Physik II Merkzettel
Stand 18.03.2017
Elektrostatik
Coulomb
Gesetz:
𝐹⃗ =
1 𝑞1 𝑞2
Feld𝐹⃗ (𝑟⃗)
⃗⃗
𝑒⃗ ; [𝑞] = 𝐶 = 𝐴𝑠
stärke: 𝐸 (𝑟⃗) = 𝑞0 ;
4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑟
1
Kont.
𝐸⃗⃗ (𝑟⃗) =
∫
4𝜋𝜀0 𝑄
Raumladg.
Gauß:
𝐹𝑙𝑢𝑠𝑠 𝜙 =
1
⃗⃗|
|𝑟⃗−𝑅
2
𝑒⃗𝑟𝑅 𝑑𝑄 =
1
𝑟⃗−𝑅⃗⃗
⃗⃗
∫
3 ρ(𝑅 ) 𝑑𝑉;
4𝜋𝜀0 𝑉 |𝑟⃗−𝑅⃗⃗|
[𝐸] =
𝑉
𝑚
𝑑𝑄
ρ(𝑅⃗⃗) =
𝑑𝑉
=
𝑁
𝐶
𝑁
=
𝐴𝑠
=
1 𝑄
Punkt- ⃗⃗
𝐸=
𝑒⃗
ladung:
4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑟
𝑘𝑔 𝑚
𝐴 𝑠3
𝑄
Voll- ⃗⃗
E(𝑟) =
𝑒⃗
Kugel:
4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑟
Hohlkugel
⃗⃗𝑎𝑢ß𝑒𝑛 (𝑟) =
E
𝑅2 𝜎 1
𝑒⃗
𝜀0 𝑟 2 𝑟
𝜌(𝑠⃗)
𝑞𝑒𝑖𝑛
𝑞𝑒𝑖𝑛
1
⃗⃗ ∙ 𝐸⃗⃗ (𝑠⃗) = ∇
⃗⃗ ∙ (−∇ φ(𝑟⃗)) = ∆ φ(𝑠⃗) =
⃗⃗ ∙ 𝐸⃗⃗ 𝑑𝑉 = ∮ 𝜌 𝑑𝑉 𝜀0 ∇
⃗⃗ ∙ 𝐸⃗⃗ = 𝜌 Poisson: ∇
= ∮ 𝐸⃗⃗ 𝑑𝐴⃗ =
∮ ∇
𝜀0
𝜀0
𝜀0 𝑉
𝜀0 𝑉
𝐴
𝑊
Potential,
𝑟⃗
𝑘𝑔 𝑚2
φ(𝑟⃗) = − ∫∞ 𝐸⃗⃗ (𝑟⃗) 𝑑𝑟⃗ = 𝑝𝑜𝑡 ; 𝑈21 = φ(𝑟⃗2 ) − φ(𝑟⃗1 ) ; [𝑈] = [𝜑] = 𝑉 =
𝑞
𝐴 𝑠3
Spannung:
𝑄
3
𝑟2
𝑅2𝜎 1
𝜑
Hohlφ
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; φ𝑎𝑢ß𝑒𝑛 (𝑟) =
; φ𝑂𝑏𝑒𝑟𝑓𝑙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ⇒ 𝜎 = 𝜀0
kugel: 𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛
𝜀0 𝑟
𝑟
φ𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛 (𝑟) =
Arbeit,
Energie:
𝑊 = − ∫ 𝐹⃗ (𝑠⃗) 𝑑𝑠⃗ = −𝑞 ∫ 𝐸⃗⃗ (𝑠⃗) 𝑑𝑠⃗ = −𝑞 ∙ (φ(𝑟⃗2 ) − φ(𝑟⃗1 )) = −𝑞𝑈21
( −
2𝑅2
) ; φ𝑎𝑢ß𝑒𝑛 (𝑟) =
𝑄
Vollkugel:
4𝜋𝜀0 𝑅 2
𝑠⃗2
4𝜋𝜀0 𝑟
𝑠⃗2
𝑠⃗1
⃗⃗
⃗⃗ φ(𝑠⃗) 𝑤𝑒𝑖𝑙 ∮ 𝐸⃗⃗ (𝑠⃗) 𝑑𝑠⃗ = 0
𝐸⃗⃗ = −∇
𝑠⃗1
∆𝑊𝑝𝑜𝑡 = −𝑞𝑈21 ∆𝑊𝑘𝑖𝑛 = −∆𝑊𝑝𝑜𝑡 = 𝑞𝑈
Dipole
Dipol⃗ [𝐶𝑚] Energie:
moment: 𝑝⃗ = 𝑞𝑑
𝑊𝑝𝑜𝑡 = −𝑝⃗ ∙ 𝐸⃗⃗
Potential: 𝜙(𝑟⃗) =
𝑄 𝑑⃗ ∙ 𝑟⃗
1 𝑝⃗ ∙ 𝑟⃗ 𝑝 cos 𝜗 Drehmoment im
=
=
4𝜋𝜀0 𝑟 3
4𝜋𝜀0 𝑟 3
4𝜋𝜀0 𝑟 2 homogenen Feld
⃗⃗⃗ = 𝑝⃗ × 𝐸⃗⃗
𝑀
⃗⃗(𝐸⃗⃗ ) ⇒ 𝐹𝑥 = 𝑝𝑥 𝜕𝐸𝑥 + 𝑝𝑦 𝜕𝐸𝑥 + 𝑝𝑧 𝜕𝐸𝑥
𝐹⃗ = 𝑝⃗ ∙ ∇
Dipol im inhomogenen Feld:
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Kondensatoren
Kapazität
Plattenkondens.
