Ubungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Sommersemester 2016
Blatt 5
09.05.2016
Mathematisches Institut der Universität München
Gregor Svindland, Felix Liebrich
Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Präsenzaufgaben
Im Folgenden sei die Aussage von H1 als bekannt vorausgesetzt.
T1. Betrachte den Folgenraum Ω := RN ausgestattet mit der Produkt-σ-Algebra F = B(R)⊗N .
Zeigen Sie die Produktmessbarkeit folgender Mengen:
(a) cc := {ω | |{n : ωn 6= 0}| < ∞},
(d) c→ := {ω | limn→∞ ωn existiert},
(b) c0 := {ω | limn→∞ ωn = 0},
(e) cp := {ω ∈ Ω | ω periodisch},
(c) cb := {ω | ω beschränkt},
(f) cs := {ω | sgn(ωn ) wechselt u.o.}.
T2. (a) Sei I eine beliebige Indexmenge. Fixiere einen Produktraum und seine endlichdimensionalen Projektionen:
Q
N
Q
Q
(Ω, F) :=
XF : i∈I Ωi → ΩF := j∈F Ωj , F ⊆ I endlich.
i∈I Ωi ,
i∈I Fi ,
Es sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf diesem Produktraum und µF := µ ◦ XF−1
die entsprechenden Bildmaße unter Projektion. Zeigen Sie, dass µ von seinen endlichdimensionalen Randverteilungen {µF | F ⊆ I endlich} eindeutig bestimmt wird.
(b) µF heißt eindimensionale Randverteilung von µ, falls |F | = 1. Zeigen Sie anhand
eines Gegenbeispiels, dass µ nicht eindeutig durch seine eindimensionalen Randverteilungen bestimmt wird.
T3. Zeigen Sie folgende Version des Satzes von Tychonow : Für Q
alle n ∈ N sei (Kn , dn ) ein
kompakter metrischer Raum. Dann ist das Produkt K = n∈N Ki in der induzierten
Produkttopologie kompakt.
(Hinweis: Wie bereits erwähnt darf ohne Beweis verwendet werden, dass die in H1 definierte Metrik D : K × K → [0, 1) die Produkttopologie auf K metrisiert. In metrischen
Räumen ist Folgenkompaktheit äquivalent zu Kompaktheit.)
Hausaufgaben
H1. Seien (Ωi , τi ), i ∈ N, polnische Räume, welche jeweils mit einer Metrik dQ
i vollständig
N∞ me∞
trisierbar seien. Definieren Sie den unendlichen Produktraum (Ω, τ ) := ( i=1 Ωi , i=1 τi )
sowie die Abbildung
D(x, y) :=
∞
X
i=1
2−i
di (xi , yi )
,
1 + di (xi , yi )
1
x, y ∈ Ω.
Zeigen Sie, dass D eine Metrik ist und verwenden Sie diese, um nachzuweisen, dass (Ω, τ )
wiederum polnisch ist.
H2. Abzählbar bestimmte Mengen, Messbarkeit bezüglich B(R)⊗[0,∞) :
(a) Es sei (Ω, F) ein messbarer Raum und T ⊆ R überabzählbar. Zeigen Sie, dass
F ⊗T = {f ∈ ΩT | (f (j))j∈J ∈ A} | J ⊆ T abzählbar, A ∈ F ⊗J .
Das Mengensystem auf der rechten Seite wird auch manchmal das System der abzählbar
bestimmten Mengen genannt.
(b) Sei nun Ω = R, F = B(R) und T = [0, ∞) gewählt. Zeigen Sie mit Teilaufgabe (a),
dass C([0, ∞)) := {f : [0, ∞) → R | f stetig} nicht messbar ist bezüglich B(R)⊗[0,∞) .
H3. Einhüllende kompakter Klassen, Lemma 1.23: Ziel der Aufgabe ist, folgende Aussage zu zeigen:
Sei Ω 6= ∅ und C ⊆ 2Ω eine kompakte Klasse. Dann ist das kleinste Mengensystem
K ⊇ C, welches abgeschlossen ist unter endlichen Vereinigungen und abzählbaren
Durchschnitten und gleichzeitig C enthält, wiederum eine kompakte Klasse.
Gehen Sie dabei vor wie folgt:
n
)n∈N,1≤m≤Mn ⊆ C. Weiterhin sei Dn :=
(a) Zeigen Sie nun: Seien (Mn )n∈N ⊆ N und (Cm
T
T
S Mn n
n≥1 Dn 6= ∅.
n≤k Dn 6= ∅ für alle k ∈ N, so ist auch
m=1 Cm . Ist dann
Betrachten SieQ
hierzu (Kn , dn ) = ({1, ..., Mn }, d), wobei
d
die
diskrete Metrik beTk
n
zeichne, K = n≥1 Kn sowie Hk := {(mn )n ∈ K | n=1 Cmn 6= ∅}, k ∈ N, und
wenden Sie T3 an.
(b) Zeigen Sie die Mengengleichheit
(
K=
abzählbare Schnitte von Mengen in
(m
[
Ci m ∈ N, C1 , ..., Cm ∈ C
i=1
und folgern Sie aus (b), dass K eine kompakte Klasse ist.
Abgabe: Donnerstag, den 19.05.2016, 16 Uhr.
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))

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