Karlheinz Gröchenig Peter Elbau Partielle Differentialgleichungen Fakultät für Mathematik Universität Wien 4. März 2016 Übungsblatt 1 1. Wiederholen Sie die Begriffe des Gradienten einer Funktion (grad f oder ∇f ), der Divergenz und der Rotation eines Vektorfelds, sowie des Laplace-Operators ∆. Beweisen Sie die folgenden Identitäten: (a) Für alle u ∈ C 2 (Rn ) gilt ∆u = div(∇u), (b) für alle u, v ∈ C 2 (Rn ) gilt ∆(uv) = v∆u + 2 h∇u, ∇vi + u∆v, (c) für alle C 1 -Vektorfelder u, v : R3 → R3 gilt div(u × v) = hrot u, vi − hu, rot vi , (d) für alle C 2 Vektorfelder u : R3 → R3 gilt rot(rot u) = ∇(div u) − ∆u. 2. Sei u ∈ C 2 (Rn ). (a) Zeigen Sie, daß für jedes lokale Maximum x ∈ Rn die Beziehungen ∇u(x) = 0 und ∆u(x) ≤ 0 gelten. (b) Folgt umgekehrt aus ∇u(x) = 0 und ∆u(x) < 0 in einem Punkt x ∈ Rn , daß x ein lokales Maximum von u ist? 3. Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter λ > 0 und den Randwerten u0 , u1 ∈ R alle Lösungen u ∈ C 2 ([0, 1]) (a) des Anfangwertproblems u00 (t) + λu(t) = 0, u0 (0) = u1 , u(0) = u0 , 1 t ∈ (0, 1), (b) des Dirichletproblems u00 (t) + λu(t) = 0, u(0) = u0 , u(1) = u1 , t ∈ (0, 1), (c) des gemischten Randwertproblems u00 (t) + λu(t) = 0, u(0) = u0 , u0 (1) = u1 . t ∈ (0, 1), 4. Sei das Vektorfeld u : R3 \ {0} → R3 gegeben durch u(x) = x , |x|3 x ∈ R3 \ {0}. (a) Berechnen Sie das Oberflächenintegral (den Fluß) Z hu(x), n(x)i dS(x) ∂Br (0) des Vektorfelds u durch die Sphäre ∂Br (0) = {x ∈ R3 | |x| = r}, wobei wir mit n : ∂Br (0) → R3 das äußere Einheitsnormalenvektorfeld auf ∂Br (0) bezeichnen. Wiederholen Sie die Definition des Oberflächenintegrals und diskutieren Sie Methoden aus der höheren Analysis, um solche Integrale zu berechnen. (b) Sei D ⊂ R3 eine beschränkte, offene, den Nullpunkt enthaltende, zusammenhängende Menge mit glattem Rand ∂D. Bestimmen Sie den Fluß des Vektorfelds u durch D: Z hu(x), ν(x)i dS(x), ∂D 3 wobei ν : D → R das äußere Einheitsnormalenvektorfeld auf ∂D bezeichnet. —– 2