𝐶=
𝐸=
𝑄
𝑈
𝜎
𝜀0
Parallel𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 Serie:
Schaltung 𝑔𝑒𝑠
[𝐹]
=
𝑄
𝜀0 𝐴
𝑈 = 𝐸𝑑 =
𝑄
𝜀0 𝐴
𝑑
𝐶 = 𝜀0
1
𝐶𝑔𝑒𝑠
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
Energie: 𝑊 =
𝑄2
2𝐶
1
= 𝐶𝑈2
2
𝑟𝑎 𝑟𝑖
Kugel- 𝐶 = 4𝜋𝜀
Zylinder- 𝐶 = 2𝜋𝜀 𝐿
Kugel: 𝐶 = 4𝜋𝜀0 𝑟
0 𝑟 −𝑟
0 ln𝑏⁄
𝑎
𝑖 kondens.
𝑎
kond.
𝐴
𝑑
Sonstiges:
𝜕𝑓(𝑟⃗)
𝜕
Nabla
Operator:
⃗⃗=
∇
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓(𝑟⃗)
Gradient
⃗⃗ f(𝑟⃗) =
grad f(𝑟⃗) = ∇
von f(𝑟⃗) :
( 𝜕𝑧 )
(
𝜕𝑣𝑧(𝑟⃗)
𝑣𝑥 (𝑟⃗)
𝑣𝑥 (𝑟⃗)
Rotation
rot (𝑣𝑦 (𝑟⃗)) = ⃗∇⃗ × (𝑣𝑦 (𝑟⃗)) =
von v
⃗⃗(𝑟⃗):
𝑣𝑧 (𝑟⃗)
𝑣𝑧 (𝑟⃗)
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𝜕𝑦
𝜕𝑣𝑥(𝑟⃗)
(
𝜕𝑧
𝜕𝑣𝑦 (𝑟⃗)
𝜕𝑥
−
−
−
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑟⃗)
𝜕𝑧
Divergenz
von v
⃗⃗(𝑟⃗):
𝑣𝑥 (𝑟⃗)
𝑣𝑥 (𝑟⃗)
⃗⃗ ∙ (𝑣𝑦 (𝑟⃗)) = 𝜕 𝑣𝑥(𝑟⃗) + 𝜕 𝑣𝑦(𝑟⃗) + 𝜕 𝑣𝑧(𝑟⃗)
div (𝑣𝑦 (𝑟⃗)) = ∇
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑣𝑧 (𝑟⃗)
𝑣𝑧 (𝑟⃗)
LaplaceOperator
von f(𝑟⃗)
⃗⃗ f(𝑟⃗))
∆ f(𝑟⃗) = div(grad(f(𝑟⃗))) = ⃗∇⃗ ∙ (∇
)
𝜕𝑣𝑦(𝑟⃗)
𝜕𝑧
𝜕𝑣𝑧(𝑟⃗)
𝜕𝑥
𝜕𝑣𝑥(𝑟⃗)
𝜕𝑦
)
-1-
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Physik I
Stand 18.03.2016
Koordinatensysteme
𝑟
𝑥 = 𝑟 sin 𝜗 cos 𝜑
∂(𝑥,𝑦,𝑧)
Kugel ( 𝜗 ) → ( 𝑦 = 𝑟 sin 𝜗 sin 𝜑 ) ; 𝑑𝑒𝑡 (
) = 𝑟 2 sin 𝜗
∂(𝜌,𝜑,𝑧)
𝜑
𝑧 = 𝑟 cos 𝜗
𝑥 = 𝑟 cos 𝜑
𝑟
𝑥
∂(𝑥,𝑦,𝑧)
Zylinder (𝜑) → ( 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 ) ; 𝑑𝑒𝑡 (
) = 𝑟; |(𝑦)| = √𝑟 2 + 𝑧 2
∂(𝜌,𝜑,𝑧)
𝑧
𝑧
𝑧
Kinematik
⃗⃗⃗⃗̇
𝜔
Kreis: 𝜔
⃗⃗ = ∫ 𝜔
⃗⃗̇ 𝑑𝑡 = 𝜔
⃗⃗0 + 𝜔
⃗⃗̇𝑡 ; 𝜑
⃗⃗ = ∫ 𝜔
⃗⃗ 𝑑𝑡 = 𝜑
⃗⃗0 + 𝜔
⃗⃗𝑜 𝑡 + 𝑡 2
2
𝑎⃗⃗
𝑣⃗ = ∫ 𝑎⃗ 𝑑𝑡 = 𝑣⃗0 + 𝑎⃗𝑡 ; 𝑠⃗ = ∫ 𝑣⃗ 𝑑𝑡 = 𝑠⃗0 + 𝑣⃗𝑜 𝑡 + 𝑡 2
2
Linear:
𝑑𝜑
Kreis→Lin. 𝜔 =
𝑑𝑡
= 2𝜋𝑓; 𝑠 = 𝑟𝜑; 𝑣 = 𝑟𝜔; 𝑟⃗ = (
𝑟 cos 𝜔𝑡
𝑑𝑟⃗
−𝑟𝜔 sin 𝜔𝑡
) ; 𝑣⃗ = = (
);
𝑑𝑡
𝑟 sin 𝜔𝑡
+𝑟𝜔 cos 𝜔𝑡
1
𝑣
Freq.: 𝑓 = 𝑇 = 𝜆
Zentrif.besch: 𝑎𝑧 = 𝑟𝜔2
Newton
Impuls:
𝑘𝑔 𝑚
𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗; [
]
𝑠
Kraft:
𝐹⃗ =
Arbeit:
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑠⃗ ; [𝐽] = [𝑁𝑚] = [𝑊𝑠] = [
Energie:
𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑚𝑔ℎ; 𝐸𝑝𝑜𝑡 =
Leistung:
