadores de Lagrange
11. Criterios de clasicación de funciones de con restricciones de igualdad: Hessiano Orlado.
12. Maximización de funciones con restricciones de desigualdad - introducción al método de Kuhn-Tucker.
13. Estudiar el Teorema de la Función Implícita, aplicación, cálculo de derivadas, caso de sistemas implícitos con regla
de Cramer, aplicación a cambios de variables.
14. Estudiar el Teorema de la Función Inversa, aplicaciones, cálculo de inversas, matriz jacobiana y determinante jacobiano de la inversa..
2
4.6
Tema 6: Integrales dobles y triples
1. Deniciones y propiedades básicas de la integral doble sobre regiones rectangulares y otras regiones.
2. Cambio en el orden de integración de una integral doble.
3. Aplicación de integrales dobles al cálculo de áreas y volúmenes.
4. Cambios de variables y Coordenadas polares.
5. Integrales triples, cálculo de volúmenes.
6. Coordenadas cilíndricas y esféricas.
5 Bibliografía
1. Apostol, Tom: Calculus. Segunda Edición, Vol I y II. Editorial Reverté, España, 1982.
2. Piza Volio, Eduardo: Introducción al Análisis Real en una variable. EUCR, 2006.
3. Bartle, R. y Sherbert, D. : Introducción al Análisis matemático. Segunda edición.Editorial Limusa, Méxic, 1979.
4. Demidovich, P.B.: Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Editorial MIR, Moscú, 1977.
5. Demidovich, P.B.: 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial MIR, Moscú, 1985.
6. Piskunov, N.: Cálculo Diferencial e Integral Tomo I y II. Editorial MIR, Moscú, 1978.
7. Stewart, J.: Cálculo Multivariable. Cuarta Edición , Thompson Learning, México DF.
8. J.Marsden y A. Tromba: Cálculo Vectorial. Tercera Edición. Adison Wesley, 1988.
9. Hammond,P., Sydsaeter, K.S.: Matemática para el análisis conómico. Prentice Hall, Madrid (1996).
10. Lang, Serge: Cálculo. Addison-Wesley Iberoamericana, E.U.A. (1990).
6 Calendario de Exámenes
Examen
I Examen Parcial
Reposición I Parcial
II Examen Parcial
Reposición II Parcial
III Examen Parcial
Reposición III Parcial
Ampliación
Fecha
Miércoles, 29 de Abril
Miércoles, 13 Mayo
Miércoles, 10 de Junio
Miércoles, 17 de Junio
Lunes, 6 de Julio
Martes, 7 de Julio
Martes, 14 de Julio
Hora
8 am
8 am
5 pm
8 am
1 pm
1 pm
1 pm
Contenidos a evaluar
Semanas 1 a 6
Semanas 1 a 6
Semanas 7 a 12
Semanas 7 a 12
Semanas 13 a 17
Semanas 13 a 17
Semanas 1 a 17
7 Cronograma de Actividades
Semana 1: Polinomios de Taylor (9-15 Marzo)

Calcular y acotar errores de aproximaciones hechas con polinomios de Taylor.

Aproximar localmente de una función elemental mediante un polinomio de Taylor.

Expresión de una función elemental mediante la fórmula de Taylor de orden
n
en un vecindario de un punto, con
resto de Lagrange.

Aplicar el Teorema de Taylor para aproximar el valor de integrales denidas y resolver ecuaciónes, además de calcular
una cota para el error de la aproximación.
3
Semana 2: Aplicaciones de los Polinomios de Taylor (16-22 Marzo)

Estudiar los desarrollos limitados clásicos y utilizar la notación o de Landau.

Desarrollos generalizados.

Aplicar los desarrollos limitados al cálculo de límites, integrales impropias y series numéricas.
Semana 3: Integrales impropias (23-29 Marzo)

Deniciones básicas y calcular los valores de convergencia de las integrales impropias.

