Koordinatensysteme (Angabe von Positionen und Richtungen im

Koordinatensysteme
(Angabe von Positionen und Richtungen im Raum)
a) geradlinige b) geradlinige orthogonale c) krummlinige orthogonale d) krummlinige
jeweils mit dem Punkt P(3;2)
Ebene Polarkoordinaten: Kreiskoordinaten
Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten :
Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in
Polarkoordinatenrichtung wählt, ergibt sich
Kartesisches Koordinatensystem
(orthogonales Koordinatensystem, dessen Koordinatenlinien Geraden in konstantem Abstand)
als Transformation zu kartesischen Koordinaten.
Polar zu kartesisch lässt sich demnach folgendermaßen umrechnen:
Für kartesisch zu polar gelten die folgenden Formeln:
Letztere Formel stimmt allerdings nur im ersten Quadranten, genauer für x>0,y>0. Im Fall
x<0 ist π, und für x>0,y<0 sogar 2π zu diesem Winkel zu addieren.
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
Die Transformationsgleichungen von kartesischen in Kugelkoordinaten lauten:
Die Rücktransformation erfolgt nach den Gleichungen:
x = r cos φ,
y = r sin φ
z=h
Vektorraum, Vektoren
(mathematische Struktur zur Angabe von Koordinaten)
Kugelkoordinaten
Rechnen mit Vektoren:
Addition:
Streckung:
Skalarprodukt:
Betrag von Vektoren:
Orientierung des Koordinatensystems und des Kreuzproduktes:
Rechte-Hand-Regel !!!
Winkelberechnung (zwischen 2 Vektoren):
Spreizen Sie die ersten drei Finger Ihrer rechten Hand. Kraft der Rechten-Hand-Regel wird
Ihr Daumen zur x-Achse, der rechtwinklig zum Daumen abstehende Zeigefinger zur yAchse und der Mittelfinger zur z-Achse. Von entscheidender Bedeutung ist die Stellung des
Mittelfingers. Er zeigt in die positive z-Richtung. Wie auch immer Sie nun Ihre rechte
Hand mit den gespreizten Fingern verdrehen, durch die Rechte-Hand-Regel ist immer
die positive Richtung der z-Achse eindeutig bestimmt.
aus :
folgt:
Kreuzprodukt:
(auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) Produkt zweier
Vektoren in einem dreidimensionalen Vektorraum, ist in kartesischen Koordinaten ebenfalls
ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die
Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms der beiden Vektoren)
Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben:
Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum kann man das Kreuzprodukt von a und b so
definieren:
Die 3 Komponenten des Kreuzproduktes lauten:
Rechte-Daumen-Regel
Zur Rechten-Hand-Regel gesellt sich die Rechte-Daumen-Regel.
Hintergrund dieser Regel ist die Frage "Welche Drehrichtung ist positiv,
welche negativ?" Ebenfalls mit der rechten Hand läßt sich nämlich jede
positive Drehrichtung auch im verdrehten Raum ganz einfach bestimmen:
Formen Sie Ihre rechte Hand so, als wollten Sie als Anhalter ein Auto
stoppen. Greifen Sie nun nach der Drehachse, so daß der Daumen in die
positive Richtung der Achse zeigt dann weisen die restlichen Finger in
Richtung des mathematisch positiven Drehsinns.
Für Einheitsvektoren gilt:
Matrix (Anordnung von Zahlen in Tabellenform)
oder
Wichtige Eigenschaften des Kreuzproduktes:
Matrizenaddition
Sind die Vektoren und parallel, so ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor.
Für das Kreuzprodukt gilt das Kommutativgesetz nicht, sondern:
Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Man sagt: Das
Kreuzprodukt ist antikommutativ.
Es gelten zwei Distributivgesetze:
Skalarmultiplikation mit Matrizen
Matrizenmultiplikation
Rechenbeispiel:
und
.
Drehmatrix
Ferner gilt das Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation:
λ sei aus
.
Für das Quadrat der Norm erhält man:
Drehmatrix oder Rotationsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix, die eine Drehung im
euklidischen Raum beschreibt. Die Drehung kann entweder ein Objekt (eine Figur, einen
Körper) bezüglich einem festgehaltenen Koordinatensystem oder das Koordinatensystem
selbst bewegen.
