DL - 電気通信大学

前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
情報通信と符号化
韓承鎬
電気通信大学
第三回目
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前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
信号の時間領域表現と周波数領域表現
三角関数基底
複素指数基底とフーリエ変換
三角関数基底と複素指数基底の比較
時間領域表現と周波数領域表現
時間領域表現
x
周波数領域表現
x(t)
フーリエ変換
X(f )
逆フーリエ変換
t
f
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前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
信号の時間領域表現と周波数領域表現
三角関数基底
複素指数基底とフーリエ変換
三角関数基底と複素指数基底の比較
周期信号の三角関数基底
周期 T の信号 x(t) に対して，角周波数：ω0 = 2πf =
▶
基底成分：{1, cos nω0 t, sin nω0 t}∞
n=0
▶
三角関数基底による表現
2π
T
x(t) = a0 + a1 cos ω0 t + b1 sin ω0 t + a2 cos 2ω0 t + b2 cos 2ω0 t
+ · · · + an cos nω0 t + bn sin nω0 t + · · ·
∞
∑
[an cos nω0 t + bn sin nω0 t]
= a0 +
n=1
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信号の時間領域表現と周波数領域表現
三角関数基底
複素指数基底とフーリエ変換
三角関数基底と複素指数基底の比較
前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
各成分係数の求め方
▶
直流成分
a0 =
▶
∫
T
2
x(t)dt
− T2
余弦波振幅
2
an =
T
▶
1
T
∫
T
2
− T2
x(t) cos nω0 tdt; n ∈ Z+
正弦波振幅
2
bn =
T
∫
T
2
− T2
x(t) sin nω0 tdt; n ∈ Z+
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前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
信号の時間領域表現と周波数領域表現
三角関数基底
複素指数基底とフーリエ変換
三角関数基底と複素指数基底の比較
同じ周波数の統合
x(t) = a0 + a1 cos ω0 t + b1 sin ω0 t + a2 cos 2ω0 t + b2 cos 2ω0 t
+ · · · + an cos nω0 t + bn sin nω0 t + · · ·
∞
∑
= a0 +
[an cos nω0 t + bn sin nω0 t]
n=1
= a0 +
∞
∑
cn cos(nω0 t + ϕn )
n=1
ここで、
√
an2 + bn2
(
)
bn
= arctan −
an
cn =
ϕn
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信号の時間領域表現と周波数領域表現
三角関数基底
複素指数基底とフーリエ変換
三角関数基底と複素指数基底の比較
前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
複素指数基底
▶
基底成分：{exp{jω0 t}}∞
n=−∞
▶
三角関数基底による表現
∞
∑
x(t) =
yn e jnω0 t
−∞
▶
係数の求め方
yn =
1
T
∫
T
2
x(t)e −jnω0 t dt
− T2
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方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
信号の時間領域表現と周波数領域表現
三角関数基底
複素指数基底とフーリエ変換
三角関数基底と複素指数基底の比較
振幅スペクトル
横軸に ω0 の整数倍をならべ，縦軸に振幅の値 |yn | を示す
|yn |
···
−3ω0
−ω0 0
ω0
3ω0 · · ·
ω
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信号の時間領域表現と周波数領域表現
三角関数基底
複素指数基底とフーリエ変換
三角関数基底と複素指数基底の比較
前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
位相スペクトル
横軸に ω0 の整数倍をならべ，縦軸に振幅の値 arg(yn ) を示す
arg(yn )
π
···
−5ω0 −3ω0
0
3ω0
5ω0 · · · ω
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方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
信号の時間領域表現と周波数領域表現
三角関数基底
複素指数基底とフーリエ変換
三角関数基底と複素指数基底の比較
三角関数基底と複素指数基底の比較
周期信号 x(t) を
x(t) = a0 +
=
∞
∑
∞
∑
[an cos nω0 t + bn sin nω0 t]
n=1
yn e jnω0 t
−∞
と表した場合

 y0 = a0
y−n = 12 (an + jbn )

