Aufgaben zu dem Brouwerschen Fixpunktsatz

Aufgaben zu dem Brouwerschen Fixpunktsatz
Aufgabe 1. Die Stetigkeit der Abbildung T is im Brouwerschen Fixpunktsatz wesentlich. Finde
eine nicht-stetige Selbstabbildung von D2 , welche keinen Fixpunkt besitzt.
Aufgabe 2. Sei Φ : D2 → X eine stetige Abbildung der Kreisscheibe D2 in eine andere Menge
X derart, dass auch wirklich jeder Punkt in X angenommen wird. Die inverse Abbildung Φ−1 :
X → D2 , welche dann ja existiert, sei ebenfalls stetig. Wir können dann gewissermaßen die
Mengen X und D2 über die Abbildung Φ miteinander identifizieren, denn jedem Punkt aus X
enspricht genau ein Punkt aus D2 und diese Zuordnung ist in beide Richtungen stetig. Solche
Abbildungen kann man sich als Verformungen vorstellen: Die Kreisscheibe D2 sei aus einem
gummiartigen Stoff den man nun verdrehen und ziehen kann um die Menge X zu erhalten.
Mit Hilfe von Φ kann man jede Selbstabbildung der Menge X zu einer Selbstabbildung von
D2 machen. Folgere auf diese Weise, dass jede stetige Selbstabbildung von X einen Fixpunkt
besitzt.
Welche geometrischen Figuren X der Ebene kennt ihr, für die es eine solche Abbildung Φ
gibt. Hier reichen Bilder zu den Abbildungen. Ihr müsst keine expliziten Abbildungsvorschriften
angeben.
Aufgabe 3. Nimm zwei Blatt Papier und lege sie aufeinander. Wir wollen eigentlich eine Selbstabbildung eines Blatts auf sich selbst betrachten (vgl. Aufgabe 2), doch ist es einfacher dafür
ein zweites Blatt herzunehmen. Zerknülle nun das oberere Blatt und lege den Papierball wieder auf das andere Blatt. Nun drücke den Ball flach auf das untere Blatt. Jetzt haben wir eine
(Selbst)Abbildung eines Blattes auf sich selbst. Hat diese Abbildung einen Fixpunkt? Ist diese
Abbildung notwendigerweise eine Kontraktion, d.h. verkleinert sie stets den Abstand zwischen je
zwei Punkten auf dem Papier?
Aufgabe 4. Zeige, dass die nichtlinearen Gleichungssysteme
sin(x + y) − y = 0,
cos(x + y) − x = 0
und
sin(|x − y|) − y = 0,
|x + y|
−x=0
4
Lösungen (x, y) in R2 besitzen.
Aufgabe 5. Sei A = (aij )i,j=1,2,3 =
a11
a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
eine 3 × 3 Matrix. Unter einem Eigenvektor
von A versteht man einen Vektor v ∈ R , welcher

 

