保険数理学特論ⅢA リスク理論１（第２回） リスクの概念とリスク管理の手法 死亡率と生命関数 大阪大学大学院 金融保険教育研究センター ２０１５年４月２７日 大塚忠義 1 講義資料 http://tyotsuka.cocolog-nifty.com/blog/ から各自事前にダウンロードしてください 2 Agenda 前半 リスクの概念とリスク管理の手法 •リスクの概念 •リスクの分類 •リスクへの対応策 •リスク管理の手法 3 Agenda 後半 死亡率と生命関数 • 死亡率 • 生命表 • 記号の定義 • 連続空間上の生命関数 • 死力 • 死亡法則 4 リスクの概念(1) 現代社会においては我々は多くの リスクに取り囲まれている •一般にリスクとは結果が不確実な状況 をいう •定義されているように思えても場面ご とで使い分けられている不幸な用語 •我々は無意識のうちにこの言葉を受 け入れている 例えば 5 リスクの概念(2) 1. 働き手である父親の死亡 2. 取引先の倒産による貸付の回収不 能 3. 地震・台風等の自然災害 4. 人口構造の変化による年金財政の 破綻 5. 株式市場の下落による投資損失 6 リスクの定義(1) 結果が不確実な状況：その１ リスク＝結果の期待値または確率 人はいつ死ぬか、地震はいつ来るか 不明！ しかし、死亡率、発生確率は 存在する 結果が確実な状況、確率＝１： 明日も太陽は昇る 7 リスクの定義(2) 結果が不確実な状況：その２ リスク＝結果の期待値周りの変動性ま た標準偏差、分散 「株式投資は預金よりもリスクが高い」 株に投資すると大儲けすることもある が損することもある。預金に比べると変 動性が大きい 収益性：株＞預金、変動性：株＞預金 ＝リスクを取って高収益を狙う 8 確率とは(1) 確率( probability)とは、ある現象が起こる度 合い、ある事象が現れる割合 対象となる現象、事象は、結果があらかじ め定まっていないもの 「起こる度合い」「現れる割合」は偶然性を含 まない一意に定まった数値であり、発生の 度合いを示す指標 9 9 確率とは(2) ある現象が起きる度合いを0から1までの数 値で表した尺度 結果が不確実・不確定な現象を確率を使っ て解釈することができる 将来ある事象が（偶然に）発生する度合（可 能性）を偶然性を含まない数値で表現した もの 10 10 確率論 確率論（probability theory）とは、偶然現象に 対して数学的なモデルを与え、解析する数 学の一分野である 確率空間：可測空間（S, M）に確率測度（μ(S) = 1）を入れた測度空間（S, M , μ） 確率論：確率空間における確率測度の理論： アンドレイ・コルモゴロフの公理 ⇔確率論は神々への反逆 11 11 確率は神々への反逆 将来の事象は神々の領域 人々は運命を受け入れる ➩人の生き死に、 豊不作、天候 そして博打の勝ち負けを 確率論でコントロール下に 『リスク』 ピーター・バーンスタイン 「日本経済新聞社」 12 12 リスクの分類１ • 純粋リスク・・・1.3 経済的不利益・損失のみを発生させ る。社会全体でみても損失のみが発 生する • 経済的リスク・・・2.4.5 社会全体で見たら利益も損失も発 生していない。個人で見ると利益を生 むが損もする（期待通りの利益が得ら れない）や、損だけすることが含まれ る 13 純粋リスク 結果の期待値（統計学での結果の平均 値）をリスクと称する • 死亡率 • 交通事故率 • 大地震の発生確率 コイン投げの場合、1/2 主に保険が扱うリスク 14 経済的リスク(1) 分散・標準偏差（統計学での期待値周りの 変動性）をリスクと称する • 株式投資 • 新規事業・海外進出 • 競馬・宝くじ 経済的リスクは、さらに価格リスクと信用リス クに分類される 15 経済的リスク(2) 価格リスク 価格変動リスク：株、石油、人件費 外国為替リスク：円ドルレート 金利リスク：金利上昇 信用リスク 取引の相手方の倒産等 決済リスク：代金の受取 貸倒れリスク：貸付金の回収 16 リスクの分類2 静態的リスク 社会経済の変動に基づかずに生じるリスク 自然災害・交通事故・死亡・傷害 動態的リスク 社会経済の変動に基づいて生じるリスク 人口構成の変化・自動車の増加による交通 事故の増加 17 リスクの分類３ 人的リスク 人の生命に係わるリスク 物的リスク 財産の損失を生じるリスク 責任リスク 人または物に関して損害賠償責任を生ずる リスク 18 リスクへの対応策 • • • • リスクの回避 リスクの軽減 リスクの保有 リスクの移転 19 リスクの回避 最も安全な方法 • 飛行機事故に遭わないよう飛行機 に乗らない • 地震があるから日本に住まない • 普通預金しか預けない。