𝑃=
Drehimpuls:
⃗⃗ = 𝑟⃗ × 𝑝⃗ = 𝑟𝑝 = 𝑟 ∙ 𝑚𝑣 = 𝑟 ∙ 𝑚 ∙ 𝑟𝜔 = 𝑚𝑟 2 𝜔; [
𝐿
𝑘𝑔 𝑚2
]
𝑠
⃗⃗
𝑑𝐿
𝑘𝑔 𝑚2
Dreh⃗⃗ =
𝐷
= 𝑟⃗ × 𝐹⃗ ; [𝑁𝑚] = [ 2 ]
moment
𝑑𝑡
𝑠
𝑑𝑝⃗
𝑑𝑣⃗
𝑑𝑚
𝑑𝑚 𝑘𝑔 𝑚
=𝑚
+ 𝑣⃗
= 𝑚𝑎⃗ + 𝑣⃗
; [ 2 ] , [𝑁]
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑠
𝑘𝑔 𝑚2
]
𝑠2
⃗⃗ 𝑑𝜑
𝑊 = ∫𝐷
Arbeit:
𝑚𝑀𝐺
𝑚𝑣 2
; 𝐸𝑘𝑖𝑛 =
𝑟
2
𝑑𝑊 ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑠⃗
𝐽
𝑘𝑔 𝑚2
=
= 𝐹⃗ ∙ 𝑣⃗; [𝑊] = [ ] = [ 3 ]
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑠
𝑠
⃗⃗ ∙ 𝜔
Leistung: 𝑃 = 𝐷
⃗⃗
Spezielle Relativitätstheorie
1
𝑣
𝛾=
;𝛽=
2
𝑐
𝑣
√1 − 2
𝑐
Gamma:
Ort:
𝑣𝑦′
𝑣𝑥′ + 𝑣
𝑣𝑧′
𝑣𝑥 =
; 𝑣𝑦 =
; 𝑣𝑧 =
𝑣
𝑣
𝑣
𝑥 = 𝛾(𝑥 ′ + 𝑣𝑡′) 𝑥 ′ = 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡)
1 + 𝑣𝑥′ 2
1 + 𝑣𝑥′ 2
1 + 𝑣𝑥′ 2
𝑐
𝑐
𝑐
𝑦 = 𝑦‘
Geschw.
𝑦′ = 𝑦
𝑣𝑦
𝑣𝑥 − 𝑣
𝑣𝑧
𝑣𝑥 ′ =
𝑧′ = 𝑧
𝑧 = 𝑧′
𝑣 ; 𝑣𝑦 ′ =
𝑣 ; 𝑣𝑧 ′ =
𝑣
1 − 𝑣𝑥 2
1 − 𝑣𝑥 2
1 − 𝑣𝑥 2
𝑐
𝑐
𝑐
Zeitpunkt:
𝑣 ′
𝑥 );
𝑐2
𝑣
′
𝑡 = 𝛾 (𝑡 − 2 𝑥)
𝑐
Energie:
𝐸 = 𝐸0 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 ; 𝐸0 = 𝑚0 𝑐 2 ; 𝐸𝑘𝑖𝑛 = (𝑚 − 𝑚0 )𝑐 2 = (𝛾𝑚0 − 𝑚0 )𝑐 2
𝑡 = 𝛾 (𝑡 ′ +
Dauer: 𝜏 = 𝛾𝜏0
Masse: 𝑚′ = 𝛾𝑚
Länge: 𝑙 =
1+𝛽
1−𝛽
𝑓0
Frequenz 𝑓𝐵 = 𝑓0 √
; 𝑓 = 𝑓0 √
;𝑓
=
1−𝛽 𝑅
1 + 𝛽 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝛾
𝑙0
𝛾
Schwerpunktsystem
𝑟⃗𝑠 =
1
𝑀
∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟⃗𝑖
𝑣⃗𝑠 =
1
𝑀
∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 =
𝑝⃗𝑔𝑒𝑠
𝑀
∑ 𝑝𝑖𝑠 = 0
𝑣⃗𝑖 = 𝑣⃗𝑖𝑠 + 𝑣⃗𝑠
𝑣⃗𝑖𝑠 = 𝑣⃗𝑖 − 𝑣⃗𝑠
Schwerpunkt eines homogenen
1
𝑠 = ∫ 𝑘 𝑑𝑉
Körpers K entlang der Koordinate k: 𝑘 𝑉𝐾 𝐾
Trägheitsmoment
𝑚
𝐼 = ∫𝐾 𝑟 2 𝑑𝑚 = 𝜌 ∫𝐾 𝑟 2 𝑑𝑉 = ∫𝐾 𝑟 2 𝑑𝑉 ; [𝑘𝑔 𝑚2 ]
𝑉
𝐾
𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑟 2 sin 𝜗 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜗 = 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝑧
I zusammensetzen aus Teilstücken mit bekanntem TM dI = f(K)dm; Rot.-Achse „passend“:
2𝜋
𝑀
∫ f(𝐾) 𝑑𝑉
𝑉 𝐾
𝑘𝑒
𝐼
𝑀
𝐼
I zusammensetzen aus Teilstücken parallel zur Rot.-Achse R mit
𝐼′ = ∫𝑘 ( + 𝑘 2 ) 𝑑𝑚 =
∫ ( + 𝑘 2 ) 𝑑𝑘
𝑑𝑚
𝑘𝑒 −𝑘𝑎 𝑘𝑎 𝑑𝑚
bekanntem Trägheitsmoment I dm entlang einer Koordinate k⊥R:
