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保険研究特論（保険数理）
アクチュアリー数学（第２回）
生命関数
早稲田大学大学院商学研究科
２０１５年４月１７日
大塚忠義
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講義資料
http://tyotsuka.cocolog-nifty.com/blog/
から各自事前にダウンロードしてください
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Agenda
第２回生命関数
• 記号の定義
• 連続空間上の生命関数
• 死力
• 死亡法則
• 脱退残存率
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行政による調査
人口動態統計：
http://www.mhlw.go.jp/toukei/saikin/hw/jin
kou/kakutei12/index.html
国勢調査：
http://www.stat.go.jp/data/kokusei/2010/gai
you.htm#mokuteki_1
政府統計ポータルサイト：e-stat
http://www.estat.go.jp/SG1/estat/eStatTopPortal.do
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ベルヌーイ試行としての死亡率
l0  100, 000
lx 1  lx  d x
lx 1
px 
lx
dx
qx 
lx
qx  px  1
死亡者dは、確率変数
であり、B(n, q)の二項
分布に従う
ｎが十分に大きいとき
はnはN（nq, npq)の正
規分布で近似すること
ができる。このときqは
N(q, pq/n)に従う
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記号の定義（1)
lx  n
n px 
lx
lx  lx  n
n qx  1  n px 
lx
n
lx  n d x  n
qx 
 n px  qx  n
lx lx  n
lx  n lx  n  lx  n  r
 n px  r qx  n
n r qx 
lx
lx  n
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記号の定義（2)
ω：最終年齢：生存者がゼロになる
年齢：死亡率の水準、生命表の使用
目的によって決まる。
国民表では lω＜1 となるωを定める
ことが多い
計算処理の行いやすさ（余計な端数
が出ない）の観点から qω-1  1 とする
ことも多い
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年齢を確率変数とする死亡率
人は生まれたら必ず死ぬ、異なるのは
死ぬ時期 ω-1
ω-1
d
t 0
x
ω-1

t 0
  (lt  lt 1 ) l0
t 0
ω-1
t
q0   t p0  q0t
t 0
ω-1
lt dt

1
t  0 l0 lt
ω-1

t 0
t
qx  1
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期待値
ω-1
ex =
t
t 0
ω-1
t
ω-1
e0 =
t
t 0
qx   t px : 平均余命
t 0
ω-1
t
q0   t p：平均寿命（０歳の平均余命）
0
t 0
d xはx歳の誕生日からx  1歳の
誕生日の前日までに死亡する数
逆にいうとx年（端数月数切捨て）
生きた人の数。その期待値は生存
年数の平均  寿命中位数
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連続空間上の生命関数(1)
X歳（端数月数切捨て）の死亡率を定義する
と死亡率は離散型の確率関数
時間t で定義すると死亡率は連続型の確率
関数となり、ルベーグ積分で扱うことができ
る。
同様に生命表上のすべての変数をtで表現
することが可能となる
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連続空間上の生命関数(2)
n
n
Lx   lx t dt : 定常空間上のx歳以上
t
x  n歳未満の人口
Lx : 定常空間上のx歳の人口
ω
Tx   lx t dt :定常空間上のx歳以上の人口
t
ω
ex  
t
t
px dt
金融工学のdurationはこの応用
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死力(1)
lx tを実数tのもとに定義すると微分可能
微小区間tにおける死亡率は
lx  lx t
lx t
 x : t  0としたものを死力と定義
1 lx t  lx
x  lim
t 0 l
t
x
d log lx
1 dlx


lx dx
dx
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死力(2)
死力は確率変数ではない：１を超えることも
あり得る
1
d x   lx t  x t dt
0
qx  
1
0
p

dt
t x x t
n

0
n p x e

 xt dt
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離散型（生命表）への近似
Lx
lx  lx 1
2