Determinar la convergencia de integrales impropias usando los criterios de convergencia: Comparación, p-integrales,
criterio del límite, equivalencias asintóticas y uso de desarrollos limitados.
Semana 4: (Semana santa, 30 Marzo- 5 Abril)
Semana 5: Integrales impropias (6-12 Abril)

Cálculo de integrales impropias. Estudio de ejemplos: Función Gamma y Función Beta.
Semana 6: Inducción y Sucesiones (13-19 Abril)

Principio de inducción matemática

Utilizar el principio de inducción matemática para probar propociciones sobre números naturales.

Denir el concepto de sucesión númerica, estudiando los diferentes tipos: sucesiones monótonas, acotadas, etc.

Calcular el límite de sucesiones, usar la denición de límite y la denición de sucesión convergente.
Semana 7: Series Numéricas (Semana universitaria, 20-26 Abril)

Denir el concepto de serie numérica, serie convergente y divergente.

Calcular el valor de convergencia de series telescópicas y geométricas.

Determinar la naturaleza de series utilizando diferentes criterios:
condición necesaria, criterio del cociente, raiz
n-ésima, comparación, criterio del límite, etc.

Uso de desarrollos limitados analizar convergencia mediante equivalencia asintótica.

Aplicar la fórmula de Stirling para determinar la convergencia de series numéricas y sucesiones.
Semana 8: Series de Potencias (27 Abril- 3 Mayo)

Deniciones básicas, término general de series de potencia.

Calcular radio e intervalo de convergencia de una serie de potencias.

Integrar y derivar término a término una serie de potencias, determinar su intervalo de convergencia.

Evaluar series de potencias para determinar el valor de convergencia de series numéricas.

Calcular en forma explícita la suma de una serie de potencias.
Semana 9: Funciones en varias variables, derivación parcial (4-10 Mayo)

Deniciones básicas de las funciones de varias variables.

Calcular derivadas parciales de funciones de varias variables.

Derivada de una función compuesta.
4
Semana 10: Derivación de Funciones compuestas (11-17 Mayo)

Aplicar la regla de la cadena en varias variables, transformar expresiones mediante cambios de variables.

Cambios de variables de las funciones de variables.
Semana 11: Teorema Función implícita y Teorema de Función Inversa (18-24 Mayo)

Teorema de la función implícita.

Sistemas de ecuaciones implícitas.

Teorema de la función inversa.
Semana 12: Extremos (25-31 Mayo)

Deniciones básicas.

Determinar los extremos de funciones en varias variables en conjuntos abiertos mediante el criterio de segundo orden.

Determinar los extremos de funciones en varias variables enen conjuntos compactos.
Semana 13: Extremos con restricciones de Igualdad (1-7 Junio)

Determinar la usando multiplicadores de Lagrange, los extremos de funciones de varias variables con restricciones
de igualdad.
Semana 14:Extremos con restricciones de igualdad y desigualdad (8-14 Junio)

Clasicar mediante el uso del método del Hessiano Orlado los extremos de una función en dos o tres variables sujeta
restricciones de igualdad..

Maximización de funciones con restricciones de desigualdad - introducción al método de Kuhn-Tucker.
Semana 15: Integrales múltiples (15-21 Junio)

Deniciones y propiedades básicas de la integral doble sobre regiones rectangulares y otras regiones.

Identicar, clasicar y hacer pinturas básicas secciones cónicas y supercies cuádricas a partir de su ecuación.

Comprender y aplicar las propiedades básicas del cálculo integral en dos y tres variables.
Aplicar el teorema de
Fubini.

Calcular áreas de regiones acotadas por curvas usando integrales dobles.

Aplicación de integrales dobles al cálculo de áreas y volúmenes.
Semana 16: Integrales múltiples (22-28 Junio)

Conceptos básocos de integrales triples.

Calcular el volumen acotado por supercies mediante el uso de integrales triples.

Invertir el orden de integración de integrales dobles y triples.