Steiner: 𝐼′ = 𝐼 + 𝑚𝑟 2
𝜋
𝐼 = ∫𝐾 f(𝐾) 𝑑𝑚 = 𝜌 ∫𝐾 f(𝐾) 𝑑𝑉 =
𝑅
4
𝑉𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙 = ∫𝜗=0 ∫𝜑=0 ∫𝑟=0 𝑟 2 sin 𝜗 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜗 = 𝜋𝑅 3
3
ℎ
2𝜋
𝑅
𝑉𝑍𝑦𝑙 = ∫𝑧=0 ∫𝜑=0 ∫𝑟=0 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝑧 = 𝜋𝑅 2 ℎ
1
Zusammenhang
𝐿𝐼𝐼 = 𝐼𝜔
𝐸 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑟𝑜𝑡 ; 𝐸𝑟𝑜𝑡 = 𝐼𝜔2
mit Drehimpuls:
2
Massepunkt,
Ring (∅-Achse),
𝑚
𝑚
Hohl𝐼 = (𝑟2 2 − 𝑟1 2 )
Ring,
Kreisscheibe, 𝐼 = 2 𝑟 2
𝐼 = 𝑚𝑟 2
2
zylinder:
Zylindermantel:
Vollzylinder:
𝑚 2
Quader
2
(𝑎 + 𝑏2 )
𝐼 = 𝑚𝑟 2
Kugelschale
𝐼 =
𝑚 2 (z-Achse): 𝑧
Kreisscheibe
3
12
𝐼= 𝑟
4
(∅-Achse)
2
𝐼 = 𝑚𝑟 2
Kugel:
Energie
𝑂𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙 = 4𝜋𝑅 2
Zusammenhang
mit Drehmoment:
𝐷𝐼𝐼 = 𝐼𝜔̇
𝑚 2
Stab (Achse
𝐼=
𝑙
durch MP)
12
𝑚
Stab, Achse
𝐼 = 𝑙2
durch Ende:
3
Vollzylinder, Achse ⊥
Körperachse durch MM
𝐼=
𝑚 2 𝑚 2
𝑟 + 𝑙
4
12
5
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-2-
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Elastische Körper
Hookesches
Gesetz
𝐹 = 𝐸𝐴
Biegepfeil
𝑠=
∆𝐿
𝐹
∆𝐿
⇔ =𝐸
⇔𝜎 = 𝐸∙𝜀
𝐿
𝐴
𝐿
𝐸𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑧𝑖𝑡ä𝑡𝑠𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 [𝐸] =
𝑠
𝐹
𝑙
𝐿3
Beiderseits
(𝑤𝑒𝑖𝑙 𝑎𝑢𝑓 2𝑥 )
𝐹 eingespannt 𝑠𝑚𝑎𝑥 =
16
2
2
3𝐸𝐵
𝜀
1
𝑊𝐷𝑒𝑓 = 𝑉 ∫ 𝜎 𝑑𝜀 = 𝐸𝑉𝜀 2
2
0
Dehnungsarbeit
𝜋
𝜋
Rechteck𝑏𝑑 3 𝑏 = ∆𝑦 Rund𝐵 = 𝑅 4 Rohr 𝐵 = (𝑅14 − 𝑅24 )
𝐵
=
balken:
4
4
12 𝑑 = ∆𝑧 Balken:
Flächenträg𝐵 = ∬ 𝑧 2 𝑑𝑦 𝑑𝑧 ; [𝑚4 ]
heitsmoment
Schubmodul 𝐺 =
𝑁
𝑁
; 𝑍𝑢𝑔𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 [𝜎] = 2 ; 𝑅𝑒𝑙. 𝐷𝑒ℎ𝑛𝑢𝑛𝑔 [𝜀] = 1
𝑚2
𝑚
𝜏
𝐹
𝑚𝑖𝑡 𝜏⃗ = ; 𝜏 … 𝑆𝑐ℎ𝑒𝑟𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔
𝛼
𝐴
Flüssigkeiten und Gase
Gasgleichung 𝑝𝑉 = 𝑁𝑘𝐵 𝑇
ideales Gas
= 𝑛𝑅𝑇
Statischer
Druck:
𝑝=
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
𝑅 = 𝑁𝐴 𝑘𝐵
𝑁 = 𝑛 ∙ 𝑁𝑎
; [𝑃𝑎] = [
𝑁
𝑚2
]= [
Auf- 𝐹⃗𝐴 = −𝐹⃗𝐺𝐹𝑙 ; Eisberg:
𝑊
trieb 𝜌𝐸𝑖𝑠 𝑉𝐸𝑖𝑠 𝑔 = 𝜌𝑊 𝑉𝐸𝑖𝑠
𝑔
−𝑝0 𝑔ℎ
Hydrost
Barom.
