Übungsblatt 4

7. Mai 2015
¨
Ubungsblatt
4 zur Funktionalanalysis
im Sommersemester 2015
Prof. Dr. Hans Kn¨
upfer, M. Sc. Florian Nolte
Internetseite: www.math.uni-heidelberg.de/amk
Abgabe: Mittwoch, 13.Mai bis 16:00 Uhr in die Tutorenbriefk¨asten rechts von HS6.
Aufgabe 4.1
10 Punkte
Sei Φ : R → R konvex und (Ω, Σ, µ) ein Maßraum mit µ(Ω) = 1. Sei außerdem f ∈
L1 (Ω) = L1 (Ω, R). Zeigen Sie, dass folgendes gilt
(a) Zu jedem x ∈ R existiert ein Cx ∈ R mit
Φ(y) ≥ Φ(x) + Cx (y − x)
f¨
ur alle y ∈ R.
(1)
(b) Φ ◦ f ist messbar und [Φ ◦ f ]− = − min{0, Φ ◦ f } ist integrierbar.
Hinweis: Sie d¨
urfen benutzen, dass konvexe Funktionen stetig sind.
R
R
(c) Φ( Ω f dµ) ≤ Ω Φ ◦ f dµ. Hinweis: Nutzen Sie Teil (a).
Aufgabe 4.2
10 Punkte
n
∞
Sei Ω ⊂ R messbar mit λn (Ω) ∈ (0, ∞) und sei u ∈ L (Ω). Definiere ϕu durch
ϕu (p) :=
1
|Ω|
Z
1
p
p
|u| dλn
f¨
ur p ∈ [1, ∞).
(2)
Ω
Zeigen Sie, dass ϕu monoton wachsend ist und dass limp→∞ ϕu (p) = kukL∞ (Ω) .
Hinweis: Betrachten Sie f¨
ur > 0 die Mengen {x ∈ Ω : |u(x)| ≥ kukL∞ (Ω) − }.
Aufgabe 4.3
(a) Zeigen Sie, dass L1 (Rn ) und L∞ (Rn ) nicht gleichm¨aßig konvex sind.
10 Punkte
(b) Sei 2 ≤ p < ∞. Zeigen Sie, dass f¨
ur x, y ∈ R gilt
|x + y|p + |x − y|p ≤ 2p−1 (|x|p + |y|p ).
(3)
1
Hinweis: Zeigen Sie zun¨
achst f¨
ur a, b ∈ [0, ∞), dass (ap + bp ) p ≤ (a2 + b2 )1/2 gilt.
Nutzen Sie diese Aussage dann f¨
ur a = |x + y| und b = |x − y|.
(c) Sei U ⊂ Rn offen. Zeigen Sie f¨
ur 2 ≤ p < ∞, dass Lp (U ) gleichm¨aßig konvex ist.
1

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