¨ MUNCHEN ¨ TECHNISCHE UNIVERSITAT Zentrum Mathematik Prof. Dr. Simone Warzel Mathematik 3 f¨ ur Physiker (Analysis 2) MA9203 Dr. Michael Pr¨ ahofer Sommersemester 2015 Blatt 6 (22.05.2015) Tutoraufgaben T6.1. Taylorentwicklung des Coulombpotentials Sei F : R3 \ {0} → R, F (x) = zweiten Ordnung in h. 1 |x| . F¨ ur x ∈ R3 \ {0} entwickele man F (x + h), bis zur T6.2. Monopol, Dipol, Quadrupol Sei ρ : [−1, 1]3 → R eine stetige Ladungsverteilung. Bestimmen Sie die f¨ uhrenden Ord1 RRR ρ(y) 1 nungen in |x| des Potentials V (x) = ur |x| > 2. |x−y| dy1 dy2 dy3 , f¨ −1 T6.3. Taylorentwicklungen Bestimmen Sie das Taylorpolynom der folgenden Funktionen um den Ursprung. (a) f : Rm → R, f (x) = x1 · · · xm bis zur m-ten Ordnung. (b) f : R2 → R, f (x, y) = sin(x3 y 2 ) bis zur 25-ten Ordnung. Geben Sie jeweils alle partiellen Ableitungen (ausgewertet im Ursprung) explizit an. Hausaufgaben H6.1. Taylorentwicklungen Bestimmen Sie die Taylorentwicklung der folgenden Funktionen bis zur zweiten Ordnung. (a) f (x, y) = (b) f (x, y) = 2 2 1+x √ −2y 4+xy x2 sin xy 2 im Entwicklungspunkt (0, 0), im Entwicklungspunkt (1, π). H6.2. Methode der kleinsten Quadrate Sei M ∈ Rn×2 , mit M T M ∈ R2×2 invertierbar, b ∈ Rn . (a) Bestimmen Sie den kritischen Punkt x∗ der Funktion F : R2 → R, F (x) = |b − M x|2 . (b) Zeigen Sie, dass F (x) = |M (x − x∗ )|2 + C mit einer Konstanten C ≥ 0. H6.3. Extremwertbestimmung Bestimmen Sie f¨ ur die Funktion f (x, y) = y 4 − 3xy 2 + x3 (a) (i) eine Funktion, deren Graph Tangentialebene an den Graph Gf bei (x0 , 2) ist, (ii) eine quadratische Funktion, die mit f bis zu den zweiten Ableitungen bei ( 23 , 32 ) u ¨bereinstimmt, (b) lokale und globale Extremstellen und Sattelpunkte, (c) Maximum und Minimum f¨ ur (x, y) ∈ [− 52 , 52 ] × [−2, 2]. Hausaufgabenabgabe: Montag, 01.06.2015, bis 12:00 im Briefkasten Keller FMI-Geb¨aude oder vor Beginn der Zentral¨ ubung im PH HS 1