𝑝(𝑧) = 𝜌𝑔(𝐻 − 𝑧)
𝑝
Druck
Höhenf. 𝑝(ℎ) = 𝑝0 𝑒 0
𝑘𝑔
𝑚𝑠 2
⃗⃗p Gesetz v. HagenEuler- 𝑑𝑢⃗⃗ 𝜕𝑢⃗⃗
∇
⃗⃗)𝑢
= + (𝑢
⃗⃗ ∙ ∇
⃗⃗ = 𝑔 −
𝜌 Poiseuille: Strö] Gl. ide- 𝑑𝑡 𝜕𝑡
ale Fl. 𝜂 … 𝑑𝑦𝑛. 𝑉𝑖𝑠𝑘𝑜𝑠𝑖𝑡𝑎̈ 𝑡 [𝑃𝑎 ∙ 𝑠] mung in Rohren
𝐼≡
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝜋𝑟 4
8𝜂𝑙
𝑚3
(𝑝1 − 𝑝2 ); [
𝑠
]
𝑝 … 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒𝑟 𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘
Dynamischer
1
1
𝐸 = 𝐸𝑝𝑜𝑡 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑝𝑉 + 𝜌𝑉𝑢2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. → 𝑝 + 𝑝𝑠 = 𝑝 + 𝜌𝑢2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ;
𝑢1 𝐴1 = 𝑢2 𝐴2
2
2
𝑝𝑠 … 𝑆𝑡𝑎𝑢𝑑𝑟𝑢𝑐𝑘
Druck:
Betrachtung auf Teilchenebene
3
Maxwellsche
𝑚𝑣 2
Wahrsch.
𝑚
2𝑘𝐵 𝑇
2
−
Geschw.
f(𝑣) = (
) ∙ 4𝜋𝑣 2 𝑒 2𝑘𝐵𝑇 Geschw. 𝑢𝑤 = arg(max(f(𝑣))) = √
2𝜋𝑘
𝑇
𝑚
𝐵
Verteilung
Mittleres
∞
8𝑘𝐵 𝑇
2
3𝑘𝐵 𝑇
𝑣̅ = ∫ 𝑣 ∙ f(𝑣) 𝑑𝑣 = √
=
𝑢𝑤 Geschw. 𝑣𝑟𝑚𝑠 = √𝑣̅ 2 = √
𝜋𝑚
𝑚
𝜋
√
0
quadrat
Mittlere
Geschw.:
Mittlere
kinet.
Energie
𝐸̅𝑘𝑖𝑛 =
𝑓
𝑚
𝑘 𝑇 = 𝑣̅ 2
2 𝐵
2
1
𝑓
𝑓
̅ = 𝑁𝑘𝐵 𝑇 (𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑓ü𝑟 𝑁 𝑇𝑒𝑖𝑙𝑐ℎ𝑒𝑛)
𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑘𝑏 𝑇 (𝑝𝑟𝑜 𝐹𝑟𝑒𝑖ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑔𝑟𝑎𝑑); 𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑘𝑏 𝑇 (𝑝𝑟𝑜 𝑇𝑒𝑖𝑙𝑐ℎ𝑒𝑛) → 𝑈
2
2
2
𝑐𝑝
∆𝑄
∆𝑄 … 𝑧𝑢𝑔𝑒𝑓. 𝑊ä𝑟𝑚𝑒
Spez. Wärme
p=
𝑓
∆𝑄 = ∆𝑈 + ∆𝑊 = 𝑐𝑣 ∆𝑇
∆𝑄 = ∆𝑈 = 𝑐𝑣 ∆𝑇;
𝑐 = 𝑁𝑘
𝑐𝑝 =
= 𝑐𝑣 + 𝑅 𝑐 = 𝜅
∆𝑈 … 𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑣 2 𝐴 𝐵 const.:
V=const.
+ 𝑅∆𝑇
∆𝑇
𝑣
Kalorische
Zustandsgl.
Freiheitsgr.
Fluide
2 (𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑀𝑜𝑙𝑒𝑘ü𝑙)
2(3𝑛 − 5 )(𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑀𝑜𝑙𝑒𝑘ü𝑙)
; 𝑓𝑣𝑖𝑏 = {
𝑓 = 𝑓𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 + 𝑓𝑟𝑜𝑡 + 𝑓𝑣𝑖𝑏 𝑓𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 3; 𝑓𝑟𝑜𝑡 = {
3 (𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑙𝑖𝑛. 𝑀𝑜𝑙𝑒𝑘ü𝑙)
2(3𝑛 − 6) (𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑙𝑖𝑛. 𝑀𝑜𝑙𝑒𝑘ü𝑙)
Freiheitsgr.
Festkörper
𝑓 = 𝑓𝑣𝑖𝑏 = 3𝑛 − 6
Mittlere
Stoßzeit
𝜏≅
1
√2𝑛𝜎𝑣𝑟𝑚𝑠
; 𝑛=
𝑁
; 𝜎 = 𝜋(𝑟1 + 𝑟2 )2 = 𝜋𝑑 2
𝑉
1
Mittlere freie
𝛬≅
Weglänge
√2𝑛𝜎
Reale Gase (Van-der-Waals-Gleichung)
(𝑝 +
= 𝑅𝑇
𝑛2 𝑎
) (𝑉𝑚 − 𝑏)
𝑉𝑚2
Kalorische
Zustandsgleichung:
𝑎 … 𝑆𝑡𝑜𝑓𝑓𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑎 Krit. 𝑉𝑘
8𝑎 Krit.
Krit.
4𝜋 3
𝑝 =
𝑇 =
𝑏 = 4𝑁𝐴 𝑉𝑎 = 4𝑁𝐴
𝑟𝑎 Temp.: 𝑘 27𝑅𝑏 Druck 𝑘 27𝑏2 Vol. = 3𝑏
3
𝑈 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑝𝑜𝑡 =
𝑓
𝑎
𝑅𝑇 −
2
𝑉
𝑝𝑘 𝑉𝑘
𝑅𝑇𝑘
3
=
8
Oberh. der kritischen
Temp. kann Gas nicht
verflüssigt werden.
