Probabilit´ es conditionnelles Exercice 1 Une maladie est pr´esente dans la population dans la proportion d’une personne malade sur 10000. Un test de d´epistage donne les informations suivantes : ♦ Si la personne est malade, le test est positif `a 99% ♦ Si la personne n’est pas malade, le test est positif `a 0,1%. Calculer la probabilit´e qu’une personne soit malade si le test est positif. Conclure. Exercice 2 Une urne contient 13 boules dont 6 noires, 3 blanches et 4 rouges. On pioche sans remise 4 boules. Soit E l’´ev´enement “on a pioch´e 2 blanches” et F : “on a pioch´e 2 rouges”. Calculer les probabilit´es P (E ∩ F ), PF (E) et PE (F ). Les ´ev´enements E et F sont-ils ind´ependants? Exercice 3 1. Une urne contient 12 boules num´erot´ees de 1 `a 12. On en tire une au hasard et on consid`ere les ´ev´enements A =“tirage d’un nombre pair” B =“tirage d’un multiple de 3” Les ´ev´enements A et B sont-ils ind´ependants? 2. Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules num´erot´ees de 1 `a 13. Exercice 4 1. Soient A,B,C trois ´ev´enements. Rappeler la formule du crible. 2. On dispose de 3 interrupteurs ´electriques C1 , C2 et C3 dont les probabilit´es respectives d’ˆetre ferm´es (ils laissent alors passer le courant) sont pi et de fonctionnement totalement ind´ependant les uns des autres. Donner la probabilit´e que le circuit soit ferm´e (laisse passer le courant) (a) si les composants sont dispos´es en s´erie, (b) si les composants sont dispos´es en parall`ele, (c) si le circuit est mixte : C1 est dispos´e en s´erie avec le sous-circuit constitu´e de C2 et C3 en parall`ele. Exercice 5 P (A) = 0,1, PA (B) = 0,6 et PA (B) = 0,98. Donner les probabilit´es P (A), PA (B), PA (B) puis PB (A) et PB (A), P (B) et P (B). Exercice 6 Une usine fabrique des pi`eces, avec une proportion de 0,05 de pi`eces d´efectueuses. Le contrˆole des fabrications est tel que : • si la pi`ece est bonne, elle est accept´ee avec la probabilit´e 0,96 • si la pi`ece est mauvaise, elle est refus´ee avec la probabilit´e 0,98. On choisit une pi`ece au hasard et on la contrˆ ole. Quelle est la probabilit´e 1. qu’il y ait une erreur de contrˆ ole? 2. qu’une pi`ece accept´ee soit mauvaise? Exercice 7 Une urne contient b boules blanches et n boules noires. On tire une boule de cette urne. Si elle est blanche, on la remet dans l’urne. Si elle est noire, on la remplace par k boules blanches prises dans une deuxi`eme urne. Quelle est la probabilit´e de l’´ev´enement E : “la deuxi`eme boule tir´ee est blanche”? 1 Exercice 8 Une compagnie d’assurances r´epartit ses clients en trois classes R1 , R2 et R3 : les bons risques, les risques moyens et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes repr´esentent 20% de la population totale pour la classe R1 , 50% pour la classe R2 et 30% pour la classe R3 . Les statistiques indiquent que les probabilit´es d’avoir un accident au cours de l’ann´ee pour une personne de l’une de ces trois classes sont respectivement de 0,05, 0,15 et 0,30. 1. Quelle est la probabilit´e qu’une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l’ann´ee? 2. Si M. Martin n’a pas eu d’accident dans l’ann´ee, quelle est la probabilit´e qu’il soit un bon risque? Exercice 9 On dispose de trois pi`eces truqu´ees : la premi`ere donne Pile une fois sur 10, la seconde 4 fois sur 10 et la troisi`eme 6 fois sur 10. On choisit une pi`ece et on la lance 3 fois. On obtient 2 fois Pile et 1 fois Face. Quelle est la probabilit´e d’avoir choisi la premi`ere pi`ece? Exercice 10 Une particule se trouve au point d’abscisse a (a entier) sur un segment gradu´e de 0 `a N (on suppose donc ` chaque instant, elle fait un bond de +1 avec la probabilit´e p (0 < p < 1, p 6= 1/2) ou un bond de 0 6 a 6 N ). A probabilit´e q = 1 − p. Autrement dit, si xn est l’abscisse de la particule `a l’instant n, on a : xn + 1 avec probabilit´e p xn+1 = xn − 1 avec probabilit´e 1 − p Le processus se termine lorsque la particule atteint l’une des extr´emit´es du segment (i.e. s’il existe n avec xn = 0 ou xn = N ). On cherche ` a d´eterminer la probabilit´e que le processus soit sans fin. 1. On note ua la probabilit´e pour que la particule partant de a, le processus s’arrˆete en 0. (a) Que valent u0 ? uN ? (b) Montrer que, si 0 < a < N , alors ua = pua+1 + qua−1 . (c) En d´eduire l’expression exacte de ua . 2. On note va la probabilit´e pour que la particule partant de a, le processus s’arrˆete en N . Reprendre les questions pr´ec´edentes avec va au lieu de ua (attention, ce n’est peut-ˆetre plus la mˆeme formule de r´ecurrence). 3. Calculer ua + va . Qu’en d´eduisez-vous? 2
© Copyright 2024 ExpyDoc
