¨ Ubungen zur Vorlesung “Theorie ungeordneter Systeme” Prof. Dr. Blumen, WS 11/12 ¨ Ubungen zur Vorlesung “Theory Blatt 3 of Disordered Matter” Prof. Dr. Blumen, SoSe 2015 Blatt 3 Aufgabe 5: Perkolation Aufgabe 5: Perkolation Wirstellen stellenuns unsein eineindimensionales, eindimensionales,unendlich unendlichlanges langesGitter Gittervor. vor.Durch Durcheinen einenProzess, Prozess, Wir wie z.B. eine chemische Reaktion, sollen zuf¨ a llig, mit Wahrscheinlichkeit p, Verbindungen wie z.B. eine chemische Reaktion, sollen zuf¨allig, mit Wahrscheinlichkeit p, Verbindungen zwischenden denGitterpunkten Gitterpunktenhergestellt hergestelltwerden, werden,d.h. d.h.Bindungen Bindungenbesetzt besetztwerden. werden. zwischen a) Als Cluster bezeichnet man eine zusammenh¨angende Gruppe von besetzten Bindungen. Definition: s-Cluster = genau s zusammenh¨angende besetzte Bindungen (durch zwei freie Bindungen begrenzt). a) Als Cluster bezeichnet man eine zusammenh¨angende Gruppe von besetzten BinGeben Sie die Wahrscheinlichkeit ns an, einen s-Cluster auf dem Gitter zu realisieren. dungen. Definition: s-Cluster = genau s zusammenh¨angende besetzte Bindungen (1 Punkt) (durch zwei freie Bindungen begrenzt). Geben Sie die Wahrscheinlichkeit ns an, einen s-Cluster auf dem Gitter zu realib) Eine Bindung wird zuf¨allig herausgegriffen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ps , sieren. (1 Punkt) dass diese Bindung gerade zu einem s-Cluster geh¨ort? Zeigen Sie, dass gilt b) Eine Bindung wird zuf¨allig herausgegriﬀen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ∞ X ps , dass diese Bindung gerade zu einem geh¨ort? Zeigen Sie, dass gilt ps =s-Cluster p. s=1 ∞ ! s=1 ps = p. (2 Punkte) c) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit ws an, dass eine zuf¨allig herausgegriffene Bindung (2 Punkte) zu einem s-Cluster geh¨ort, unter der Voraussetzung, dass sie u ¨berhaupt zu einem Cluster geh¨ ort. die Wahrscheinlichkeit ws an, dass eine zuf¨allig herausgegriﬀene (2 Punkte) c) Geben Sie Bindung zu einem s-Cluster geh¨ o rt, unter der Voraussetzung, dass sie u berhaupt ¨ Hinweis: Beachten Sie, dass in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit normiert sein muss.zu einem Cluster geh¨ort. (2 Punkte) d) Berechnen Sie die mittlere Clustergr¨ o ße S unter Benutzung von w . (2 Punkte) s Hinweis: Beachten Sie, dass in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit normiert sein muss. d) Berechnen Sie die mittlere Clustergr¨oße S unter Benutzung von ws . (2 Punkte) Aufgabe 6: Korrelationsfunktion Wir betrachten eine besetzte Bindung. Es sei g(r) die Wahrscheinlichkeit, dass alle r folgenden Bindungen auch besetzt sind. a) Berechnen Sie g(r). Stellen Sie g(r) in folgender Form dar: r . g(r) = exp − ξ (1 Punkt) b) Schreiben Sie ξ als Funktion von ∆p ≡ 1 − p und geben Sie die N¨aherung f¨ ur ∆p 1 an. (1 Punkt) c) Zeigen Sie, dass gilt: 2 ∞ X g(r) − 1 = S, r=0 wobei S die in Aufgabe 5d) definierte mittlere Clustergr¨oße ist. (1 Punkt) Aufgabe 7: Anwendung: Chemische Reaktion An den Gitterpunkten sitzen reaktionsf¨ahige Molek¨ ule oder Atome. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine chemische Reaktion zwei benachbarte Punkte eines eindimensionalen Gitters im Laufe der Zeit t miteinander verbindet sei p(t) = 1 − exp(−t/τ ). a) Geben Sie S(t) (siehe Aufgabe 5d)) und ξ(t) (siehe Aufgabe 6a)) als Funktionen der Zeit an. (1 Punkt) b) Berechnen Sie die Korrelationsl¨ange der L¨ocher, d.h. der nicht besetzten Bindungen, ¯ ξ(t), als Funktion der Zeit. (1 Punkt) Abgabetermin: Mittwoch, 20.05.15, vor der Vorlesung