𝑎 Bei Tb verh. sich Gas
Boyle
𝑇 =
Temp. 𝑏 𝑏𝑅 annähernd ideal
𝑑𝑝
Molare
𝛬
=𝑇
(𝑉 − 𝑉𝑓𝑒𝑠𝑡 )
Schmelzw. 𝑠𝑐ℎ𝑚
𝑑𝑇 𝑓𝑙
Diffusion in Gasen und Wärmeleitung
Erstes Ficksches Gesetz
(DIffusion in x-Richtung)
𝑗𝑥 ≡
j…Teilchenstromdichte [
1
𝑚2 𝑠
𝑑𝑁
𝑒̂
𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝐴
= −𝐷
𝑑𝑛
𝑑𝑥
;𝐷 =
𝛬𝑣̅
3
=
1
𝑛𝜎
√
8𝑘𝑇
9𝜋𝑚
]; N… Teilchenzahl; n…Teilchenkonz. [
1
𝑚3
𝑊
𝑑𝑄
𝑑𝑇 𝐽 Wärmelei
[𝜆] = [
]
= −𝜆𝐴
;[ ]
𝐾𝑚
𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑠 t-fähigkeit
Wärmestrom:
𝐼=
Wärmewiderst. / m²
1
1
1
=∑ +∑
𝑘𝑔𝑒𝑠
𝑘𝑖
𝜅𝑖
𝑘𝑔𝑒𝑠
∆𝑇𝑖
1/𝑘𝑖
=
=
∆𝑇𝑔𝑒𝑠 1/𝑘𝑔𝑒𝑠
𝑘𝑖
allgemein:
𝑗⃗ = −𝐷 grad 𝑛
𝑚2
]; D…Diff.konstante [
𝑠
2. Ficksches Gesetz
(Diffiusionsgleichung)
𝜕 n(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
=𝐷
𝜕2 n(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥 2
]; Λ…mittl. freie Weglänge; σ…Stoßquerschnitt
𝑊
𝜆
𝑊
kWärmeüber𝜅 ≙ 𝑘; [𝜅] = [
]
𝑘= ; [
]
Wert
𝐾𝑚2
𝑑 𝐾𝑚2 gangszahl
Wärmestromdichte
𝑞 = 𝑘∆𝑇; [
𝑊
]
𝑚2
Sonstiges
Kepler:
𝑇1 2
𝑇2 2
=
𝑎1 3 𝑇 2 4𝜋 2
;
=
𝑎2 3 𝑎3 𝐺𝑀
|𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗| = |𝑎⃗| ∙ |𝑏⃗⃗| ∙ sin 𝛼
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Wärme- ∆𝐿
1
Reibung: 𝐹𝑅 = 𝜇𝐹𝑁 ausdeh= 𝛼∆𝑇; [𝛼] = [ ]
𝐿0
𝐾
nung
𝑉 = 𝑉0 (1 + 𝛼∆𝑇)3
𝑉 ≈ 𝑉0 (1 + 𝛾∆𝑇)
𝛾 = 3𝛼
|𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗| = |𝑎⃗| ∙ |𝑏⃗⃗| ∙ cos 𝛼
-3-
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Thermodynamik
Fundamen- 𝑑𝑈 = 𝑑 ′ 𝑄 + 𝑑 ′ 𝑊
talgleich𝑑𝑈 = 𝑑 ′ 𝑊 − 𝑝 𝑑𝑉
𝑑𝑈 = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝 𝑑𝑉
ung 1.HS
𝑑𝑈 … 𝑍𝑢𝑛𝑎ℎ𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑈 … 𝑍𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑠𝑔𝑟öß𝑒
𝑑 ′ 𝑄 … 𝑍𝑢𝑔𝑒𝑓𝑢̈ ℎ𝑟𝑡𝑒 𝑊ä𝑟𝑚𝑒
𝑄 … 𝑘𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑍𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑠𝑔𝑟öß𝑒
𝑑 ′ 𝑊 … 𝑍𝑢𝑔𝑒𝑓𝑢̈ ℎ𝑟𝑡𝑒 𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡
𝑊 … 𝑘𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑍𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑠𝑔𝑟öß𝑒
Isochor
V=const.
𝑑′𝑊 = 0
(𝑑𝑈)𝑉 = 𝑑 ′ 𝑄
= 𝑐𝑣 𝑑𝑇
𝜕𝑈
𝑐𝑣 = ( ) … 𝑠𝑝𝑒𝑧. 𝑊ä𝑟𝑚𝑒
𝜕𝑇 𝑉
𝑝2 𝑇2
=
𝑝1 𝑇1
isobar
p=const.
(𝑑𝐻)𝑝 = 𝑑 ′ 𝑄
Zugeführte Wärme wird vollständig zur
Erhöhung der Enthalpie H=U+pV verbraucht
isotherm
T=const.