a11 v1 + a12 v2 + a13 v3
λ · v1
Av := a21 v1 + a22 v2 + a23 v3  = λ · v2  = λ · v
a31 v1 + a32 v2 + a33 v3
λ · v3
erfüllt. Die reelle Zahl λ heißt dabei Eigenwert zum Eigenvektor v.
Zeigen Sie: sind alle Einträge aij der Matrix A echt positiv, so besitzt A einen positiven
Eigenvektor (d.h. die Einträge des Vektors sind positiv) mit positivem Eigenwert λ > 0.
Hinweis: Betrachte auf der Menge
X = x = (x, y, z) ∈ R3 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 1 .
Av
die Abbildung T (v) := kAvk
, wobei kxk1 = k(x, y, z)k1 = |x| + |y| + |z| die sog. 1-Norm eines
1
Vektors ist. (Überzeugen Sie sich zunächst, dass der Nenner kAvk1 in T nicht Null werden kann.)
1
Aufgaben zu dem Banachschen Fixpunktsatz
Aufgabe 6. In der Vorlesung wurde definiert, was ein Abstandmaß (bzw. eine Metrik) auf einer
Menge X ist. Für alle x, y, z aus X muss gelten:
(i) d(x, y) ≥ 0, wobei d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y,
(ii) d(x, y) = d(y, x),
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
“Dreiecksungleichung”
Wir wollen nun nachrechnen, ob es überhaupt solche Abbildungen gibt, oder ob wir solche
Abbildungen schon kennen.
1. Prüfe, ob die Abbildung (x, y) 7→ |x − y| ein Abstandmaß auf R ist.
p
2. Auf R2 definiert man |x| = |(x1 , x2 )| := x21 + x22 . Ist dann die Abbildung (x, y) 7→ |x − y|
ein Abstandmaß auf R2 ?
3. Nun wollen wir eine Metrik auf beliebigen Mengen definieren. Sei dazu X eine Menge.
Definiere d durch
(
0 wenn a = b
d(a, b) :=
1 wenn a 6= b.
Zeige, dass die Abbildung d(a, b) ein Abstandmaß auf X definiert. Diese Metrik heißt
diskrete Metrik.
Aufgabe 7. Auf die folgende Weise lässt sich aus einer gegebenen Metrik eine weitere mit Wertebereich im Intervall [0, 1[ konstruieren. Sei d(x, y) ein Abstandmaß auf einer Menge X. Zeige,
˜ y) := d(x,y) ein Abstandmaß ist. (Dreicksungleichung ist eventuell
dass die Abbildung d(x,
1+d(x,y)
schwierig.)
Aufgabe 8. Im Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes wurde eine Formel über die geometrische Reihe benutzt. Wir wollen diese nützliche Formel kurz beweisen.
1. Eine geometrische Summe ist eine Summe der Form 1 + p + p2 + . . . + pN . Sei nun hierbei
|p| < 1. Zeige, dass dann
1 − pN +1
1 + p + . . . + pN =
1−p
gilt. Hinweis: Vergleiche dazu die Ausdrücke s :== 1 + p + p2 + p3 + . . . + pN und ps.
2. Folgere für N gegen ∞ die Formel für die geometrische Reihe:
1 + p + p2 + . . . =
∞
X
k=0
pk =
1
.
1−p
Ist insbesondere 0 ≤ p < 1, so gilt für jedes N , dass 1 + p + . . . + pN ≤
1
1−p .
Aufgabe 9. Sei X ein vollständiger metrischer Raum, und T : X → X eine Abbildung, für
welche S(x) := T (T (x)) eine Kontraktion ist.
Zeige: T besitzt genau einen Fixpunkt, und der Fixpunkt von T stimmt mit dem von S
überein. Darüberhinaus kann der Fixpunkt durch die Iteration xn+1 = T (xn ) beliebig gut angenähert werden (der Startwert x0 ist beliebig).
Aufgabe 10. Sei f : R → R eine beliebig differenzierbare Funktion, und α eine Nullstelle von
f , mit f 0 (α) 6= 0.
2
(a) Zeige: α ist ein Fixpunkt der Funktion T (x) = x −
f (x)
f 0 (x) ,
und T 0 (α) = 0.
(b) Beweise, dass es ein > 0 gibt, sodass T eine Kontraktion auf dem Intervall I = [α − , α + ]
ist. Das heißt: es gibt ein 0 ≤ L < 1 mit |T (x) − T (y)| ≤ L|x − y| für alle x, y in I .
Hinweis: Ihr könnt ohne Beweis den Mittelwertsatz verwenden:
Für eine differenzierbare f : [a, b] → R existiert ein c in [a, b], so dass f (b) − f (a) =
f 0 (c)(b − a).
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mean value theorem (Lagrange’s theorem).svg
(c) Folgere, dass T eine Selbstabbildung des Intervalls I = [α − , α + ] ist.
n)
(d) Folgere, dass das Newton-Verfahren xn+1 = xn − ff0(x
(xn ) für genügend nahe Startwerte gegen
die Nullstelle α konvergiert.
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