Lösung zur Aufgabe 7.2.3 (b) Folgende partielle Differentialgleichungen sind unter Verwendung der angegebenen Substitutionen zu lösen: (b) wx + wy + wz = 0 mit ξ = x, η = y − x, ζ = z − x. Lösung: Durch die angegebene Substitution geht die Funktion w(x, y, z) über in eine Funktion v(ξ, η, ζ). Für die partiellen Ableitungen besteht folgender Zusammenhang (Verwendung der Kettenregel): w x = v ξ · ξ x + v η · ηx + v ζ · ζ x = v ξ − v η − v ζ , w y = v ξ · ξ y + v η · ηy + v ζ · ζ y = v η , w z = v ξ · ξ z + v η · ηz + v ζ · ζ z = v ζ . Setzen wir das in die partielle Differentialgleichung vom Anfang ein, so ergibt sich ! wx + wy + wz = vξ − vη − vζ + vη + vζ = vξ = 0. Durch Integrieren nach ξ erhalten wir v = C(η, ζ), mit einer nur von η und ζ abhängigen differenzierbaren Funktion C : R2 → R. Durch Rücksubstitution erhalten wir daher für w: w(x, y, z) = C(y − x, z − x), 1 C : R2 → R. Lösung zur Aufgabe 7.2.4 Mit Hilfe der Substitution ξ(x, y) = xy , η(x, y) = xy bestimme man die allgemeine Lösung z(x, y) der partiellen Differentialgleichung x2 zxx − y 2 zyy + x zx − y zy = 0. Lösung: Die Variablentransformation ist in der Aufgabenstellung bereits vorgegeben. Es werden nun sämtliche partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von ξ bzw. η nach x und y benötigt: ξy = x1 , ξxx = x2y3 , ξxy = − x12 , ξyy = 0, ξx = − xy2 , ηx = y, ηy = x, ηxx = 0, ηxy = 1, ηyy = 0. Dadurch wissen wir, wie die partiellen Ableitungen von z in der PDGL zu ersetzen sind: y z x = ξ x v ξ + ηx v η = − 2 v ξ + y v η , x 1 z y = ξ y v ξ + ηy v η = v ξ + x v η , x zxx = ξxx vξ + ηxx vη + ξx2 vξξ + 2ξx ηx vξη + ηx2 vηη 2y y2 2y 2 v + v − vξη + y 2 vηη , ξ ξξ x3 x4 x2 = ξyy vξ + ηyy vη + ξy2 vξξ + 2ξy ηy vξη + ηy2 vηη = zyy 1 vξξ + 2 vξη + x2 vηη . x2 Setzen wir das alles in die Ausgangsgleichung ein, so ergibt sich = y2 2y 2 1 2y v + v − vξη + y 2 vηη ) − y 2 · ( 2 vξξ + 2 vξη + x2 vηη ) ξ ξξ 3 4 2 x x x x y 1 + x · (− 2 vξ + y vη ) − y · ( vξ + x vη ) x x 2 y y2 2y 2 2 2 vξ + 2 vξξ − 2y vξη + x y vηη − 2 vξξ − 2y 2 vξη − x2 y 2 vηη = x x x y y − vξ + xy vη − vξ − xy vη . x x Fassen wir zusammen, so bleibt nur −4y 2 vξη = 0 0 = x2 · ( übrig und somit schließlich vξη = 0. Integration nach η liefert zunächst vξ = ˆ ˜ 0 dη = C(ξ) mit einer beliebigen differenzierbaren Funktion C˜ : R → R. Das ist nun noch nach ξ zu integrieren, wodurch sich ergibt ˆ ˜ dξ = C(ξ) + D(η), v = C(ξ) 2 wobei C : R → R und D : R → R beliebige zweimal differenzierbare Funktionen sind (dabei ist ˜ Durch Rücktransformation erhalten wir die allgemeine Lösung C die Stammfunktion von C). der Ausgangsgleichung: y z(x, y) = C + D(xy), C, D : R → R. x 3