𝑑𝑈 = 0
𝑑 ′ 𝑄 = −𝑑 ′ 𝑊
𝑑𝐻 … 𝑍𝑢𝑛𝑎ℎ𝑚𝑒 𝐸𝑛𝑡ℎ𝑎𝑙𝑝𝑖𝑒
𝑑𝐻 = 𝑑 ′ 𝑄 + 𝑉 𝑑𝑝
𝑉1
𝑝2
∆𝑊 = 𝑁𝑘𝐵 𝑇 ln = 𝑁𝑘𝐵 𝑇 ln
𝑉2
𝑝1
adiabat.
d’Q=0
𝑑𝑈 = 0
𝑑𝑈 = 𝑑 ′ 𝑊
polytrop
2. HS
3. HS
Entropie
Zugeführte Wärme wird vollständig zur
Erhöhung von U (und somit von T) verbraucht
𝑝1 𝑉1 = 𝑝2 𝑉2
Zugeführte Wärme wird vollständig in Arbeit umgewandelt
1
𝑐𝑝 𝑓 + 2
𝑁𝑘𝐵
𝑇𝑉 𝜅−1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝜅= =
(𝑇 − 𝑇1 )
∆𝑊𝑎𝑑 =
𝑝𝑉 𝜅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑐𝑣
𝑓
𝜅−1 2
𝑇1
𝑉0 𝜅−1
𝑝1 1−𝜅
=( )
=( )
𝑇0
𝑉1
𝑝0
𝑛−𝜅
𝑛
(𝑇 − 𝑇1 )
𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ; 𝑛 = 0 … 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟; 𝑛 = 1 … 𝑖𝑠𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚; 𝑛 → ∞ … 𝑖𝑠𝑜𝑐ℎ𝑜𝑟; 𝑛 = 𝜅 … 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡 ∆𝑄 = 𝑚𝑐𝑣
𝑛−1 2
|∆𝑊|
𝑇𝑘
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 = 𝐸𝑥𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 + 𝐴𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 Carnot-Prop.: ∆𝑄𝑤 + ∆𝑄𝑘 = 0
𝑑′ 𝑄
𝜂=
=1−
<1
Clausius: ∮
=0
𝑇𝑤
𝑇𝑘
𝑇
∆𝑄𝑤 = −∆𝑊 − ∆𝑄𝑘
𝑄𝑧𝑢𝑔𝑒𝑓
𝑇𝑤
𝑤𝑒
𝑑′ 𝑄
∆𝑆 = 𝑘𝐵 ln
≥ 0; 𝑆 = 𝑘𝐵 ln 𝑊 𝑊 … 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑚ö𝑔𝑙. 𝑍𝑢𝑠𝑡ä𝑛𝑑𝑒; 𝑆 … 𝑍𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑠𝑔𝑟öß𝑒
𝑑𝑆 = 𝑟𝑒𝑣 ; ∮ 𝑑𝑆 = 0
𝑇
𝑤𝑎
Fundamentalgleich
(„FG“)
Enthalpie H
𝑑𝑈 = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝 𝑑𝑉
𝐻 ≡ 𝑈 + 𝑝𝑉 ⇒
𝑑𝐻 = 𝑇 𝑑𝑆 + 𝑉 𝑑𝑝
Helmholtz‘sche freie Energie F Freie Enthalpie („Gibbs’sche freie Energie“) G
𝑎𝑏𝑙.,𝐹𝐺 𝑒𝑖𝑛𝑠𝑒𝑡𝑧.
𝑎𝑏𝑙.,𝐹𝐺 𝑒𝑖𝑛𝑠𝑒𝑡𝑧.
S
𝑎𝑏𝑙.,𝐹𝐺 𝑒𝑖𝑛𝑠𝑒𝑡𝑧.
𝐹 ≡ 𝑈 − 𝑇𝑆 ⇒
𝑑𝐹 = −𝑆 𝑑𝑇 − 𝑝 𝑑𝑉
𝐺 ≡ 𝑈 + 𝑝𝑉 − 𝑇𝑆 ⇒
𝑑𝐺 = −𝑆 𝑑𝑇 + 𝑉 𝑑𝑝
U
V
H
P
F
G
T
Schwingungen
Freie ungedämpfte Oszillatoren
Mathematisches Pendel
Physikalisches Pendel
Torsionspendel
𝑔 𝐼𝜑̈ = −𝑚𝑔𝑑 sin 𝜑
Feder- 𝑚𝑎 = −𝐷𝑥
𝐷
𝑔
𝑚𝑎 = −𝑚𝑔 sin 𝜑
𝑚𝑔𝑑 𝐷 = −𝑇𝜑
𝜔0 = √ = √
𝜔0 = √
𝜔0 = √
2
2
𝑚
𝑥𝑟𝑢ℎ𝑒 𝜑̈ + 𝜔0
𝜑=0
𝐼
𝜑̈ + 𝜔02 𝜑 = 0
pendel 𝑥̈ + 𝜔02 𝑥 = 0
𝑙 𝜑̈ + 𝜔0 𝜑 = 0
Freie gedämpfte Oszillatoren
Stokesch 𝑚𝑎 = −𝑏𝑣 − 𝐷𝑥
𝐷
e Reibung 𝑥̈ + 2𝛾𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 0 𝜔0 = √𝑚 ; 𝛾 =
𝑏
2𝑚
𝜔0 = √
Schwache Dämpfung: 𝛾 < 𝜔0 ⇔ 𝜆1,2 = −𝛾 ± 𝑖𝜔
Log. Dekrement
x(𝑡) = 𝑒 −𝛾𝑡 (𝑐1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑);
𝑐
𝐴 = √𝑐12 + 𝑐22 ; 𝜑 = − arctan 2 ; 𝜔 = √𝑤02 − 𝛾 2
𝛿 = 𝛾𝑇 = ln