In der Ebene wird die Drehung um den Ursprung um den Winkel α entgegen dem
Uhrzeigersinn realisiert durch die Matrix:
Spatprodukt
Das Spatprodukt dreier Vektoren, eine Kombination von Kreuzprodukt und Skalarprodukt, ist
die Größe des orientierten Volumens des Spats, der durch die drei Vektoren aufgespannt wird.
Das Spatprodukt ist gegeben durch:
Für eine 3×3-Matrix berechnet man die Determinante:
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
angewandt auf einen Vektor.
Funktion:
Polynom
Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell
werden Funktionen y:=f(x) als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße
(Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert
(überführt).
„Funktion f von A nach B“ :
Lineare Funktion:
Wurzelfunktion
oder allgemeiner
Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen, es gilt
Exponentialfunktion
Potenzfunktion
In der Mathematik wird als Exponentialfunktion
zur Basis a > 0 eine Funktion der Form
bezeichnet. In der gebräuchlichsten Form sind dabei
für den Exponenten x die reellen Zahlen zugelassen.
Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen
die Basis die Variable enthält, befindet sich bei
Exponentialfunktionen die Variable im Exponenten;
von daher auch die Namensgebung.
e-Funktion: (Exponentialfunktion)
= exp (x)
Eulersche Zahl
Trigonometrische Funktion
Die nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannte Euler’sche Zahl e =
2,718281828459... ist eine irrationale (und sogar transzendente) reelle Zahl.
,
,
Aus diesen Beziehungen folgt unmittelbar die Beziehung:
die "natürliche" Bedeutung der Exponentialfunktion:
Logarithmus
Graphen von Kosinus und Sinus
Logarithmieren zu einer Basis ist die Umkehrung des Potenzierens einer Basis und entspricht
der Suche nach dem Exponenten (nach der Hochzahl).
logb
ln
:
:
ld
:
log
:
Die Ankathete des Winkels ist gleichzeitig die Gegenkathete des anderen spitzen Winkels β
des rechtwinkligen Dreiecks; da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, und der rechte
und daher
Winkel 90° zu dieser Summe beiträgt, ist dieser Winkel
Logarithmus zur Basis b
Logarithmus naturalis bzw. natürlicher Logarithmus, der Logarithmus zur
Basis e, der Eulerschen Zahl
logarithmus dualis, Logarithmus zur Basis 2, auch als Zweierlogarithmus oder
dyadischer oder binärer Logarithmus
In der Mathematik steht log für den natürlichen Logarithmus, in technischen
Anwendungen (so z.B. bei Taschenrechnern) für den dekadischen
Logarithmus. Gelegentlich wird log auch verwendet, wenn die verwendete
Basis keine Rolle spielt.
Graphen von tan und cot
Wichtige Funktionswerte
Additionstheoreme
Winkelbeziehungen
´
Differentialrechnung
Sekantensteigung =
Ableitung =
Schreibweisen in der Physik:
d f df ( x) d
d
=
=
f ( x) =
f = f′
dx
dx
dx
dx
Zeitableitungen :
d f df (t ) d
d
=
=
f =
f (t ) =
dt
dt
dt
dt
•
f
Partielle Ableitungen :
Mehrfache Ableitungen
Die partielle Ableitung setzt eine Funktion voraus, die von mehreren Parametern abhängt.
Ist die Ableitung einer Funktion f wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung
von f als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte,
etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einfach
differenzierbar, zweifach differenzierbar, etc. sein.
Als Beispiel wird die Funktion f(x,y): = x2 + y2 betrachtet, die von den beiden Parametern x
und y abhängt.
Betrachtet man den Parameter y als eine Konstante, z.B. y = 3, so hängt die Funktion f(x,3)
nur noch von dem Parameter x ab:
f(x,3) = x2 + 9 = g(x)
Für die neue Funktion g(x) = x2 + 9 kann man den Differenzialquotienten bilden:
Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion f(x,y) nach x
bildet:
Die partielle Ableitung von f(x,y) nach y lautet entsprechend:
Die zweite Ableitung kann geometrisch als die Krümmung eines Graphen interpretiert
werden. Sie hat zahlreiche physikalische Anwendungen. Zum Beispiel ist die erste Ableitung
des Orts x(t) nach der Zeit t die Momentangeschwindigkeit, die zweite Ableitung die
•
Beschleunigung. Aus der Physik kommt die Schreibweise x(t ) , (Sprich: x Punkt), für die 1.
••
Ableitung einer beliebigen Funktion nach der Zeit, x (t ) (Sprich: x 2 Punkt), für die 2.
