Leseprobe - Mathe

Skript zur Vorbereitung der Abiturprüfung 2016
Baden-Württemberg - allg. Gymnasium
Spezielle Aufgaben im Abiturprüfungsumfang
9 Pflichtteilaufgabensätze
34 Wahlteilaufgaben
Dipl.-Math. Alexander Schwarz
Im Weinberg 9
74389 Cleebronn
E-Mail: [email protected]
Homepage: www.mathe-aufgaben.com
Wichtiger Hinweis:
Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch
Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise
zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben.
Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand,
den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt.
Ich bitte um Fairness und danke dafür – Alexander Schwarz
1
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Vorwort
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Vorwort
Ich bedanke mich für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Skriptes für die
Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht haben !
Der erste Teil des Skriptes umfasst folgende Aufgaben im Abiturprüfungsumfang:
• 9 komplette Aufgabensätze zum Pflichtteil des Abiturprüfung
(insgesamt 81 Aufgaben)
• 16 Wahlteilaufgaben zur Analysis
• 9 Wahlteilaufgaben zur Stochastik
• 9 Wahlteilaufgaben zur Analytischen Geometrie
Der zweite Teil des Skriptes enthält zu allen Aufgaben ausführliche Musterlösungen.
Der in den Aufgaben enthaltene Stoff entspricht dem Lehrplan der Abiturprüfung 2015 in
Baden-Württemberg.
In diesem Skript sind keine Originalaufgaben alter Abiturprüfungen von Baden-Württemberg
(weder Haupttermin- noch Nachterminaufgaben) enthalten !
Die Aufgaben zum Haupttermin finden Sie als kostenlosen Download auf meiner Homepage.
Für wen ist dieses Skript geeignet ?
• Schüler, die sich neben den Originalabituraufgaben auf die Abiturprüfung anhand vieler
Übungsaufgaben vorbereiten wollen
• Mathematiklehrer, die für die Erstellung von Klausuren entsprechende Aufgaben
benötigen.
Eine ausführliche Darstellung des Stoffes der Analysis, Analytischen Geometrie und
Stochastik finden Sie in den entsprechenden Lehrbüchern, die ich ebenfalls im Angebot
habe.
Ich nehme sehr gerne sowohl Lob als auch Kritik zu diesem Skript entgegen.
Sollten mir (trotz aller Mühe) Tipp- oder Flüchtigkeitsfehler in diesem Skript unterlaufen sein,
bin ich für entsprechende Mitteilungen ebenfalls dankbar.
Bitte kontaktieren Sie mich unter meiner Mailadresse [email protected]
Ich wünsche allen Abiturienten viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Skriptes und
alles Gute für die Prüfung !
Alexander Schwarz
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Pflichtteilaufgabensatz 1
Pflichtteilaufgabensatz 2
Pflichtteilaufgabensatz 3
Pflichtteilaufgabensatz 4
Pflichtteilaufgabensatz 5
Pflichtteilaufgabensatz 6
Pflichtteilaufgabensatz 7
Pflichtteilaufgabensatz 8
Pflichtteilaufgabensatz 9
Wahlteilaufgaben Analysis
Wahlteilaufgaben Stochastik
Wahlteilaufgaben Analytische Geometrie
Lösung Pflichtteilaufgabensatz 1
Lösung Pflichtteilaufgabensatz 2
Lösung Pflichtteilaufgabensatz 3
Lösung Pflichtteilaufgabensatz 4
Lösung Pflichtteilaufgabensatz 5
Lösung Pflichtteilaufgabensatz 6
Lösung Pflichtteilaufgabensatz 7
Lösung Pflichtteilaufgabensatz 8
Lösung Pflichtteilaufgabensatz 9
Lösungen Wahlteilaufgaben Analysis
Lösungen Wahlteilaufgaben Stochastik
Lösungen Wahlteilaufgaben Geometrie
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Pflichtteilaufgabensatz 1
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Pflichtteilaufgabensatz 1
Aufgabe 1-1:
Leite die Funktion f(x) = (x 2 + 3) ⋅ e1−2x einmal ab und fasse so weit wie möglich zusammen.
Aufgabe 1-2:
Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,5 ⋅ e2x −3 .
Bestimme diejenige Stammfunktion von f, deren Graph durch den Punkt P(1,5/1) geht.
Aufgabe 1-3:
Löse die Gleichung e x + 24 ⋅ e − x = 11 .
Aufgabe 1-4:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und geht
7
durch die Punkte P(-2/10) und Q(1/ − ) . Bestimme ihre Funktionsgleichung.
2
Aufgabe 1-5:
Für die Funktion f gilt für alle x ∈ [ −1;6] :
•
•
f(x) > 0
f ′(x) < 0
•
f ′′(x) > 0
Beschreibe für jede dieser drei Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Verlauf des Graphen
hat. Skizziere einen möglichen Verlauf des Graphen von f.
Aufgabe 1-6:
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems.
−2x1 +4x 2
+5x3
=
9
2x1
−3x 2
− x3
=
5
4x1
−6x 2
−2x3
= 10
Interpretiere das Gleichungssystem und seine Lösungsmenge geometrisch.
Aufgabe 1-7:
0
 −1
 
