Poster - 梅本悠莉子

Banach-Tarski paradox とその一般化
梅本悠莉子
大阪市立大学大学院理学研究科Ｍ 1
1
4
G-分割合同
Banach-Tarski paradox
定義 1. (G-空間)
定理 1. A, B ⊂ R3 : 任意の閉球体 =⇒ A ≈E(3) B.
空でない集合 X に群 G が作用するとき，X を G-空間という. 特に G の任意の元
( 証明 ) A ⊂ ∪m
i=1 gi B
E(3)
が X に固定点を持たないとき, G は X に自由に作用するという.
同様に，B
E(3)
E(3)
A より A
m
i=1 hi B
B, B
E(3)
E(3)
B より A
E(3)
B.
A =⇒ A ≈E(3) B.
系 4. (Banach-Tarski paradox)
A, B ⊂ R3 : 内点を持つ任意の有界集合 =⇒ A ≈E(3) B.
定義 2. (A ≈G B)
G-空間 X の空でない２つの部分集合 A, B が
G-分割合同（A ≈G B ）である
def.
⇐⇒ A = ∃ ni=1 Ai , B = ∃ ni=1 Bi
∃
gi ∈ G (i = 1, 2, . . . , n), s.t. Ai = gi Bi .
補題 1. S 3 を３次元単位球面，N := (0, 0, 0, 1), S := (0, 0, 0, −1) ∈ R4 とする．こ
定義 3. (A
のとき S 3 − {N, S} は SO(4)-逆説的．
B)
G-空間 X の空でない２つの部分集合 A, B に対し,
G
A が B の部分集合と G-分割合同であるとき A
命題 1. （Bernstein）A
G
B ,B
G
S n は SO(n + 1)-逆説的
5
（証明） S 2 は SO(3)-逆説的より
G
B と書くことにする.
∃
A1
···
Am
2
B1
∪m
i=1 gi Ai
···
Bn ⊂ S 2 ,
∪nj=1 hj Bj .
3
∃
s.t. S =
=
:= {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ S − {N, S} | √
A =⇒ A ≈G B.
A∗i
Bj∗
1
(x1 , x2 , x3 )
x21 +x22 +x23
1
√ 2 2 2 (x1 , x2 , x3 )
x1 +x2 +x3
G-空間 X の空でない部分集合 E は G-逆説的
def.
⇐⇒ ∃ B ∃ C ⊂ E s.t. B ≈G E, C ≈G E.
:= {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ S − {N, S} |



0





gi
0 
hj
∗
∗


gi := 
, hj := 


0 


0 0 0 1
0 0
3
m
∗ ∗
n
∗ ∗
S − {N, S} = ∪i=1 gi Ai = ∪j=1 hj Bj
例 1. ２元生成自由群 F2 は F2 -逆説的.
補題 2. S 3 ≈SO(4) S 3 − {N, S}.
2
g1 , · · · , gm , h1 , · · · , hn ∈ SO(3)
G-逆説的
定義 4. (G-逆説的)
3
0
0
0
0

∈ Ai }
∈ Bj }


 とすると，


1
（証明）原点中心，半径 1 の x3 x4 平面上の無理数 θ 回転 g ∈ SO(4) に対し，A :=
命題 2. X は G-空間とする.
n
∪∞
n=0 g ({N, S}) として命題４および命題６のように考えればよい.）
系 5. S 3 は SO(4)-逆説的．
1. X の空でない２つの部分集合 A, B に対し,
A ≈G B かつ A は G-逆説的 =⇒ B も G-逆説的.
すると補題１の証明と同様にして今度は S 4 − {N, S} は SO(5)-逆説的で，補題２
の証明と同様にして S 4 ≈SO(5) S 4 − {N, S} より S 4 は SO(5)-逆説的となり，この
2. G の部分群 H に対し,
ようにして帰納的に次のことが言える．
X は H-逆説的 =⇒ X は G-逆説的.
3. G は G-逆説的かつ X に自由に作用する =⇒ X も G-逆説的.
系 6. 任意の n
2 に対し S n は SO(n + 1)-逆説的．
2 に対し S n で球面距離を考えると Banach-Tarski の定理が成
立する．S は SO(2)-逆説的ではないし，Banach-Tarski の定理も成立しない．
注意 1. 任意の n
1
3
Banach-Tarski paradox への準備
命題 3. SO(3) は F2 と同型な部分群を含む．具体的には次の行列 A, B で生成され
る部分群 H は F2 と同型．
√
 1
−232
3
 √
1
A =  232
3
0
0
0



