Übungen zu Partielle Differentialgleichungen I
Blatt 10
1 Beweisen sie bitte die Schauderabschätzungen für die höheren Ableitungen,
Theorem 3.2.7.
+
−
2 Sei BR
= {x ∈ BR (0) : xn > 0}, T = {x ∈ BR (0) : xn = 0} und BR
die
+
+
0
2
untere Halbkugel. Nehme an, daß u ∈ C (BR ∪ T ) ∩ C (BR ) harmonisch
ist mit u|T = 0. Zeigen Sie bitte, daß die Funktion
(
u(x1 , . . . , xn ), if xn ≥ 0
ũ(x) =
−u(x1 , . . . , −xn ), if xn < 0
in C 2 (BR ) liegt und harmonisch ist.
3 Zeigen Sie, daß u ∈ C 0 (Ω) genau dann subharmonisch ist, wenn die
Mittelwertungleichung lokal gilt, d.h. zu jedem y ∈ Ω gibt es δ = δ(y) > 0,
so daß
Z
1
u dHn−1
∀ R ≤ δ.
u(y) ≤
nωn Rn−1 ∂BR (y)
4 Eine Funktion u ∈ L1loc (Ω) heißt schwach harmonisch (subharmonisch,
superharmonisch) in Ω, wenn
Z
u∆ϕ = (≥, ≤) 0
∀ 0 ≤ ϕ ∈ Cc∞ (Ω).
Ω
Zeigen Sie, daß eine Funktion u ∈ C 0 (Ω), die schwach harmonisch (subharmonisch, superharmonisch) ist auch harmonisch (subharmonisch, superharmonisch) ist.
5 Zeigen Sie, daß für stetige Funktionen die Begriffe schwach subharmonisch
und subharmonisch äquivalent sind.
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