講義プリント

位相空間論 B（担当：小森）４月８日：数列の収束（復習）
この講義のホームページの URL
http://www.f.waseda.jp/ykomori/topology2015.html
定義 1. （数列）
数列とは、自然数全体の集合 N から実数全体の集合 R への写像 a : N → R
のことである。n ∈ N の像 a(n) = an を用いて数列を {an } と記す。
定義 2. （ε-n0 論法による数列の収束）
数列 {an } が収束列であるとは、ある実数 a が存在して、任意の正の実数 ε > 0
に対しある自然数 n0 が存在して、n > n0 を満たす任意の自然数 n ∈ N に
対し、|an − a| < ε となることである。論理記号で書くと
∃a ∈ R s.t. ∀ε > 0, ∃n0 > 0 s.t. ∀n ∈ N, n > n0 ⇒ |an − a| < ε
となる。このとき数列 {an } は a に収束する、a を {an } の極限といい、
lim an = a
n→∞
と記す。
定義 3. （ε-近傍）
実数 a と正の実数 ε > 0 に対し、a における ε-近傍を
U (a; ε) := {p ∈ R | |p − a| < ε}
と定義する。ε-近傍を用いて数列の収束を言い換えると次のようになる。
命題 1. 数列 {an } が実数 a に収束する必要十分条件は、任意の正の実数 ε > 0
に対しある自然数 n0 が存在して、n > n0 を満たす任意の自然数 n ∈ N に
対し、an ∈ U (a; ε) となることである。論理記号で書くと
∃a ∈ R s.t. ∀ε > 0, ∃n0 > 0 s.t. ∀n ∈ N, n > n0 ⇒ an ∈ U (a; ε)
となる。
定義 4. （有界列）
数列 {an } が有界列であるとは、正の実数 M > 0 が存在して、任意の自然数
n ∈ N に対し、|an | 5 M を満たすこととする。
定義 5. （部分列）
数列 {an } の部分列とは写像 a : N → R に、N から N 自身への狭義単調増
加な写像 i : N → N を合成して得られる写像 a ◦ i の定める数列 {aik } のこ
とである。
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位相空間論 B（担当：小森）４月８日：数列の収束（復習）
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命題 2.
(1) 収束列は有界列である。
(2) 数列 {xn } が a にも b にも収束するならば、a = b となる。
(3) a に収束する数列 {xn } に対し、ある実数 L が存在して任意の n ∈ N
に対し xn = L ならば、a = L となる。
(4) 数列 {xn } が a に収束するならば、{xn } の任意の部分列 {xik } も a
に収束する。
(5) （はさみうちの原理）数列 {xn }, {yn }, {zn } が、任意の n ∈ N に対
し xn 5 yn 5 zn を満たし、{xn }, {zn } がともに a に収束するなら
ば、{yn } も a に収束する。
定義 6. （コーシー列）
数列 {an } がコーシー列であるとは、任意の正の実数 ε > 0 に対しある自
然数 n0 が存在して、m, n > n0 を満たす任意の自然数 m, n ∈ N に対し、
|am − an | < ε となることである。論理記号で書くと
∀ε > 0, ∃n0 > 0 s.t. ∀m, n ∈ N, m, n > n0 ⇒ |am − an | < ε
となる。
命題 3.
(1) 収束列はコーシー列であることを示せ。
(2) コーシー列は有界列であることを示せ。
(3) コーシー列 {xn } の部分列 {xik } がある実数 α に収束するならば、
{xn } 自身も α に収束することを示せ。
練習問題 1. 数列 {xn } が a に収束し、数列 {yn } が b に収束するとする。
このとき次を示せ。
(1) 数列 {xn + yn } は a + b に収束する。
(2) 数列 {xn yn } は ab に収束する。
(3) 任意の実数 c に対し数列 {cyn } は cb に収束する。
(4) 数列 {xn − yn } は a − b に収束する。
(5) 以下では任意の n ∈ N に対し、yn ̸= 0 かつ b ̸= 0 と仮定する。この
とき数列 {1/yn } は有界列である。
(6) 数列 {1/yn } は 1/b に収束する。
(7) 数列 {xn /yn } は a/b に収束する。
練習問題 2. 数列 {xn } と {yn } はそれぞれ a と b に収束する収束列で、任
意の n ∈ N に対し xn 5 yn を満たすとする。
(1) a 5 b を示せ。
(2) 任意の n ∈ N に対し xn < yn を満たしても a = b となるような収束
列 {xn } と {yn } の例を挙げよ。

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