しかも郵貯 • 死ぬのがいやだから生まれない 20 リスクの軽減(1) 損失発生の頻度と損害の程度（損害額）を 抑制・軽減する 発生頻度の軽減 定期健康診断の受診・自動車の定期検査・ 検診 損害の程度の軽減 火災訓練・シートベルトの着用・スプリンク ラーの設置・ボルボに乗る 21 リスクの軽減(2) リスクの分散 異なる場所に倉庫を分散する 社員が同一の飛行機で出張しない 22 リスクの保有(1) リスクの顕在化（損失発生）による経済 的損失を自己負担する 想定される損失の最高額が大きくない場 合、自己資金で手当てできる テレビや冷蔵庫の故障・・・リスクの保有 自動車の破損・・・自動車保険 23 リスクの保有（2） 自家保険：超大企業で保険を買わずに従業 員の弔慰金・労災を賄う Captive:超大企業でグループ内で（再）保険 会社を保有し、そこに保険を掛ける リスクを自己保有する要件 十分大きな集団で毎年の損失をある程度正 確に予測できる 損失を填補する自己資金を保有している 24 リスクの移転 リスクの引受に同意した第三者にリスクを移 転する・・・代表例は「保険」 リスクの引受者（保険会社）は同質のリスク を多数引受けることにより、その損害発 生額をより正確に把握する（リスクの プーリング) 予測損害発生額をリスクの移転者（保険の 加入者）で分担する 分担金合計＝予測損害発生額 25 リスク管理の手法(1) リスク管理：リスクマネジメントは次の 二つの分野 ロス・コントロール 損害を軽減するために事前に行う活動 多くの分野に存在する ロス・ファイナンス リスクの発現により生じる損失に対する備 え 26 リスク管理の手法(2) 企業の例で述べるが個人も基本的に同じ 1. リスクを特定する 2. そのリスクを回避するか（Y/N) if YES, おしまい eg 海外市場からの撤退 リスクは消滅する しかし 機会の喪失、逸失利益。。。 そもそもすべてのリスクの回避は不可能！ 27 リスク管理の手法(3) 企業の例で述べるが個人も基本的に同じ 3. If NO then リスクをコントロールできるか(Y/N) コントロールとは軽減する手法 ⇒リスクはすべてコントロール可能 ⇒コントロールできないものはリスクと認識でき なかったもの：不確実性 4. If YES then リスクを軽減する⇒ロス・コントロール 28 ロス・コントロール ロス・コントロール＝リスクの軽減 - 損失の予防 損失発生の頻度の抑制・軽減 - 損失の低減 損害の程度（損害額）の抑制・軽減 損失≠損害、損失=損害額 29 リスク管理の手法(4) コントロールできないリスク＆ ロス・コントロール実施後のリスク 1. リスクを特定・測定する： リスクが発現した場合の損失額を算定する 2.ロス・ファイナンス 想定損失額をもとにリスクへの対応策を決 定 保有？移転？ 30 ロス・ファイナンス(1) 経済学でリスクマネジメントと同義 リスクが発現する前に行うことに意味 がある リスクが発現した後にお金を貸してくれ る人はいない、いても借入条件は最悪 何かをするなら事前に。。。 リスクが発現し損失が出たらお金を貸 すという契約を事前に結ぶ！？ 31 ロス・ファイナンス(2) - リスクを保有？ 自己資本からみてどの程度のリスクを保有 できるか？ リスクの発現は倒産につながるか？ ⇒自己資本の充実・・資本コストの増大 - リスクを移転 保険に加入？ デリバティブによってヘッジ？ 保険料、掛け金、手数料etc.の負担 32 リスク・コスト リスクマネジメントにはお金がかかる ロス・コントロール 消防設備、耐震構造、避難訓練。。。 ロス・ファイナンス 逸失利益、資本の増加、保険の加入。。。 