Integración (Teorema de Cauchy) Teorema de Cauchy Este teorema establece que si f(z) es una función analítica y su derivada f '(z) es continua en cada punto dentro y sobre el contorno cerrado simple C, entonces Teorema de Stokes (Green theorem 2D) ● Teorema de Green (recordatorio). Supongamos que tenemos un vector bidimensional V con componentes V1(x,y) y V2(x,y) continuas y con derivadas parciales también continuas en un dominio simplemente conexo. Entonces la integral de línea de V sobre un contorno cerrado C satisface: ● Donde R es el área formada por el interior de C Integración (Teorema de Cauchy) Teorema de Cauchy-Goursat La condición sobre la continuidad f '(z) puede omitirse como lo demostró Goursat: ● Si f es función analítica en un dominio simplemente conexo D y C cualquier contorno cerrado en D, entonces ● ● Notemos que se ha quitado también la condición de que el contorno C sea simplemente cerrado. N: Número (finito) de contornos cerrados el dominio D en ● Corolario: Toda función analítica en un dominio simplemente conexo tiene una primitiva, con integrales de contorno independientes del camino e integrales sobre contornos cerrados iguales a cero. ● Teorema (extensión a dominios no conexos). Supongamos que C es un camino cerrado simple con orientación positiva y Ck (k=1,2,...n) caminos cerrados simples dentro de C y orientados positivamente y disjuntos. Entonces C C2 C1 ● Corolario Sea C1 y C2 caminos cerrados simples orientados positivamente, donde C2 es interior a C1 . Si f es analítica en la región encerrada por los dos contornos, entonces C 1 C2 A este corolario se le conoce también como principio de deformación ● Teorema de Morera (recíproco del T. de Cauchy-Goursat) Sea f continua en un dominio D. Si para todo camino cerrado C contenido en D, entonces f es analítica. ● Fórmula integral de Cauchy. Sea f una función analítica en un dominio simplemente conexo D y en el contorno cerrado simple C, que contiene a D. Entonces, si z0 es un punto dentro de C, se tiene que ● Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno puede conocer el valor de f dentro del entorno, conociendo únicamente los valores que toma f en el contorno C !