保険・年金論（第3回）リスクプーリング

保険研究特論（保険数理）
アクチュアリー数学（第５回）
生命年金と生命保険モデル
早稲田大学大学院商学研究科
２０１５年５月１５日
大塚忠義
1
講義資料
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から各自事前にダウンロードしてください
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Agenda
第５回生命年金と生命保険モデル
• 生命年金
• 分割年金
• 生命保険の種類
• 生命保険モデル
3
生命年金(1)
・生命年金：
年金支払開始時にx 歳の人が生存するこ
とを条件に
一定の期間（終身または年金支払期間
（ｎ））中
一定の間隔（等間隔で年、月、日）をおい
て継続的に支払われる一連の金額
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年金(2)記号の定義
ax : 期始払終身年金現価
ax : 期末払終身年金現価
ax:n : n年期始払有期年金現価
ax:n : n年期末払有期年金現価
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年金(3)
ax  1  vpx    v n1 n 1 px    v  x 1   x 1 px 
ax  vpx    v
n 1
n 1
ax:n  1  vpx    v
px    v
n 1
  x 1
  x 1
px 
  x 1

v t t px
t 0
  x 1
v
t 1
t
t
px
n 1
n 1
px   v t px
t
t 0
n
ax  vpx    v n n px   vt t px
t 1
6
基数(1)
Dx  v lx
x
Nx 
Sx 
  x 1

t 0
Dx t
  x 1

t 0
N x t
Dx  n
v n px 
Dx
n
7
年金(4)
ax 
  x 1

Nx
v t px 
Dx
t
t 0
N x  N xn
  v t px 
Dx
t 0
n 1
ax:n
( Iax ) 
t
  x 1

t 0
Sx
(t  1)v t px 
Dx
t
S x  S x  n  nN x  n
( Iax:n )   (t  1)v t px 
Dx
t 0
n 1
t
8
年金(5)
f
f
ax : f 年据置始払終身確定年金現価
ax 
  x 1
v
t 0
f t
f t
px 
N x f
Dx
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年金(6)
保証期間付終身年金：最初の何年間（保
証期間g）は生死にかかわりなく年金を支
給し、それ以後は生存する限り年金を支
払う
ag  g ax
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年k回分割生命年金(1)
根本的な矛盾
期間１年未満の死亡率
⇔x歳の死亡率とは、x歳の誕生日からｘ+１
歳の誕生日の前日までに死亡する割合
実務での必要性：保険料月払
月払、週払保険料は比較的新しい概念
かつ営業上の理由
1848年プルデンシャル生命(UK)、1916年
簡易保険：労働者階級の加入促進
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年k回分割生命年金(1)
事実：人は一様に生まれ、冬に多く死ぬ
仮定１：死亡は誕生日からの１年間に一様
に発生する
0  t 1
lx t  lx  td x  (1  t )lx  tl x 1
t
qx  tqx
死亡者数を線形補間
簡易な計算式で示すことができる
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年k回分割生命年金(2)
仮定2：死力は１年間一定である
 x t   x
t
t
px  exp(  
lx t  lx e
0
  xt
xs
ds )  e
1t
 (lx ) (lx 1 )
  xt
 ( px )
t
t
死亡者数を対数線形補間
仮定１よりは、論理的かな？
連続空間上で定義可能
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年k回分割生命年金(3)
ax:n
(k )
1
 (1  v
k
1
k
1
k
px    v
n
1
k
nk 1
1
v

1 px ) 
n
k t 0
k
t
k
t
k
px
ax ( k )  ax ax:1 ( k )
ax
(k )
ax:n
(k )
k 1
ax 
2k
k 1
n
ax:n 
(1  v n px )
2k
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連続年金(1)
連続年金：年ｋ回分割年金の極限の場合
k 
ax:n  lim ax:n
k 
(k )
 lim ax:n
k 
(k )
n
  v t px dt
t
0
1
n
ax:n  ax:n  (1  v n px )
2
1
ax  ax 
2
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連続年金(2)
n
ax:n   v t px dt
t
0
t
v e
t
 t

0
e
  ds
t
 x s ds

0
p

e
t x

ax:n  
n
0
t
(   x s ) ds

e 0
dt

死力と利力は
生命年金現価
に同程度の影
響を与えてい
る
利率0.1％
死亡率1‰
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生命保険の種類(1)
死亡保険
：被保険者が保険期間中に死亡した場合
に給付
終身保険：保険期間：終身
定期保険：保険期間：有期
生存保険
：被保険者が保険期間満了時に生存して
いた場合に給付
年金保険が含まれる
純粋な生存保険は販売されていない
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生命保険の種類(2)
生死混合保険
:被保険者が保険期間中に死亡、被保険
者が保険期間中に死亡した場合に給付
養老保険⇒定期保険+生存保険
終身保険は、定期保険と別種のものであり、
養老保険に近い
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生命保険(1)記号の定義
Ax : x歳加入の終身保険現価
1
x:n
: x歳加入n年満期の定期保険現価
1
x:n
: x歳加入n年満期の生存保険現価
A
A
Ax:n : x歳加入n年満期の養老保険現価
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Ax 
  x 1
生命保険(2)
v
t
t
t 0
qx
n 1
1
x:n
  v t qx
1
x:n
v
A
A
t
t 0
n
n
Ax:n  A
1
x:n
保険金の支払
時期は期末に
なっていること
に注意
px
A
1
x:n
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基数(2)
Cx  v
Mx 
Rx 
x 1
dx
  x 1

t 0
Cx
  x 1

t 0
Mx
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生命保険(3)記号の定義
Mx
Ax 
Dx
1
x:n
M x  M xn

Dx
1
x:n
Dx  n

Dx
A
A
Ax:n  A
1
x:n
A
1
x:n
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連続年金と即時払保険現価
ax  a  ax  a  ax
分割年金、連続年金の場合は、年金の支
払額に差異が存在する
(k )
x
(k )
x
Ax  Ax
保険金の即時払いは、支払時期の差（＝
利息負担額の差）のみが存在する
どちらも実務上近似公式を使用するが、
近似の程度は基本的に異なる
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即時払生命保険モデル(1)
事実：人は一様に生まれ、冬に多く死ぬ
仮定１：死亡は誕生日からの１年間に一様
に発生する
0  t 1
lx t  lx  td x  (1  t )lx  tl x 1
t
qx  tqx
死亡者数を線形補間
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即時払生命保険モデル(2)
1
Cx   v lx t  x t dt
x t
0
1 dlx t
  v lx t (
)dt
0
lx t dt
1
x t
1
 v d x  v dt  v
x
t
x
1
2
0
dx
lx t  tlx 1  (1  t )lx
1
 v dt 
0
t
1 v

25
基数(3)
Cx  v
Mx 
Rx 
1
x
2
dx
  x 1
C
t 0
x t
  x 1
M
t 0
x t
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即時払生命保険(3)記号の定義
Ax : x歳加入の即時払終身保険現価
1
x:n
: x歳加入n年満期の即時払定期保険現価
1
x:n
: x歳加入n年満期の生存保険現価
A
A
Ax:n : x歳加入n年満期の即時払養老保険現価
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即時払生命保険(4)
Mx
Ax 
Dx
1
x:n
M x  M xn

Dx
1
x:n
Dx  n

Dx
A
A
Ax:n  A
1
x:n
A
1
x:n
28
Question?
お疲れ様でした
29

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