 
Die Ebene E enthält den Punkt A(2/-2/5) und die Gerade g: x =  2  + r ⋅  2  .
 1
 1
 
 
Bestimme eine Gleichung der Ebene F, welche ebenfalls die Gerade g enthält und orthogonal zu E ist.
Aufgabe 1-8:
Bei einem Multiple-Choice-Test kann man bei jeder Frage unter drei möglichen Antworten wählen, von
denen jeweils nur eine richtig ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Testperson, die keine der Antworten weiß, bei 4 Fragen
(1) genau 2 richtige Antworten
(2) genau 1 richtige Antwort
(3) mindestens eine Antwort
richtig rät ?
Aufgabe 1-9:
Ein Punkt P wird an einer Ebene E gespiegelt. Erläutere, wie man die Koordinaten des Bildpunktes P*
erhält.
4
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Wahlteilaufgaben Analysis
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Wahlteilaufgaben Analysis
W2: Ganzrationale Funktion - Wasserzufluss und Wasserabfluss
Ein Behälter kann sowohl mit Wasser befüllt als auch Wasser entnommen werden.
Die Zulaufgeschwindigkeit v(t) des Wassers ist durch eine ganzrationale Funktion 3.Grades gegeben
und wird in Liter pro Stunde, die Zeit t in Stunden angegeben.
Betrachtet wird das Zeitintervall [0h ; 7h].
Zum Zeitpunkt t = 0h befinden sich 10 Liter Wasser im Behälter.
a) Die Zulaufgeschwindigkeit ist zum Zeitpunkt t = 2 h maximal und beträgt dabei
20 Liter
3 h
Liter
.
h
Bestimme mit diesen Angaben den Funktionsterm v(t) für die Zulaufgeschwindigkeit.
Sie ist zum Zeitpunkt t = 6 h minimal und beträgt dann -4
Für alle weiteren Aufgabenteile sei die Zulaufgeschwindigkeit gegeben durch
1
v(t) = t 3 − 4t 2 + 12t − 4 (t in Stunden, v(t) in Liter pro Stunde)
3
b) Skizziere den Graphen von v(t) im Intervall 0 ≤ t ≤ 7 .
Wie viel Liter Wasser befindet sich nach 3 Stunden im Behälter ?
Zu welchem Zeitpunkt t > 0 befindet sich die Ausgangsmenge von 10 Liter Wasser wieder im
Behälter ?
Zu welchem Zeitpunkt befindet sich eine maximale Wassermenge im Behälter und wie viel Liter
sind dies ?
Bestimme den Zeitpunkt, in dem die Zuflussrate am stärksten abnimmt.
Welche Ablaufgeschwindigkeit liegt dann vor ?
c) Stelle die Funktionsgleichung f(t) auf, die zum Zeitpunkt t die Wassermenge im Behälter
Liter angibt.
in
d) Der Behälter, in dem das Wasser ein- bzw. abfließt, entsteht durch die Rotation der Funktion
g(x) = −0,3x 2 + 2 um die x-Achse im Intervall −1,5 ≤ x ≤ 1,5 (x und g(x) jeweils in dm).
Weise nach, dass der Behälter im Zeitintervall 0 ≤ t ≤ 7 nicht überlaufen wird.
Wie hoch steht das Wasser im Behälter zum Zeitpunkt t = 0 h ?
5
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Wahlteilaufgaben Stochastik
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Wahlteilaufgaben Stochastik
W17: Gezinkter Würfel
Bei einem Würfel ergibt die Summe der gegenüberliegenden Augenzahlen 7.
Der Würfel ist jedoch gezinkt: Die Zahl 6 fällt 3-mal so häufig wie die 1 und die 5 doppelt so häufig wie
die 2. Die Zahlen 3 und 4 fallen mit gleicher Häufigkeit. Zwei gegenüberliegende Zahlen haben
1
zusammen stets die Wahrscheinlichkeit von .
3
a) Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die gewürfelten Augenzahlen an und berechne den
Erwartungswert einer gewürfelten Augenzahl.
b) Bei einem Spiel wird vereinbart, dass Spieler A von Spieler B 1,30 € erhält, wenn 4, 5 oder 6
gewürfelt wird. Bei den Zahlen 1, 2 und 3 soll A an B zahlen. Wie groß muss dieser Betrag sein,
damit das Spiel fair ist ?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass bei 100 Würfen genau 60-mal 4,5 oder 6
gewürfelt wird ? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 30-mal 1, 2 oder 3
gewürfelt wird ?
d) Der Besitzer des gezinkten Würfels erhält bei 50 Würfen nur 25 mal die 4, 5 oder 6.
Er vermutet deshalb, dass er aus Versehen einen anderen Würfel erwischt hat und führt einen
Hypothesentest durch.
Stelle die Nullhypothese und die Gegenhypothese auf.
Kann er bei einem Signifikanzniveau von 5% die Vermutung beibehalten ?
Wie groß ist die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit ?
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Wahlteilaufgaben Analytische Geometrie
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Wahlteilaufgaben Analytische Geometrie
W26: Gebäude mit Pultdach
Die Abbildung zeigt ein Gebäude mit einem Pultdach.
Die Eckpunkte haben die Koordinaten A(6/0/0), B(6/10/0), C(0/10/0), F(6/0/3), G(6/10/3), H(0/10/4),
K(0/0/4). Alle Koordinaten und Längeneinheiten sind in Meter.
Auf dem Boden des Gebäudes wird ein 5 m langes, senkrecht stehendes Schornsteinrohr aufgestellt,
das vereinfacht als Gerade dargestellt wird. Der Fuß des Rohres befindet sich im Punkt I(4/7/0).
a) Berechne das Volumen des Gebäudes und die Größe der Dachfläche.
b) Die schräg verlaufende Dachfläche liege in der Ebene E.
Stelle eine Gleichung für die Ebene E auf.
Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(1,5/7,5/3,75) auf E liegt.
Bestimme den Neigungswinkel des Daches und berechne den Abstand der Spitze des
Schornsteinrohres vom Dach.
c) Eine Sicherheitsvorschrift besagt, dass das Schornsteinrohr mindestens 2m aus dem Dach
herausragen muss. Bestimme den Punkt, in dem das Rohr die Dachfläche durchstößt und prüfe,
ob die Sicherheitsvorschrift eingehalten wird.
d) Berechne den Abstand der Spitze des Schornsteinrohres von der hinteren Dachkante.
 −1 
 
