Übungsblatt 2 - Institut für Mathematik

Humboldt-Universit¨
at zu Berlin
Institut f¨
ur Mathematik
Theorie u. Verfahren der nichtglatten Optimierung
Somersemester 2015
Prof. Dr. T. Surowiec
¨
2. Ubungsblatt
Donnerstag, 30.04.2015
Aufgabe 1. (10 Punkte) Eine mengenwertige Abbildung Φ : Rn → P(Rn ) heißt monoton, falls
folgende Bedingung gilt:
hξ1 − ξ2 , x1 − x2 i ≥ 0, ∀x1 , x2 ∈ Rn , ∀ξ1 ∈ Φ(x1 ), ∀ξ2 ∈ Φ(x2 ).
Sei f : Rn → R eine konvexe Funktion. Zeigen Sie, dass das Subdifferential von f monoton ist.
Beweisen Sie weiterhin, dass folgende Funktionen konvex sind:

√
x < 0,
 0,
− x, x ≥ 0,
1,
x = 0,
g(x) :=
h(x) :=
+∞,
sonst.

+∞, sonst.
Bestimmen Sie ∂g und ∂h.
Aufgabe 2. (10 Punkte) Sei S ⊂ Rn eine offene konvexe Menge und f : S → R zweimal stetig
differenzierbar auf S. Zeigen Sie, dass f genau dann konvex ist, wenn die Hesse-Matrix von f positiv
semidefinit auf ganz S ist.
Aufgabe 3. (10 Punkte) Sei g0 , . . . , gm ∈ C ∞ (Rn ; R) konvexe Funktionen. Bestimmen Sie eine
Formel f¨
ur das Subdifferential von g(x) := maxi=0,...,m {gi (x)}.
Aufgabe 4. (10 Punkte) Sei X ein lokal konvexer topologischer Vektorraum. Sei S ⊂ X eine
nichtleere Menge und x ∈ S. Der Radialkegel RS (x) ist gegeben durch
RS (x) := {h ∈ X |∃τ > 0, ∀t ∈ [0, τ ], x + th ∈ S } .
Falls S konvex, dann gilt RS (x) = TS (x). Sei nun K ⊂ X ein nichtleerer konvexer abgeschlossener
Kegel und x ∈ K. Bestimmen Sie RS (x) und TS (x).

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