Lösungen zu nicht besprochenen Aufgaben der 5. Übung

Lösung zur Aufgabe 7.2.30
Man bestimme durch Transformation auf die Normalform die spezielle Lösung der partiellen
Differentialgleichung
uxx + 2uxy − 3uyy = 0,
die den Anfangsbedingungen u(x, 0) = 3x2 , uy (x, 0) = 0 genügt.
Lösung: Bevor wir die Normalform der PDGL ermitteln, müssen wir sie klassifizieren. Verglichen
mit unserer allgemeinen Notation für lineare PDGLn zweiter Ordnung sind hier a(x, y) = 1
(Faktor vor uxx ), b(x, y) = 1 (Hälfte des Faktors vor uxy ) und c(x, y) = −3 (Faktor vor uyy ).
Wir betrachten die Determinante
a(x, y) b(x, y) 1 1 =
= −4 < 0.
D = b(x, y) c(x, y) 1 −3 Es handelt sich demnach um eine hyperbolische PDGL. Die charakteristischen Differentialgleichungen lauten
√
b(x,
y)
±
−D
y′ =
= 1 ± 2.
a(x, y)
Beide können einfach durch Integrieren nach x gelöst werden. Die Lösungen sind jeweils nach
der darin enthaltenen Konstanten umzustellen. Für die erste DGL ergibt sich
y′ = 3
⇒
y = 3x + C1
⇒
C1 = −3x + y.
Für die zweite DGL erhalten wir
y ′ = −1
⇒
y = −x + C2
⇒
C2 = x + y.
Es bietet sich somit folgende Variablentransformation an:
ξ = −3x + y,
η = x + y.
Als nächstes benötigen wir die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von ξ und η
nach x bzw. y:
ξx = −3,
ηx = 1,
ξy = 1,
ηy = 1,
ξxx = 0,
ηxx = 0,
ξxy = 0,
ηxy = 0,
ξyy = 0,
ηyy = 0.
Demnach sind die auftretenden Ableitungen von u in der PDGL wie folgt zu ersetzen:
uxx = ξxx vξ + ηxx vη + ξx2 vξξ + 2ξx ηx vξη + ηx2 vηη
= 9vξξ − 6vξη + vηη ,
uxy = ξxy vξ + ηxy vη + ξx ξy vξξ + (ξx ηy + ξy ηx )vξη + ηx ηy vηη
= −3vξξ − 2vξη + vηη ,
uyy = ξyy vξ + ηyy vη + ξy2 vξξ + 2ξy ηy vξη + ηy2 vηη
= vξξ + 2vξη + vηη .
1
Setzen wir alles in die ursprüngliche PDGL ein, so erhalten wir die Normalform der PDGL:
⇒
⇒
9vξξ − 6vξη + vηη + 2(−3vξξ − 2vξη + vηη ) − 3(vξξ + 2vξη + vηη ) = 0
−16vξη = 0
vξη = 0.
Um diese Gleichung zu lösen, integrieren wir zunächst nach η und erhalten
ˆ
˜
vξ = 0 dη = C(ξ)
mit einer differenzierbaren Funktion C˜ : R → R. Integrieren wir nun noch nach ξ, ergibt sich
ˆ
˜ dξ = C(ξ) + D(η)
v = C(ξ)
mit zweimal differenzierbaren Funktionen C, D : R → R, wobei C eine Stammfunktion von C˜
ist. Durch Rücktransformation erhalten wir die allgemeine Lösung der ursprünglichen PDGL:
u(x, y) = C(−3x + y) + D(x + y)
mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen C, D : R → R. Es sind nun noch die
Anfangsbedingungen einzuarbeiten. Aus u(x, 0) = 3x2 folgt
C(−3x) + D(x) = 3x2 .
(1)
Die partielle Ableitung der allgemeinen Lösung nach y lautet
uy (x, y) = C ′ (−3x + y) + D′ (x + y).
(Eigentlich ist dafür die Kettenregel zu benutzen, aber die inneren Ableitungen sind Eins.) Aus
uy (x, 0) = 0 ergibt sich als weitere Bedingung
C ′ (−3x) + D′ (x) = 0.
Aus (1) folgt D(x) = 3x2 − C(−3x) und somit, durch Ableiten nach der Kettenregel,
D′ (x) = 6x + 3C ′ (−3x).
Setzen wir das in (2) ein, erhalten wir
4C ′ (−3x) + 6x = 0
⇒
3
C ′ (−3x) = − x.
2
Setzen wir w = −3x, so folgt als Funktionsvorschrift für C ′ :
1
C ′ (w) = w.
2
Die Funktionsvorschrift für C selbst erhalten wir durch Integrieren nach w:
ˆ
1
1
w dw = w2 + K, K ∈ R.
