Institut für
mathematische
Statistik
Übungen zur Vorlesung Stochastik1 im Wintersemester 2014/15
Dereich/Biehler
Blatt 04
Bitte geben Sie keine Schmierzettel ab sondern möglichst vollständige Lösungen in ganzen Sätzen.
Heften Sie mehrere Blätter zusammen und vergessen Sie nicht, auf jedem Lösungsblatt Ihre(n) Namen und Ihre Übungsgruppe anzugeben.
Abgabe: 07. November 2014
Besprechung: 13. und 14. November 2014
THEMEN: Bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische Unabängigkeit und
mehrstufige Modelle
Aufgabe 4.1 (Formel von Bayes)
(5 Punkte)
Eine Speditionsfirma transportiert unter anderem Maschinenteile von Deutschland in die Türkei
(Wegstrecke: 4000 km). Da eine verzögerte Lieferung mit hohen Konventionalstrafen verbunden
ist, ist vor jedem dieser Transporte eine Inspektion des LKW vorgesehen, die jedoch von den
Fahrern aus Bequemlichkeit in 20% der Fälle nicht durchgeführt wird. Ohne Inspektion erleidet der
LKW pro 1000 gefahrenen km mit 3% eine Panne, die zu einer unzulässigen Verzögerung führt, mit
Inspektion nur mit 0,5%. Wir nehmen an, dass die einzelnen 1000 km-Abschnitte in guter Näherung
als unabhängig betrachtet werden können.
(i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit mindestens einer Panne auf der 4000 km langen Strecke,
wenn eine Inspektion durchgeführt wurde, sowie, wenn keine Inspektion durchgeführt wurde.
(ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein auf der Strecke liegengebliebener Fahrer die Inspektion
nicht durchgeführt?
Aufgabe 4.2
Es seien (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ F. Beweisen Sie:
(8 Punkte)
(i) A und ∅ sowie A und Ω sind stochastisch unabhängig.
(ii) Es gelte A ⊆ B. Dann folgt:
A und B sind stochastisch unabhängig ⇔ P(A) = 0 oder P(B) = 1.
(iii) Es gelte 0 < P(B) < 1 und A ∩ B = ∅. Dann folgt:
P(Ac |B) = P(A|B c ) ⇔ P(A) + P(B) = 1.
(Bitte wenden.)
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Die Übungsaufgaben und weitere Informationen zur Vorlesung finden sie im Learnweb sowie auf der Internetseite:
http://wwwmath.uni-muenster.de/statistik/lehre/WS1415/Stochastik
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Übungen zur Vorlesung Stochastik im Wintersemester 2014/15
Dereich/Biehler
Blatt 04
(iv) Es sei (Ai )i∈I eine Familie unabhängiger Ereignisse in F. Sei
Bi ∈ {∅, Ai , Aci , Ω}.
Zeigen Sie, dass die Familie (Bi )i∈I ebenfalls unabhängig ist.
Tipp: Induktion.
Aufgabe 4.3 (Mehrstufige Modelle)
(4 Punkte)
(i) Betrachten Sie ein mehrstufiges Experiment auf Ω = Ω1 × · · · × Ωn . Für k = 1, . . . , n und
ω1 ∈ Ω1 , . . . , ωk ∈ Ωk bezeichne
Aω1 ,...,ωk = {(ω1 , . . . , ωk )} × Ωk+1 × · · · × Ωn
das Ereignis, dass wir in den ersten k Teilexperimenten den Ausgang (ω1 , . . . , ωk ) beobachten.
Zeigen Sie, dass dann für das im Satz 1.43 definierte Wahrscheinlichkeitsmaß P und für
k = 1, . . . , n gilt
P(Aω1 ,...,ωk |Aω1 ,...,ωk−1 ) = pk (ω1 , . . . , ωk−1 ; ωk ),
vorausgesetzt wir bedingen nicht auf eine Nullmenge.
(ii) Sie würfeln zunächst mit einem sechsseitigen Würfel und daraufhin mit einem Würfel, der
soviele Seiten hat, wie es der Augenzahl des ersten Wurfs entspricht. Geben Sie ein geeignetes
Modell an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Wurf eine 3 zu würfeln.
Aufgabe 4.4 (Borel-Cantelli)
(3 Punkte)
Ein Affe tippe unendlich lange zufällig auf einer Schreibmaschine. In jedem Schritt entscheide er sich
dabei unabhängig von allen vorigen Schritten für eine Taste. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass der Affe jedes Werk von Shakespeare unendlich oft nieder schreibt.
Knobelaufgabe 1
Es sei P die Gleichverteilung auf Ω = {1, . . . , 7}. Gibt es auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum zwei
Ereignisse A, B ∈ {∅, Ω} die unabhängig sind? Finden sie dazu zwei Mengen oder beweisen Sie,
dass solche Mengen nicht existieren.
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