Utilizar cambio de variables para transformar regiones y calcular la integración sobre estas nuevas regiones
Semana 17: Integrales múltiples (29 Junio- 5 Julio)

Calcular integrales triples usando coordenadas esféricas y cilíndricas.
5
8 Criterios de Evaluación
8.1
Nota de aprovechamiento y desglose de nota.
El curso consta de tres exámenes parciales cada uno con un valor de 30% y una serie de pruebas cortas* cuyo promedio
corresponderá al 10% de la nota de aprovechamiento (NA) que se calcula mediante
N A = (P1 · 0.30 + P2 · 0.30 + P3 · 0.30 + P Q · 0.10)
Pi denota la nota de cada examen parcial
N A ≥ 70, según el artículo 25 del Reglamento
PQ
donde
y
si
de régimen académico (ver la sección 8.4). *Cada profesor denirá su
el promedio de la nota de pruebas cortas. El curso se aprueba
propia dinámica para evaluar las pruebas cortas.
9 Varios
9.1
Asitencia y ausencia Exámenes
1. El estudiante tiene derecho a realizar una prueba de reposición según lo estipulado el Reglamento de Régimen
Académico Estudiantil en su artículo 24 (ver la sección 8.4). Toda reposición debe justicarla haciendo entrega de
la documentación correspondiente al COORDINADOR en las horas de consulta.
2. Las pruebas cortas no se reponen. Se calculará el promedio de pruebas cortas eliminando la nota más baja.
3. Todo estudiante debe presentar identicación válida para tener derecho a realizar los exámenes.
Después de 30
minutos de iniciada una prueba ningún estudiante puede ingresar al aula.
9.2
Grupos de estudio y banco de examenes
La Vicerrectoria de Vida Estudiantil cuenta con los llamados Estudiaderos los cuales son atendidos por asistentes que
evacuarán las dudas que surjan mientras estudia. Para mayor información diríjase al CASE, ubicado en el 2do piso del
Edicio Física-Matemática en el cual también puedan pedir examenes viejos del curso.
9.3
Material y fotocopias
La carta al estudiante, las listas de ejercicios y materiales complementarios estarán disponible en el folder de la cátedra
MA-1023 en la fotocopiadora del comedor estudiantil. Toda la documentación del curso, aulas de exámenes y cualquier
otra información se suministrará a través de la plataforma Clarolaine del curso. Es responsabilidad del los estudiantes
estar pendiente de la información que se suministra en la plataforma.
9.4
Reglamento de Régimen Académico Estudiantil
De acuerdo al Reglamento de Régimen Académico Estudiantil y Orden Y Disciplina de los Estudiantes de Costa Rica:

Artículo 24: Cuando el estudiante se vea imposibilitado, por razones justicadas, para efectuar una evaluación en
la fecha jada, puede presentar una solicutid de reposición a más tardar en cinco dias hábiles a partir del momento
en que se reintegre normales a sus estudios. Esta solicitud debe presentarla ante el profesor que imparte el curso,
adjuntado a la documentación y las razones por las cuales no pudo efectuar la prueba, con el n de que el profesor
determine, en los tres días hábiles posteriores a la presentación de la solicitud, si procede una reposición. (...) Son
justicaciones: la muerte de un pariente hasta de segundo grado, la enfermedad del estudiante u otra situación de
fuerza mayor o caso fortuito.

Artículo 25: La calicación nal del curso se notica a la Ocina de Registro e Información, en la escala de cero a
diez, en enteros y fracciones de media unidad. (...) La calicación nal debe redondearse a la unidad o media unidad
más próxima. En casos intermedios: es decir, cuando los decimales sean exactamente coma veinticinco (,25) o coma
setenta y cinco (,75), deberá redondearse hacia la media unidad o unidad superior más próxima. La calicación nal
de siete (7,0) es la mínima para aprobar un curso.
6
9.5
Coordinación
Prof.
Chia Han Chou Chen
Ocina:
326 Edicio Nuevo de Matemáticas, Ciudad de investigación
Casillero:
120 Escuela de Matemática
Consulta:
Martes y Viernes 13:00-16:00
Correo:
[email protected]
7

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