C(w) =
2
4
2
(2)
Einsetzen in (1) liefert die Funktionsvorschrift für D:
1
3
D(x) = 3x2 − C(−3x) = 3x2 − (−3x)2 − K = x2 − K.
4
4
Damit ergibt sich für die Lösung des Anfangswertproblems
u(x, y) = C(−3x + y) + D(x + y)
3
1
(−3x + y)2 + K + (x + y)2 − K
=
4
4
2
2
= 3x + y .
3
Lösung zur Aufgabe 7.2.33
Man transformiere folgende partielle Differentialgleichungen auf ihre Normalform und gebe
die allgemeinen Lösungen an:
x2 uxx − 2xy uxy + y 2 uyy + x ux + y uy = 0.
Lösung: Bevor wir die Normalform der PDGL ermitteln, müssen wir sie klassifizieren. Verglichen
mit unserer allgemeinen Notation für lineare PDGLn zweiter Ordnung sind hier a(x, y) = x2
(Faktor vor uxx ), b(x, y) = −xy (Hälfte des Faktors vor uxy ) und c(x, y) = y 2 (Faktor vor uyy ).
Wir betrachten die Determinante
a(x, y) b(x, y) x2 −xy = x2 y 2 − (−xy)2 = 0.
=
D=
b(x, y) c(x, y) −xy y 2 Es handelt sich demnach um eine parabolische PDGL. Wegen D = 0 gibt es nur eine einzige
zugehörige charakteristische DGL, nämlich
√
b(x, y) ± −D
b(x, y)
−xy
y
′
y =
=
= 2 =− .
a(x, y)
a(x, y)
x
x
Diese DGL lösen wir durch Trennung der Variablen. Die allgemeine Lösung ist dann nach der
darin enthaltenen Konstanten umzustellen.
dy
dx
⇒
⇒
⇒
⇒
´
1
y
dy
ln(|y|)
y
xy
=
=
=
=
=
− xy
´
− x1 dx
− ln(|x|) + C˜
C · x1
C,
| ·dx, : y
C ∈ R.
Somit bietet sich folgende Variablentransformation an:
ξ = xy,
η = y.
Als nächstes benötigen wir die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von ξ und η
nach x bzw. y:
ξx = y,
ηx = 0,
ξy = x,
ηy = 1,
ξxx = 0,
ηxx = 0,
ξxy = 1,
ηxy = 0,
ξyy = 0,
ηyy = 0.
Demnach sind die auftretenden Ableitungen von u in der PDGL wie folgt zu ersetzen:
ux = ξ x v ξ + η x v η = y v ξ ,
uy = ξ y v ξ + η y v η = x v ξ + v η ,
uxx = ξxx vξ + ηxx vη + ξx2 vξξ + 2ξx ηx vξη + ηx2 vηη = y 2 vξξ ,
uxy = ξxy vξ + ηxy vη + ξx ξy vξξ + (ξx ηy + ξy ηx ) vξη + ηx ηy vηη = vξ + xy vξξ + y vξη ,
uyy = ξyy vξ + ηyy vη + ξy2 vξξ + 2ξy ηy vξη + ηy2 vηη = x2 vξξ + 2x vξη + vηη .
4
Setzen wir alles in die ursprüngliche PDGL ein, so erhalten wir die Normalform der PDGL:
⇒
⇒
x2 y 2 vξξ − 2xy(vξ + xy vξξ + y vξη ) + y 2 (x2 vξξ + 2x vξη + vηη )
+xy vξ + y(ξy vξ + ηy vη ) = 0
y 2 vηη + y vη = 0
vηη = − η1 vη .
Im letzten Schritt haben wir noch ausgenutzt, dass y = η gilt. Um diese Gleichung zu lösen,
substituieren wir zunächst geeignet. Genauer gesagt, setzen wir
p = vη .
Dadurch bleibt folgende Differentialgleichung übrig:
1
pη = − p.
η
Diese Gleichung lässt sich mittels Trennung der Variablen lösen.
dp
dη
⇒
⇒
⇒
=
1
dp =
p
ln(|p|) =
p =
´
− η1 p
´
− η1 dη
˜
− ln(|η|) + D(ξ)
1
D(ξ) · η ,
| ·dη, : p
D : R → R.
Nun ist noch die Rücksubstitution durchzuführen:
1
p = vη = D(ξ) · .
η
Um v zu erhalten, müssen wir also nochmal nach η integrieren:
ˆ
1
v = D(ξ) · dη = D(ξ) · ln(|η|) + E(ξ), D, E : R → R.
η
Durch Rücktransformation erhalten wir daraus schließlich die allgemeine Lösung der Ausgangsgleichung:
u(x, y) = D(xy) · ln(|y|) + E(xy)
mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen D, E : R → R.
5

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