e) Paralleles Sonnenlicht fällt in Richtung des Vektors v =  2  ein.
 −3 
 
Berechne den Schattenpunkt der Spitze des Rohres auf der Dachfläche (auf zwei
Dezimalstellen gerundet).
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Lösung Pflichtteilaufgabensatz 1
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Lösung Pflichtteilaufgabensatz 1
Aufgabe 1-1:
f(x) = (x 2 + 3) ⋅ e1−2x muss mit der Produkt- und Kettenregel abgeleitet werden.
Es ist u(x) = x 2 + 3 und v(x) = e1−2x . Daraus folgt u′(x) = 2x und v ′(x) = −2 ⋅ e1−2x .
Die Ableitungsfunktion lautet allgemein: f ′(x) = u′(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v ′(x)
f ′(x) = 2x ⋅ e1−2x + (x 2 + 3) ⋅ ( −2) ⋅ e1− 2x = 2e1− 2x ⋅ (x − x 2 − 3)
Aufgabe 1-2:
Es ist f(x) = 0,5 ⋅ e2x −3
1 2x −3
1
⋅e
+ C = e2x −3 + C
2
4
1
1
P(1,5/1) soll auf Schaubild von F liegen: F(1,5) = 1 ⇒ 1 = e2⋅1,5 −3 + C ⇒ 1 = e0 + C ⇒ C = 0,75
4
4
1 2x −3
Die gesuchte Stammfunktion lautet F(x) = e
+ 0,75
4
Die allgemeine Stammfunktion von f lautet F(x) = 0,5 ⋅
Aufgabe 1-3:
e x + 24 ⋅ e − x = 11
⇔ e x + 24 ⋅
1
= 11
⋅e x
⇔ e2x + 24 = 11⋅ e x
ex
Substitution: u = e x (und damit ist e2x = u2 )
Die Gleichung nach der Substitution lautet: u2 − 11u + 24 = 0
⇔ e2x − 11⋅ e x + 24 = 0
11 ± 121 − 4 ⋅ 24 11 ± 5
=
⇒ u = 8 oder u = 3
2
2
Rücksubstitution: e x = 8 ⇔ x1 = ln(8)
e x = 3 ⇔ x 2 = ln(3)
Anwendung der Lösungsformel: u1,2 =
Aufgabe 1-4:
Da das Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung ist, existieren im Ansatz der Funktionsgleichung
nur ungerade Hochzahlen: f(x) = ax3 + bx
Einsetzen von P(-2/10): 10 = −8a − 2b
Einsetzen von Q(1/-3,5): −3,5 = a + b
(*)
(**)
Aus (**) folgt b = −3,5 − a
Eingesetzt in (*): 10 = −8a − 2( −3,5 − a) ⇔ 10 = −8a + 7 + 2a ⇔ a = −0,5
Daraus folgt b = −3,5 − ( −0,5) = −3
Die gesuchte Funktion lautet f(x) = −0,5x3 − 3x
Aufgabe 1-5:
f(x) > 0 : Bei positiven Funktionswerten liegt das Schaubild für alle x ∈ [ −1;6] oberhalb der x-Achse.
f ′(x) < 0 : Bei negativer 1.Ableitung sind die Tangentensteigungen an das Schaubild für alle
x ∈ [ −1;6] negativ. Das Schaubild von f ist in diesem Intervall streng monoton fallend.
f ′′(x) > 0 : Bei positiver 2.Ableitung ist das Schaubild von f für alle x ∈ [ −1;6] linksgekrümmt.
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