x 例１：重力による位置エネルギーの場合（p62） 問題①：質量 m の物体の U-x 図と F-x 図を書け。ただし、位置 x は上向きを正とする。 U(x) = mgx F U m F(x) = －mg x O x O 問題②：位置エネルギー U(x) より重力 F(x) を求めよ。 また、重力 F(x) より 位置エネルギー U(x) を求めよ。 ただし、位置エネルギーの基準点は原点Oとする。 保存力 F(x)は、位置エネルギー U(x) の傾きに－をつけたもの 別の言い方をすると 位置エネルギーの 低い ↓ dU 方に向って力が働き、その力の大きさは位置エネルギーの傾き に比例する。 dx 1 m あたりのU の変化量 例２：ばねの弾力による位置エネルギーの場合（p64） 問題①：ばねにつながれた物体Ａの U-x 図と F-x 図を書け F(x) = －kx x U F x O 問題②：位置エネルギー U(x) より、ばねの弾力 F(x) を求めよ。 また、ばねの弾力 F(x) より 位置エネルギー U(x) を求めよ。 ただし、位置エネルギーの基準点は原点Oとする。 第１２回 （６／１０） １ページ x 万有引力の法則（復習） ２物体の間に働く万有引力の大きさ F は、 ２物体の質量 m1 と m2 の積 m1m2 に比例し、２物体の距離 r の２乗に反比例する。 m1 F=G F1 r 2 m1m2 r2 G（重力定数）= 6.672×10－11 [m3／kg・s2] m2 F2 F1 1 2 と F2 1 は大きさが同じで互いに逆向きになっており作用・反作用の関係にある 無限遠（基準点） F=0 W は一定の値に 万有引力による位置エネルギー（p64） この図は ds が大きすぎ。 実際は ds は r に比べ十分に小さい dr 質量 m2 の質点に作用する万有引力（ベクトル表現） ≒θ r ds F(r) = －G = ds cosθ m1m2 r r2 r － r r （ベクトル表示） ：万有引力の向きの 単位ベクトル （大きさが１のベクトル） r・ds = r ds cosθ = r dr r×（ds のうち r の方向の変位 = dr ） 質量 m1 の物体を固定した状態で、質量 m2 の物体をゆっくりと引き離し、距離を無限大にする場合、 万有引力のする仕事は Wr ∞ ∞ r r ∞ = ∫ F・ds = ∫ －G ∞ m m m1m2 r m1m2 1 2 ・ds = － G dr = G ∫ 2 2 r r r r r ∞ |r = －G m1rm2 上記の式は、経路によらず成り立つので、万有引力も保存力である。 万有引力の位置エネルギーの基準点を２物体の距離が無限大の場合とすると 万有引力の位置エネルギーは U万有(r) = Wr ∞= －G m1m2 r r = 0 を基準点にとると発散 Fも∞ また、実際には、 大きさがあるので r = 0 にはできない。 （位置エネルギーとは、基準点に戻るときに、保存力がする仕事） その分、外部に仕事をすることができる 第１２回 （６／１０） ２ページ 質量 m1 の物体と質量 m2 の物体が x 軸上にあり（１次元問題） 、 質量 m1 の物体は原点に固定されている。質量 m2 の物体の位置を x としたとき、 万有引力による位置エネルギー U(x) は右下の式のようになる。 m1 m2 U(x) = －G x x O m1m2 x 問題：質量 m2 の物体に作用する万有引力の向きと大きさを位置エネルギーより求めよ。 向きは上の図に矢印で書き込めよ。 p64 参考： F(x) = － dU を３次元に拡張 dx ある保存力 F(r) による位置エネルギーが U(r) であるとき Fx = － ∂U ∂x 偏微分 , Fy = － ∂U , ∂y Fz = － ∂U ∂z ∂U ： y と z を一定に保って x で微分（その場所でのx 方向の傾き） ∂x ∂U U( x+∆x, y, z )－U( x, y, z ) = lim ∂x ∆x 0 ∆x グラディエントというベクトルの微分演算子 ∇= ( ∂ ∂ ∂ , , ) を使うと ∂x ∂y ∂z F(r) = －∇U(r) = －( ∂U , ∂U , ∂U ) ∂x ∂z ∂y スカラーである位置エネルギー U より ベクトルである保存力 F が求められる 問題：鉛直上向きを z軸のプラスの向きとすると、重力による位置エネルギーは U = mgz である（基準点 は原点）。このとき Fx, Fy, Fz を求めよ。 F(r) = ( , , ) = - ( 0 , 0 , mg ) = ( 0 , 0 , -mg ) ２次元、３次元に拡張しても、保存力 F は、位置エネルギー U の傾きに－をつけたもの 位置エネルギーの低い方に向って力が働き、その力の大きさは位置エネルギーの傾きに比例する。 ∇U は位置エネルギーU の３次元の傾きを表す。gradient というのは、勾配、傾斜、傾きの意 第１２回 （６／１０） ３ページ
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