𝑛𝑎𝑐ℎ 𝜏 =
𝑐1
1
𝑇
𝑙
x(𝑡)
x(𝑡+𝑇)
𝑖𝑠𝑡 𝐴 = 𝐴0
𝑒
1
𝑒
Starke Dämpfung 𝛾 > 𝜔0 ; 𝜆1,2 = −𝛾 ± √𝛾 2 − 𝜔02 Aperiodischer Grenzfall: 𝛾 = 𝜔0 ; 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆
x(𝑡) = 𝑒 −𝛾𝑡 (𝑐1 𝑒 𝛼𝑡 + 𝑐2 𝑒 −𝛼𝑡 ); 𝛼 = √𝛾 2 − 𝜔02
x(𝑡) = 𝑒 −𝛾𝑡 (𝑐1 + 𝑐2 𝑡)
Erzwungene Schwingung
𝑚𝑎 = −𝑏𝑣 − 𝐷𝑥 + 𝐹𝑜 cos 𝜔𝑡
𝑚𝑎 = −𝑏𝑣 − 𝐷𝑥 + 𝐹𝑜 cos 𝜔𝑡
𝑥̈ + 2𝛾𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 𝐾 cos 𝜔𝑡 ;
𝐹0 /𝑚
x(𝑡) = 𝐴1 𝑒 −𝛾𝑡 cos(𝜔1 𝑡 + 𝜑) + 𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
2𝛾𝜔
𝜑 = arctan (− 2 2 ) 𝐴2 (𝜔) = √(𝜔2−2𝛾2)+(2𝛾𝜔)2
2
2
2
2
𝜔
−𝜔
0
0
𝐾 = 𝐹0 /𝑚 ; 𝜔1 = √𝜔0 − 𝛾 ; 𝜔𝑅 = √𝜔0 − 2𝛾
Phasenverschiebung
Amplitude
Wellen
2
1 𝜕2𝜉
Ebene Welle 𝜕 𝜉
2𝜋
= 2
ξ(𝑡, 𝑧) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧) ; 𝑘 =
(𝑊𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙)
2
𝜆
in z-Richtung: 𝜕𝑧
𝑣𝑝ℎ 𝜕𝑡 2
𝐾𝑚 … 𝐾𝑜𝑚𝑝. 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙
Gassäule (nur 2
𝐾
𝜅𝑝
𝑣 = 𝑚 = ; 𝜅 … 𝑐𝑝 𝐴𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡. 𝐼𝑑𝑥.
𝜌
𝜌
longitudinal!) 𝑝ℎ
𝑐
𝑣
𝜔
𝑣𝑝ℎ =
Stehende
Welle
Freies Ende: ξ(𝑧, 𝑡) = 2𝐴 cos(𝑘𝑛 𝑧) cos(𝜔𝑡)
Festes Ende: ξ(𝑧, 𝑡) = 2𝐴 sin(𝑘𝑛 𝑧) sin(𝜔𝑡)
Doppler:
1+𝑣 /𝑐
Beob. zur Quelle
𝑓 = 𝑓0 𝑏
1−𝑣𝑠 /𝑐
Sender zum Beob.
𝑘
;𝑘 =
𝜆
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2
𝑣𝑝ℎ
=
𝐸 Transversal in 2
𝐺𝑚
𝑣 =
𝜌 festem Körper: 𝑝ℎ
𝜌
𝐹 𝜎
𝑚 𝑝 𝑝𝑉 𝑛𝑘𝑇 𝑘𝑇
Transversal, 2
𝑣 = = ;𝜇=
=
=
=
⇒ 𝑣𝑟𝑚𝑠 = 𝑣𝑝ℎ √3
gesp. Saite: 𝑝ℎ 𝜇 𝜌
𝑙 𝜌 𝑛𝑀 𝑛𝑚
𝑚
Dispersion:
vph = f(λ)
2𝜋
Longitudinal in
festem Körper:
Gruppen𝑑𝑣
𝑑𝜔
𝑣 =
= 𝑣𝑝ℎ − 𝜆 𝑝ℎ
𝑑𝜆
geschw.: 𝐺 𝑑𝑘
𝑘𝑛 =
2𝜋
𝜆
2x offen ∨ 2x fest: 𝜆𝑛 =
1x offen ∧ 1x fest: 𝜆𝑛 =
Beob. von Quelle weg
1−𝑣 /𝑐
𝑓 = 𝑓0 𝑏
1+𝑣𝑠 /𝑐
Sender von Beob. weg
-4-
Reflektor bewegt
sich zum Beob.
2𝑙
𝑛
; 𝑓𝑛 = 𝑛
4𝑙
2𝑛−1
𝑣
2𝑙
; 𝑛 ∈ ℕ+
𝑣
; 𝑓𝑛 = (2𝑛 − 1) ; 𝑛 ∈ ℕ+
𝑓 = 𝑓0
4𝑙
𝑐+𝑣
𝑐−𝑣
𝑐−𝑣
vom Be𝑓 = 𝑓0
𝑐+𝑣
ob. weg:
[email protected]

Übung 1 - Workgroup Prof. Saalfrank

Propädeutische Analysis I

20 - homeweb2.unifr.ch

Übungsblatt 5 - Mathematisches Institut der Universität Bonn

Blatt 6 - Universität zu Köln

Blatt2 - II. Institut für Theoretische Physik

1.4B. Rollkurven in Parameterdarstellung

¨Ubungen zur Mathematik 2 für Ingenieure (Master) Studiengang

0. ¨Ubung 1. Differentiation 2. Integration

Aufgabenblatt 3 - Institut für Theoretische Physik