リスクマネジメントはリスク・コストの最適化 リスクによる損失の発生と事前のリスク・コ ストのトレードオフ 33 規定打席 プロ野球では打率等の成績は規定打席 達していないと公式のものとならない １年間の試合数は130 規定打席は試合数×3.1 ３割バッターの成績は偶然や奇跡で成し 遂げられる可能性はどのくらいあるか 34 飛行機の乗客 飛行機にものすごく体重の重い人が乗 ることがある 体重の平均６０キロ、標準偏差１０キロと したら １００人乗りの飛行機で、最大乗客荷重 はどのくらいに設定すればよいか 35 前２問の前提 いずれの試行も独立 ヒット：ベルヌーイ試行で２項分布 体重：一様分布 中心極限定理で正規近似が可能 打率も体重の合計も正規分布に従うこと が前提 ２σ、３σを活用して考察 36 Question? To be continued 一旦お疲れ様でした 37 死亡率と生命表 死亡率：人口学において、一定人口に対す る、その年の死亡者数の割合 生命表：ある期間における死亡状況が今後 変化しないと仮定したときに、各年齢の者が １年以内に死亡する確率や平均してあと何 年生きられるかという期待値などを死亡率 や平均余命などの指標（生命関数）によって 表したもの 38 調査 行政 人口動態統計：戸籍に基づき市区町村ごと に調査（毎年実施） 国勢調査：５年に一度市区町村ごとに任命さ れた国勢調査員が各戸を国勢調査票に記 入を依頼し集計する 民間 保険会社等が自社の契約を調査 39 行政による調査 人口動態統計： http://www.mhlw.go.jp/toukei/saikin/hw/jin kou/kakutei12/index.html 国勢調査： http://www.stat.go.jp/data/kokusei/2010/g aiyou.htm#mokuteki_1 政府統計ポータルサイト：e-stat http://www.estat.go.jp/SG1/estat/eStatTopPortal.do 40 調査と生命表の距離 XX歳の死亡率：XX歳の誕生日を迎えた人 がその日から１年間の間に死亡する確率、 調査期間１年では調査対象者の誕生日から １年間を観測することはできない 生年別の死亡率：2014年調査の0歳の死亡 率は2013,14年生まれの人の死亡率、50歳 の死亡率は1963,64年生まれの死亡率 平均寿命の定義と実際の差異 ⇔コーホート生命表 41 生命表(1) 行政 完全生命表（5年ごと） http://www.mhlw.go.jp/toukei/saikin/hw/lif e/21th/index.html 簡易生命表（毎年） 民間 保険会社等が自社の契約を調査 アクチュアリー会標準死亡率調査部会 http://www.actuaries.jp/lib/standard-lifetable/index.html 42 生命表(2) 国民表 行政の調査によるもの 調査年度、地域および死因で分類 各年齢の死亡率qxを得たら生命表を作成できる l0 100,000 d x lx qx lx 1 lx d x qx px 1 43 生命表(3) 生命表の仮定：閉集団：新規加入がない ・ある1日に10万人誕生する ・10万人がゼロになるまで、継続する このもとで各年経過後の誕生日における生 存者数、その日から1年間の死亡者数を示 した表 44 生命表(4) 定常人口空間：別の見方：開集団：新規加 入を仮定する、ただし ・毎年同月同日に10万人誕生する ・誕生以外の新規加入はなく、死亡以外の 脱退はない ・最初に誕生した10万人がゼロになるまで、 継続する 死亡者数の合計は10万人となり人口は一 定で不変である 45 生命表(5) 生命表は各年（＝各年齢）の誕生日におけ る生存者数、各年の誕生日から1年間の死 亡者数を示した表 このような仮定は現実にはありえない 現実の開集団では ・毎年の誕生数は異なる ・死亡率は年齢と生年に依存する ・死亡以外の集団からの脱退がある 保険集団では、解約＞死亡 46 生命表(6) 経験表 保険加入者の死亡経験を調査したもの 調査年度、地域、性、（死因）の他に 保険年度（契約締結時から期間）によって異 なる q x t q x t 0 47 ベルヌーイ試行としての死亡率 l0 100, 000 lx 1 lx d x lx 1 px lx dx qx lx qx px 1 死亡者dは、確率変数 であり、B(n, q)の二項 分布に従う ｎが十分に大きいとき はnはN（nq, npq)の正 規分布で近似すること ができる。