Tx
L
e
ex  0.5
x
x
t 0
x t
lx 1  lx 1
2lx
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死亡法則(1)
生命表の生命関数をxの関数で示したもの
死亡率の分布関数とその母数を得ることが
できれば、死亡率のモデルを作成すること
ができる
当然ながら適合する死亡率モデルは存在し
ない
しかし、統計データが得られない部分を埋め
るために多くの死亡法則が活用されている
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死亡法則(2)
・ド・モアブルの法則:古くから引用されてい
た、単純で分かりやすい
・ゴンパーツ・メーカム：わが国で最も活用さ
れているもの、国民表、経験表の高年齢の
補外に活用
・ワイブル分布：ハザード関数の考えに立ち、
機械の寿命分布に適合するといわれる
・リー・カーターモデル：死亡率の改善予想
に世界的に広く活用されている
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死亡法則(3)
deMoibre
86  x
lx  l0
86
1
x 
86  x
Gompertz
 x  Bc
x
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死亡法則(4)
Gompertz  Makeham
 x  A  Bc
x
・ゴンパーツ・メーカムは40～70歳で統計結
果と適合
・８０歳以上は統計結果の信頼が低い
・ハザード関数の考えに立ち、寿命は指数に
従っている
・死力に下限が存在している：災害による死
亡と整合している
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多重脱退率(1)
・生命表は誕生と死亡の２つの要素のみによ
る人口の推移を示しているが、実社会ではあ
りえない
・国民表は死亡の状況を示す目的
・保険や年金の加入者の集団では誕生、死
亡以外の増減要素も重要
・多重脱退率：それぞれの減少要因の発生率
・多重脱退表：集団からの複数の離脱要因を
勘案した表（生命表の一般化）
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多重脱退率(2)
用語の確認
・被保険者集団：保険・年金の対象となる所
定の属性を持った人の集団 eg.加入者集団
・閉集団：新規加入がなく、離脱により減少し
ていく集団
・開集団：離脱がある一方で、新規加入もあ
り、構成員が変化していく集団、新規加入は
誕生に限らない
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多重脱退率(3)
・閉集団の例：生命保険加入者集団：一定
時期に加入した集団を集合として離脱の状
況を観察する：加入年数別（保険年度別）の
発生率が重要
・開集団の例：年金集団、特に、厚生年金、
企業年金等の被用者集団：入社数、退社数
は死亡数より多い：集団の規模の変化も重
要な要素
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多重脱退率(4)
異なるモデルを用いる事例
死亡、解約（退職）：以下この例を言及する
・多重脱退率を用いる典型例
・離脱事由が独立と仮定（実はそうとはいえ
ない：保険を解約するのは健康な人、重病
により会社を退職etc.という傾向有）
・離脱事由により給付が異なる
・離脱上からの復帰を想定しない
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多重脱退率(5)
死亡、高度障害（傷害１級水準）
・高度障害を死亡と同様に扱う：経済的な死
・保険金を支払い契約が消滅
・高度障害発生率を死亡率に上乗せ
死亡、重大疾病（介護等）
・健常、介護ｘｘ級、死亡の各ステージへの
遷移確率を設定し、確率過程としてモデル
化
・復帰（回復）を仮定
・介護保険のプライシングで詳述
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脱退原因A,Bの脱退率
lx 1  lx  d xA  d xB
A
x
d
q  ：A脱退率
lx
A
x
B
x
d
q  ：B脱退率
lx
A：死亡、B:解約とすると、死亡数は解約後
に死亡した人を含めていない
本来の脱退率（死亡率、解約率）を絶対脱
退率としてそれらとの関係を考慮
B
x
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絶対脱退率
A
x
A
x
q
q
q 
1 B*
1 B
1  qx
1  qx
2
2
証明省略
近似は没理論だが実務で広く使用
下式の方が脱退残続表を作成のために使
用されている
*
A
x
1 B*
q  q (lx  qx )
2
A
x
A*
x
25
Question?
お疲れ様でした
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