基礎数学演習 1 (第 3 回) 2015 年 4 月 30 日 ※ [再掲] 過去の演習問題の解答は下記 URL へアップロードする予定. URL http://www29.atpages.jp/mathtmp/kisosuu/ A. 指数法則を使うと (1) √ 2, √ 3 4, √ 2× √ 3 1 はこんなふうに計算できるのだった. 2 4× √ 6 1 √ をそれぞれ 2k の形で表せ. 6 2 (2) ax × ay = ax+y なのだった. これを踏まえて (3) 同じように √ 27 × √ 4 4÷ √ √ 2× √ 3 1 を計算せよ. 2 4× √ 6 6 を計算せよ. (Hint. 6 = 2 · 3) B. log 2 = 0.69, log 5 = 1.61 とする. 必要ならばこれを使って次の問いに答えよ. (1) 対数の性質を利用して, log 10, log 250, log 5 の値をそれぞれ求めよ. 2 (2) 516 と 237 はどちらのほうが大きいだろう? 代わりに log(516 ) や log(237 ) を計算することによって大小関係を調べよ. (3)∗ log10 2, log10 5 の値をそれぞれ求めよ. (Hint. 底の変換. 精度不足のせいで…) 3. 以下の計算式はどれも正しくない. それぞれ正しい値 (or 式) を答えよ. ( (2) 6 + ? (1) 20 = 0 1 4 ) 12 ? 1 = 62 + ( 1 ) 12 4 ? (3) log α5 β 2 = (log α)5 + (log β)2 ? (4) (ex + e−x )(ey − e−y ) = ex+y − e−x−y 4. 次の値を求めよ. ただし, 答えは分母を有理化すること. √ √ 3 √ 9 − 31 − 32 3 −5 12 (1) 27 (2) 8 (3) 2 · 16 · (2 ) (4) √ ÷ 6 6 3 1 − 12 1 (5) A = 3 2 − 2 2 , B = 6 のときの A2 − 3B の値 (6)∗ C = 2 3 − 2− 3 のときの 2C 3 + 6C, 1 1 3 1 − C 2 の値 (Hint. 答えは整数になる) 2 C 5. 次の方程式を解け (t = 3x とおく場合は t > 0 であることに注意).   3x+2y = 1 x x+1 x −x ∗ (1) 9 +2·3 −7 = 0 (2) 18·3 +7−3 = 0 (3)  3x+y + 3y+1 = 4 6. 指数法則をうまく使えば微分の公式 (xa )′ = axa−1 だけでも色々計算できる. 次の関数の導関数 y ′ , y ′′ を求めよ. (答えに含まれる x 2 などは指数のまま残してよい) 3 √ (1) y = x2 x (Hint. 指数で表す) (3) y = 7. s(x) = x2 − 2x + 1 √ x (2) y = x3 − 1 x (Hint. 2 つに分けよ) (Hint. 3 つに分けよ) ex − e−x ex + e−x , c(x) = という 2 種類の関数を考える. 2 2 (1) s(0), c(0) をそれぞれ求めよ. (2) 2s(x)c(x) = s(2x) が成り立つことを示せ. (Hint. 左辺を展開すると右辺になる) (3) 同様に, s(x)2 + c(x)2 = が成り立つ. 左辺を展開して整理することによりに当てはまる式を求めよ. (Hint. 1 ではない) ※上で出てきた関数 s(x), c(x) を双曲線関数といい, それぞれ sinh x, cosh x で表す. 8∗ . 問題 7 の 2 つの関数は三角関数によく似ているけれど微妙に違うそっくりさんだった. では, “本物” を作ってみよう. s(x) = eix − e−ix , 2i c(x) = eix + e−ix 2 とおく (i は虚数単位). (1) s(x)2 + c(x)2 を計算せよ. (2) s(x)c(y) − c(x)s(y) を計算せよ. (3) s(x)′ = c(x), c(x)′ = −s(x) になることを確認せよ.