Ableitung nach der Zeit.
Berechnung von Minima und Maxima:
Eine der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung ist die Bestimmung von
Extremwerten, meist zur Optimierung von Prozessen. Diese befinden sich unter anderem bei
monotonen Funktionen am Rand des Definitionsbereichs, im Allgemeinen jedoch an den
Stellen, wo die Ableitung Null ist. Eine Funktion kann einen Maximal- oder Minimalwert
haben, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle existiert, im folgenden werden jedoch nur
zumindest lokal differenzierbare Funktionen betrachtet. Als Beispiel nehmen wir das
Polynom
Die Abbildung zeigt den Verlauf von f(x), f '(x) und f ''(x) .
Dieses Beispiel demonstriert wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die
von mehreren Parametern abhängt:
Bis auf einen Parameter werden alle anderen Parameter als konstant
angenommen, bezüglich dieses einen Parameters wird der Differenzialquotient
bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach
diesem einen Parameter.
Fehlerrechnung / Fehlerfortpflanzung (wichtig für das physikalische Praktikum!)
Integralrechnung
Partielle Integration
Das Integral wird im zweidimensionalen Koordinatensystem als die Fläche zwischen dem
Graphen der Funktion und der x-Achse gedeutet, bei Funktionen mehrerer Veränderlicher
entspricht es einem Volumen.
Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung. Sie
lautet:
Einfache Integrale:
Beispiel:
Mehrfachintegrale:
Setzt man
Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
In gewisser Hinsicht ist Integration die Umkehrung der Differentiation.
und
so ist
Um dies zu präzisieren wird der Begriff der Stammfunktion benötigt: Ist f eine Funktion, so
heißt eine Funktion F eine Stammfunktion von f, wenn die Ableitung von F gleich f ist:
und
und man erhält
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt die Beziehung zwischen
Stammfunktionen und Integralen her. Er besagt: Ist f eine stetige Funktion auf einem Intervall
[a,b], und ist F eine Stammfunktion von f, so gilt
Die rechte Seite wird oft abkürzend als:
Variablensubstitution (Beispiel: Volumenintegrale)
oder
oder
geschrieben.
Unbestimmtes Integral
Eine Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral von f(x) bezeichnet – manchmal ist
damit aber auch die Menge aller Stammfunktionen gemeint. Ist F(x) eine Stammfunktion, so
schreibt man häufig:
Bsp.: Zylinderkoordinaten
Koordinatentransformation:
Volumenelement :
Bsp.: Kugelkoordinaten
Koordinatentransformation:
Volumenelement :
Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen
Differentialgleichungen
Eine Differential- bzw. Differenzialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion und deren
Ableitungen enthält. Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik kann durch
Differentialgleichungen und darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden.
Einige typische Beispiele sind:
•
•
•
•
•
in der Physik verschiedene Arten von Bewegungen, von Schwingungen oder das
Belastungsverhalten von Bauteilen,
in der Astronomie die Bahnen der Himmelskörper und die Turbulenzen im Innern der
Sonne,
in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum, bei Strömungen oder in Muskeln,
in der Chemie die Reaktionskinetik von Reaktionen,
in der Elektrotechnik das Verhalten von Netzwerken mit energiespeichernden
Elementen.
Um eine Differenzialgleichung zu lösen, muss eine Funktion y gefunden werden, die mit
ihren Ableitungen der Gleichung genügt. Die dazu notwendige Methodik ist für jeden
Gleichungstyp verschieden (siehe Beispiel unten). Auch die Eigenschaften dieser Lösung(en)
hängen vom Gleichungstyp ab – z. B. die Frage, ob es Mehrdeutigkeiten gibt oder ob
überhaupt eine Lösung existiert.
Als einfaches, lineares Beispiel möge die Differentialgleichung
dienen. Die Suche nach der Funktion, welche die DGL erfüllt, kann nach einem
Standardverfahren erfolgen und ergibt die allgemeine Lösung
worin die Konstanten A, B aus den Randbedingungen folgen.
Die Haupttypen von Differentialgleichungen
•
gewöhnliche Differentialgleichungen: In der Gleichung tauchen nur Ableitungen nach
einer Variablen auf
•
partielle Differentialgleichungen (engl. partial differential equations, PDEs): In der
Gleichung tauchen Ableitungen nach mehreren Variablen auf.

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