このときqは N(q, pq/n)に従う 48 記号の定義（1) lx n n px lx lx lx n n qx 1 n px lx n lx n d x n qx n px qx n lx lx n lx n lx n lx n r n px r qx n n r qx lx lx n 49 記号の定義（2) ω：最終年齢：生存者がゼロになる 年齢：死亡率の水準、生命表の使用 目的によって決まる。 国民表では lω＜1 となるωを定め ることが多い 計算処理の行いやすさ（余計な端数 が出ない）の観点から qω-1 1 とする ことも多い 50 年齢を確率変数とする死亡率 人は生まれたら必ず死ぬ、異なるのは 死ぬ時期 ω-1 ω-1 d t 0 x ω-1 t 0 (lt lt 1 ) l0 t 0 ω-1 t q0 t p0 q0t t 0 ω-1 lt dt 1 t 0 l0 lt ω-1 t 0 t qx 1 51 期待値 ω-1 ex = t t 0 ω-1 t ω-1 e0 = t t 0 qx t px : 平均余命 t 0 ω-1 t q0 t p：平均寿命（０歳の平均余命） 0 t 0 d xはx歳の誕生日からx 1歳の 誕生日の前日までに死亡する数 逆にいうとx年（端数月数切捨て） 生きた人の数。その期待値は生存 年数の平均 寿命中位数 52 連続空間上の生命関数(1) X歳（端数月数切捨て）の死亡率を定義する と死亡率は離散型の確率関数 時間t で定義すると死亡率は連続型の確率 関数となり、ルベーグ積分で扱うことができ る。 同様に生命表上のすべての変数をtで表現 することが可能となる 53 連続空間上の生命関数(2) n n Lx lx t dt : 定常空間上のx歳以上 t x n歳未満の人口 Lx : 定常空間上のx歳の人口 ω Tx lx t dt :定常空間上のx歳以上の人口 t ω ex t t px dt 金融工学のdurationはこの応用 54 死力(1) lx tを実数tのもとに定義すると微分可能 微小区間tにおける死亡率は lx lx t lx t x : t 0としたものを死力と定義 1 lx t lx x lim t 0 l t x d log lx 1 dlx lx dx dx 55 死力(2) 死力は確率変数ではない：１を超えることも あり得る 1 d x lx t x t dt 0 qx 1 0 p dt t x x t n 0 n p x e xt dt 56 離散型（生命表）への近似 Lx lx lx 1 2 Tx L e ex 0.5 x x t 0 x t lx 1 lx 1 2lx 57 死亡法則(1) 生命表の生命関数をxの関数で示したもの 死亡率の分布関数とその母数を得ることが できれば、死亡率のモデルを作成すること ができる 当然ながら適合する死亡率モデルは存在し ない しかし、統計データが得られない部分を埋め るために多くの死亡法則が活用されている 58 死亡法則(2) ・ド・モアブルの法則:古くから引用されてい た、単純で分かりやすい ・ゴンパーツ・メーカム：わが国で最も活用さ れているもの、国民表、経験表の高年齢の 補外に活用 ・ワイブル分布：ハザード関数の考えに立ち 、機械の寿命分布に適合するといわれる ・リー・カーターモデル：死亡率の改善予想 に世界的に広く活用されている 59 死亡法則(3) deMoibre 86 x lx l0 86 1 x 86 x Gompertz x Bc x 60 死亡法則(4) Gompertz Makeham x A Bc x ・ゴンパーツ・メーカムは40～70歳で統計結 果と適合 ・８０歳以上は統計結果の信頼が低い ・ハザード関数の考えに立ち、寿命は指数に 従っている ・死力に下限が存在している：災害による死 亡と整合している 61 Question? お疲れ様でした 62
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