0 ,
1
1

B= 0
0
0
1
3
√
2 2
3
0
√

−232  .
1
3
系 1. H − {e} の元 g による回転軸を
g
とし，D :=
系 7. 任意の閉球体 B n ⊂ Rn は E(n)-逆説的．
g∈H−{e} ( g
∩ S 2 ) とすると，
命題 4. S 2 ≈SO(3) S 2 − D
（証明）相異なる m, n
ので，A :=
n
∪∞
n=0 g (D)
3 に対し B n ⊂ Rn : 原点 0 中心の閉球体 =⇒ B n − {0} は
SO(n)-逆説的，よって特に Euclid 等長変換群 E(n) に関して E(n)-逆説的．
補題 3. 任意の n
補題 4. B n ≈E(n) B n − {0}.
S 2 − D は SO(3)-逆説的．
（証明）H は S 2 − D に自由に作用するので．
0 に対し g (D) ∩g (D) = φ となる g ∈ SO(3) が存在する
とすると，S 2 = (S 2 −A) A かつ S 2 −D = (S 2 −A) g(A).
m
n
系 2. S 2 は SO(3)-逆説的．
以上から Banach-Tarski paradox の一般化が言える．
定理 2. （Rn (n
3) における Banach-Tarski paradox ）
A, B ⊂ Rn : 任意の閉球体 =⇒ A ≈E(n) B.
系 8. A, B ⊂ Rn : 内点を持つ任意の有界集合 =⇒ A ≈E(n) B.
注意 2. Euclid 平面 R2 では Banach-Tarski の定理は成立しない．
7
命題 5. K ⊂ R : 原点 0 中心の閉球体
=⇒ K − {0} は SO(3)-逆説的，よって特
に Euclid 等長変換群 E(3) に関して E(3)-逆説的．
3
（証明）A ⊂ S 2 に対し，A := {ta | 0 < t
Rn における Banach-Tarski paradox
さらに命題５，命題６，系３と同様にして

よって特に H は H-逆説的である．
∪
6
1, a ∈ A} ⊂ K − {0} を考えればよい．
命題 6. K ≈E(3) K − {0}
（証明）簡単のため K : 単位球面，(1/3, 0, 0) ∈ R3 中心で半径 1/3 の xy 平面上の
Hn における Banach-Tarski paradox
n-次元球体 B n に双曲計量を入れた空間を双曲空間といい Hn で表す．その向きを
保つ等長変換群を Iso(Hn ) とすると，原点 0 の固定部分群は SO(n) となり，Rn と
E(n) の場合と同様に、Hn と Iso(Hn ) に関して Banach-Tarski の定理が成立する．
注意 3. 双曲平面 H2 でも Banach-Tarski の定理は成立する．
n
無理数 θ 回転 g ∈ E(3) に対し，A := ∪∞
n=0 g ({0}) として命題４のように考えれば
8
よい．
系 3. 任意の閉球体 K ⊂ R3
は E(3)-逆説的．
参考文献
1. 砂田利一，新版バナッハ・タルスキーのパラドックス，岩波書店，2009.
2. Stan Wagon, The Banach-Tarski Paradox, Cambridge University Press, 1985.
3. Jan Mycielski, The Banach-Tarski paradox for the hyperbolic plane, Fundamenta Mathrmaticae 132(1989) p143-149.

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