yn = 12 (an − jbn )
が成り立つ。
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信号の時間領域表現と周波数領域表現
三角関数基底
複素指数基底とフーリエ変換
三角関数基底と複素指数基底の比較
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方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
複素指数基底の幾何表現
y−n
ℜ
ℑ
an /2
bn /2
an /2
−nω0
0
nω0
ω
yn
−bn /2
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方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
周期方形波のスペクトル
非周期信号の周波数成分
周期方形波の時間領域表現
1
τ
−T
周期 − T2 ≤ t <
T
2
−
で、
x(t) =
0 τ
2
τ
2
{
|t| ≤
0; |t| >
1
τ;
T
t
τ
2
τ
2
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方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
周期方形波のスペクトル
非周期信号の周波数成分
直流成分
y0 =
=
=
1
T
∫
1
Tτ
1
T
T
2
x(t)dt
− T2
∫
τ
2
dt
− τ2
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方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
周期方形波のスペクトル
非周期信号の周波数成分
n 次高調波成分
yn =
=
=
ω0 =
2π
T
1
T
∫
1
Tτ
1
Tτ
T
2
x(t)e −jnω0 t dt
− T2
∫
τ
2
e −jnω0 t dt
− τ2
[
なので
=
=
sin nω0 t
cos nω0 t
+j
nω0
nω0
]τ
2
− τ2
(
)
1 sin nπτ
T
nπτ
T
T
(
nπτ )
1
Sa
T
T
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方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
周期方形波のスペクトル
非周期信号の周波数成分
周期方形波の複素指数基底表現
∞
∑
x(t) =
=
yn e jnω0 t
n=−∞
∞
∑
1
T
n=−∞
Sa
( nπτ )
T
e jnω0 t
つまり、
1
T
1 ( nπτ )
= yn = Sa
T
T
y0 =
y−n
となる．
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方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
周期方形波のスペクトル
非周期信号の周波数成分
Sinc 関数 Sa(x) の性質
1
▶
Sa(0) = 1
▶
Sa(nπ) = 0,
n = ±1, ±2 · · ·
▶
Sa(x) > 0,
x ∈ (m2π m2π + 1)
▶
Sa(x) < 0, x ∈
(m2π + 1 (m + 1)2π)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−4pi
−3pi
−2pi
−pi
0
pi
2pi
3pi
4pi
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方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
周期方形波のスペクトル
非周期信号の周波数成分
周期方形波信号のスペクトル
1
τ
−T
−
τ
2
0 τ
2
T
t
▶
K ↗ ⇒ スペクトルの間隔
が狭くなる
▶
K ↗ ⇒|yn | ↘
( )
包絡線は Sa nπ
K に従って
変化
▶
1
▶
(nπ (n + 1)π] の中に K 本，
ω = 2nπ
τ で0
▶
5π
ω ≈ 0, 3π
τ , τ , · · · の時極値
を持つ
▶
主なエネルギーは第一零点
内に集中 (Bω = 2π
τ ）
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−4pi
−3pi
−2pi
−pi
0
pi
2pi
T = K τ とおくと
3pi
4pi
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方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
周期方形波のスペクトル
非周期信号の周波数成分
非周期信号のフーリエ変換
x(t) が非周期信号の場合、複素指数基底係数を
1
T
yn =
∫
T
2
x(t)e −jnω0 t dt
− T2
で求めると、yn → 0 となる。
そのために，
∫
T yn =
T
2
x(t)e −jnω0 t dt
− T2
とする。
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前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
周期方形波のスペクトル
非周期信号の周波数成分
T → ∞ ⇒ ω0 → 0 なので
2πyn
F (ω) := lim
= lim Tyn =
ω0 →0 ω0
T →∞
∫
∞
x(t)e −jωt dt
−∞
と定義し、スペクトル密度と呼ぶ．
∫ ∞
F (ω) :=
x(t)e −jωt dt
−∞
∫ ∞
1
x(t) =
F (ω)e jωt dω
2π −∞
はフーリエ変換及び逆フーリエ変換と呼ばれる．
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前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
周期方形波のスペクトル
非周期信号の周波数成分
非周期方形波の周波数成分
∫
F (ω) =
∞
∫−∞
∞
=
−∞
=
1
τ
∫
x(t)e −jωt dt
x(t)e −jωt dt
τ
2
e −jωt dt
− τ2
[
sin ωt
cos ωt
+j
=
ω
ω
( ωτ )
= Sa
2
1
τ
]τ
2
− τ2
となり，ω = ± n2π
τ , n = 1, 2, · · · の時に 0 となる．
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前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
非周期連続信号
変換対
∫
X (f ) =
∞
∫−∞
∞
x(t) =
x(t)e −j2πft dt
X (f )e j2πft df
−∞
X(f )
x(t)
1
τ
Sa (πf τ )
−
τ
2
0
τ
2
t
···
−
2
1
0
−
τ
τ
1
τ
2
τ
···
f
非周期信号 ⇒ 連続信号
連続信号 ⇐ 非周期信号
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前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
周期時間信号
変換対
ω0 = 2πf0 , yn を X (nf0 ) で記すると、
X (kf0 ) =
x(t)
∫
1
T
T
2
x(t)e −j2πnf0 t dt
− T2
∞
∑
=
X (nf0 )e j2πnf0 t
n=−∞
x(t)
1
τ
f0 =
−T
−
τ
2
0
τ
2
T
0
t
周期信号 ⇒ 間隔 f0 =
1
T
f
1
T
の離散信号
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前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
離散時間信号
変換対
x(t) の信号標本を x(nTs ) とすると、
∞
∑
X (f ) =
x(nTs )e −j2πnfTs
n=−∞
∫
x(nTs ) = Ts
1
Ts
X (f )e j2πnfTs df
0
x(nTs )
Ts
0
t
fs =
離散時間 Ts の信号 ⇒ 周期 fs =
1
Ts
1
Ts
の信号
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前回の復習
方形波のスペクトル
信号の周期性と離散特性
周期離散時間信号
変換対
N=
T
Ts
=
fs
f0
となり
N−1
∑
X (kf0 ) =
x(nTs )e −j
2πkn
N
n=0
N−1
2πkn
1 ∑
X (kf0 )e j N
N
x(nTs ) =
k=0
x(nTs )
1
τ
Ts
f0 =
−
−T
τ
2
0
τ
2
1
T
t
T
fs =
1
Ts
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