Aufgaben 14 und 15

Sommersemester 2015
8. Juli 2015
Allgemeine Relativitätstheorie und Kosmologie
14. Die Maxwell-Gleichungen auf einer gekrümmten Raumzeit:
In einer gekrümmten Raumzeit, die eine semi-Riemann’sche Mannigfaltigkeit ist, muss man
alle partiellen Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzen. Dabei ist es hilfreich,
diese Ableitungen in lokalen Koordinaten in folgender verkürzter Weise zu schreiben
∂σ F µν ≡ F µν,σ (mit Komma) wird ersetzt durch
F µν;σ = F µν,σ + Γµστ F τ ν + Γνστ F µτ (mit Semikolon)
∂σ Fµν ≡ Fµν,σ (mit Komma) wird ersetzt durch
Fµν;σ = Fµν,σ − Γτσµ Fτ ν − Γτσν Fµτ (mit Semikolon) .
Die Maxwell-Gleichungen lauten dann
4π ν
j , (b) Fµν;σ + Fνσ;µ + Fσµ;ν = 0 .
(1)
c
14.1 Es sei g = det(gµν ) die Determinante des metrischen Tensors. Unter Verwendung der
Hilfsformel
Sp M −1 (x)∂σ M (x) = ∂σ ln (det M (x))
(2)
(a) F µν;µ =
zeigen Sie: Das Christoffel-Symbol (mit der Summe über µ!) ist gleich
√
1
Γµµσ = √ ∂σ −g .
−g
(3)
Bemerkung: Die Formel (2) kommt auch in der Mechanik vor (z.B. im Liouville’schen
Satz). Falls Sie sie nicht kennen: Man leitet sie aus
d ln(det M ) = ln(det(M + dM )) − ln(det M ) = ln(det(1l + M −1 dM ))
und aus der Formel det(1l + εA) = 1 + εSp A + O(ε2 ) her.
14.2 Zeigen Sie: In den homogenen Gleichungen (1) (b) kann man die kovarianten Ableitungen durch die partiellen Ableitungen ersetzen, d.h.
Fµν;σ + Fνσ;µ + Fσµ;ν = Fµν,σ + Fνσ,µ + Fσµ,ν = 0 .
Dies bedeutet, dass man auch auf der gekrümmten Raumzeit wie gewohnt Potentiale einführen kann, Fµν = ∂µ Fν − ∂ν Fµ .
15. Radiale Geodäten in der Schwarzschild-Lösung:
Die Lagrangefunktion zeigt in diesem Beispiel zwei zyklische Variable und liefert dem entsprechend zwei Konstanten der Bewegung E und L (analog zu Energie und Drehimpuls).
Die Geodätengleichung für ein massives Teilchen lautet
L2
2m
1+ 2 .
(4)
ṙ2 + U (r) = E 2 mit U (r) = 1 −
r
r
Wenn das Teilchen mit der Anfangsbedingung (r = R, ṙ = 0) radial fällt, dann ist L = 0
und man kann die Energie E pro Masseneinheit durch den Schwarzschild-Radius rS =
2m und den Anfangswert R ausdrücken. Der Punkt bedeutet die Ableitung nach der
Eigenzeit τ .
15.1 Stellen Sie die Lösung τ = τ (r) auf und verifizieren Sie, dass die Parameterdarstellung
r
R3
1
(η + sin η)
(5)
(a) r = R(1 + cos η) , (b) τ =
2
8m
mit 0 ≤ η ≤ π die Differentialgleichung (4) zur gegebenen Anfangsbedingung erfüllt.
15.2 Zeichnen Sie den Verlauf der radialen Geodäten in der parametrisierten Form (5) und
in der Form r(τ ).

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